精锐相似三角形

1、相似三角形 分析1中小学个性化辅导五年考查内容2010 年2011 年2012 年2013 年2014 年题号分值题号分值题号分值题号分值题号分值相似形的概念，相似比的意义，画图形的放大和缩小1612161112平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理21（1）23（2）523（2）相似三角形的概念相似三角形的判定和性质及其应用三角形的重心51625（2）23（2）24（3）24（2）24（3）25（1）25（3）17向量的有关概念向量的表示向量的加法和减 法、实数与向量相乘、向量的线性运算1515151015说明本表格按照中考试题评分标准将解答题的分值进行拆分，只要解题过程中涉及

2、本模块的内容，表格中均有体现。小结考点解读2中小学个性化辅导模块考点水平层级图形与几何相似形的概念，相似比的意义，画图形的放大和缩小平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理相似三角形的概念相似三角形的判定和性质及其应用三角形的重心向量的有关概念向量的表示向量的加法和减法、实数与向量相乘、向量的线性运算备注记忆水平（记为）理解性理解水平（记为）探究性理解水平(记为)1相似形知识梳理1图形的放大或缩小，称为图形的放缩2. 将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形3. 形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形【总结】1. 相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则

3、两个相似形全等，当两个多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是 1；2. 对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到4如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例【注意】1理解相似多边形的定义，明确“对应”；2多边形的相似，要求相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）例题精讲【例 1】下列各组中的图形，不是相似图形的是（ A 同一座城市的两张比例尺不同的地图； C 两个正方形；【正确】 B ）B 一个人现在的和他十年前的；D 国旗上的五角星【例 2】下列各组图形中一定是相似形的是 （填序号）（1） 两个平行四边

4、形一定相似；（2） 两个矩形一定相似；（3） 两个正方形一定相似；（4） 两个菱形一定相似；（5） 两个下底角相等的等腰梯形相似；（6） 有一个内角为 80的两个等腰三角形相似；（7） 有一个内角为 100的两个等腰三角形相似；（8） 等边三角形都相似；（9） 直角三角形都相似；（10） 邻边之比都为 21 的两个等腰三角形相似【正确】（3）、（7）、（8）、（10）3中小学个性化辅导， ABC 与 ABC 是相似图形，若 AB=2.4 ，AB=3.6 ，BC =1，AC=2.7 ，试求 BCA【例 3】与 AC 【正确】 BC=1.5 ， AC = 1.8 ABC BC【例 4】如图，在正方

5、形网格上，若使 ABC PBD ，则点 P 应在（）DA P1 处；B P2 处；C P3 处；D P4 处C【正确】 D AB【例 5】若顶点在格点上的三角形称为格点三角形，请在图中画一个格点三角形与原三角形相似【正确】FEABABD【总结】在“网格”中画出与已知图形相似的图形的：首先确定对应的比例数；其次根据比例数在格点上找出对应边的长度；最后根据对应角相等，即可作出图形“格点问题”两个相似形的对应边的比值通常为过关演练1下列各命题中，真命题的是（A 矩形都相似C 有两条边对应成比例的两个直角三角形相似）B 一个角为 400 的两个等腰三角形一定相似D 有一个锐角相等的两直角三角形相似3下

6、列说法中，一定正确的是（）A 有一个角对应相等的两个平行四边形相似C 两个矩形的长和宽对应成比例，这两个矩形相似B 有一个边对应相等的两个菱形相似D 底角是 60的两个等腰梯形相似4下列中，正确的是（ ）A 各有一个角是 67的两个等腰三角形相似C 各有一个角是 45的两个等腰三角形相似B 邻边之比都为 21 的两个等腰三角形相似D 邻边之比都为 23 的两个等腰三角形相似5在正方形的网格上的三角形中,与DABC 相似的三角形是(填序号)4中小学个性化辅导A(1)C(2)B(3)CCP4P3P2P12比例线段知识梳理1来说，两个数或两个同类的量 a 与b 相除，叫做 a 与b 的比，记作a ：

7、 b （或 a ），其中b 0 ab除以b 所得的商叫做 a 与b 的比值如果a ： b 的比值等于 k ，那么 a=kb 2两条线段的长度的比叫做两条线段的比3如果a : b = c : d （或 a = c ），那么就说 a、b、c、d 成比例其中a 叫做第一比例项， b 叫做第二比例bd项； c 叫做第三比例项； d 叫做第四比例项4在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段【注意】要注意比例线段的顺序性与要统一5如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项如a : b = b : c（ b : a = c :

8、 b ）时， b 叫做 a 和c 的比例中项 a 、b 、c 满足： b2 = ac 【注意】比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“ 否则，取正、负两个值”时，值为正值；6比例的基本性质：（1） 如果 a = c ，那么 ad =bc bd（2） 比例线段的比例式中，只要乘积形式不变， a、b、c、d 的位置可以灵活变化若 a = c，则 a = b 、 b = d、 c = d 、 b = a 、 c = a 、 d = c 、 b = dbdcdacabdcdbbaac【思考】命题“如果 ad =bc ，那么 a = c ”是真命题还是假命题，为什么？bd7合比

9、性质：如果 a = cbd如果 a = cbd如果 a = cbd如果 a = cbd，那么 a+b = c+d；bd，那么 a - b = c - d ；bdac，那么=；b+ad +cac=，那么b - ad - c8等比性质：如果 a =c，那么 a+cac=k （ b+d 0 ）；=kbdb+dbd5中小学个性化辅导如果 a = c = e =bdf= m ，那么 a+c+e+m = a = c = e = m =k（ b+d +f +n 0 ）nb+d +f +nbdfn【注意】等比性质的条件9如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB （ AP PB ）两段，其中 AP 是

10、AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割点 P 称为线段 AB 的黄金分割点 AP 与 AB 的比值 5 -1 称为黄金分割数，它的近似2值为0.618 【注意】1来说，一条线段的黄金分割点有两个；短边= 长边= 5 -1 2利用黄金分割时一定是：长边 全长2例题精讲【例 1】比例的基本性质：若 a = d，则下列比例式中不正确的是（）bcA a= bB d= cC a = bbD =cdcabcdad【解题指导】:乘积形式不变【正确】 B 【例 2】比例中项：已知线段 a 2cm， b 9cm，那么线段 a 和b 的比例中项为 【解题指导】: x2 = a b 【正确】 2 3

11、cm cm 【例 3】合比性质：x + y设 2y3x0（y0），则y【解题指导】: x = 2 y3【正确】 5 36中小学个性化辅导【例 4】等比性质的应用：xy = z 则 x + y + z =（1）若=y + z1089【解题指导】:（1）设k 法；（2）设 x=10，y=8，z=9 】 27 17【正确（2）若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且 a + b - c = 6 , 则 a =； b =； c =【解题指导】: 设 k 法】 a = 6; b = 8; c = 10.【正确a + c + eace3（3）若 =,bdf4= _则b + d + f【解题指导】

12、:等比性质的应用【正确】 3 4【例 5】黄金分割：已知线段 AB 长为 2cm， P 是 AB 的黄金分割点，则较长线段 PA =； PB =【解题指导】: PA = PB =5-1 ABPA2【正确】 PA = 5 -1; PB = 3 - 5 【例 6】比例尺：图纸上画出的某个零件的长是32mm ，如果比例尺是1: 20 ，这个零件的实际长是m 【解题指导】:设实际长为 x,则 32 =x20【正确】0.64m 1过关演练1 7 : x = (5 + x) : 2 中的 x =2如果 x : y = 2 : 3 ，则下列各式不成立的是（）A x + y = 5B y - x = 1x +

13、13D=x= 1Cy + 14y3y32 y37中小学个性化辅导3下列各组中的四条线段成比例的是()A a = 2,b = 3,c = 2, d = 3B a = 4,b = 6,c = 5, d = 10C a = 2,b = 5,c = 2 3, d = 15D a = 2,b = 3,c = 4, d = 14已知线段a，b，c ，求作线段 x ，使 x = ac ，以下做法正确的是（b）xbbaaaaxcxcccbxbABCD5. 已知线段 BC 10 cm ， C 是 AB 的黄金分割点，且 AC BC ，则 AB cm 6. 在 15000 的地图上，某两地间的距离是30cm ，那

14、么这两地的实际距离为_千米.7已知 x y z = 345 , 且 x + y + z = 12 ,那么 x =, y =, z =8已知， x : y : z = 2 : 3 : 4 ，则 x + 2 y - z 的值为x - y + 3z9已知线段a = 2,b = 2 2, c = 5 6 ，则c、b、a 的第四比例项 d a4b10已知=，且b 是c、a 的比例中项，则 ，若a 是b、c 的比例中项，则 b b3cc11已知C 是线段 AB 的黄金分割点， AC BC ，若 AC =5 -1 米，则 AB =米212美是一种感觉，当下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种

15、美感如图，某女士身高165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A 4cmB 6cmC 8cmD 10cm13. 在 ABC 中， AB = AC ， A 36， C 的平分线交 AB 于点 D ，求 BD ： AD 8中小学个性化辅导3三角形一边的平行线知识梳理1三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例2. 三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例3. 三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形

16、的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边【总结】三角形一边平行线的A以理解为两个基本图形：“ A ”字形与“8”字形AlEDA DElBCBCBlCDE【注意】在运用判定定理时一定要是两边上的比才能得平行。5平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例【总结】平行线分线段成比例以理解为基本图形：“井”字形6平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那

17、么在另一条直线上截得的线段也相等9中小学个性化辅导例题精讲C一、“A”字型：【例 1】如图, AM :MB=AN:NC=1:3 ，则 MN:BC=NABM由 AM :MB=AN:NC 得 MN /BC ， MN = AM = 1 BCAB4【解题指导】A 字型的简单应用。【正确】 1 4【例 2】如果梯形两底的比为 5：9，其中一腰的长为 16cm，那么将这腰从大底向小底方向延伸cm能与另一腰所在的直线相交【解题指导】本题仍是 A 字型的应用如图：x5169A【正确】 20cm 【例 3】在DABC 中， D、E 分别是 AB、AC 上的点，下列比例式中不能判定 DE / /BC 的是（）DE

18、A AD =AEB AD =ABC AD = DED AD =AEBCABACAEACABBCDBEC【解题指导】必须由边上的比得平行【正确】C【例 4 】 如图，在 DABC 中， C = 90 ， 四边形 EDFC 为内接正方形， AC=5，BC=3 ，则 AE：DF =B【解题指导】因为四边形为正方形，所以 AE：DF 可以转化为 AE：DE 5F【正确】 3AEC【例 5】如图， DE /BC ， EF /AB ，则下列式子中成立的是（）AA ADBFABDEEFACADDBBFFC=B.C.D.DBECBCACABCEEDBFC【解题指导】这类题型首先排除涉及到的 DE、EF 的比【

19、正确】 D 1中小学个性化辅导D【例 6】已知：如图，在DABC 中， DE /BC ， DF /AC ，若 AE =8 ， EC =5 ， BF=4 ，求：四边形 DFCE的周长AE = DE 转化为 AE =DE8DE【解题指导】即：=ACBCACBF +DE134+DE】114 5【正确【例 7】在DABC 中，D、E 是边 AB、AC 边上的点，且 DE / / BC, BE 平分ABC ，已知 AB=6 ，BC =8 求DE 的长【解题指导】A 字型与角平分线与平行的结合ADE24【正确】7BC【例 8】如图， AA1、BB1、CC1 相交于O ， AB A1B1 ， BC B1C1

20、 ，求证： AC A1C1 BC1【解题指导】需找中间比OA1AOAOBOC】=OAOBOC【正确B1C111【例 9】如图，在DABC 中， MN / / BC ， DN / /MC ，下列结论正确的是（）ANAMADDNAMANACDNMN=D=ABCNCABDMMCMBMCBCAD【解题指导】需找中间比MN【正确】 D CB【例 10】如图，已知点 D、E 在DABC 的边 AB、AC 上，且 DE /BC ，以 DE 为一边作平行四边形 DEFG ，延长 BG 、CF 交于点 H ，连接 AH ，求证： AH /EF 【解题指导】较复杂的找中间比【正确】略【例 11】如图，有灯杆 AB

21、（底部 B 不能直接到达），在灯光下，小明在点 D 处测得的影长 DF1中小学个性化辅导3m，沿 BD 方向到达点 F 处再测得得影长 FG4m，如果小明得身高为 1.6m，求 B、D 之间距离和路灯杆 AB 的高度ACEBDFG【解题指导】A 字型的应用【正确】 BD=9m，AB=6.4m 【例 12】已知：如右图， AD/BC ， AC 与 BD 交于点O ，过点O 作OE /DA ，交 AB 于点 E 。当 AD=3 ，BC =6 时，求OE 的长CDO【解题指导】两个比例式相加AEB【正确】OE=2 二、“8”字型：【例 1】如图，在平行四边形AH：HE =ABCD中， E 为的 BC

22、 中点, F 是 BE 的中点, AE 与 DF 交于 H ，则DA【正确】 4：1 HFECBAPBP = 3 则 MN =【例 2】如图， DPMN 中，点 A、B 分别在 MP 和 NP 的延长线上,BAMBN8BAAP】 5【正确MN3【例 3】如图，梯形 ABCD 中， AD BC ,对角线 AC 、BD 交于点O , BE CD 交CA 延长线与，求证：OC 2 = OA OE EAD【解题指导】需找中间比OCB【正确】略【例 4】己知菱形 ABCD 的边长是 3，点 E 在直线 AD 上， DE =1，联结 BE 与对角线 AC 相交于点 M ，1中小学个性化辅导AMMC则的值是

23、【解题指导】多解问题】 2 或 4【正确33三、“A”与“8”字的综合应用【例 1】如图，梯形 ABCD 中， E、F 为上下底中点， AF、BE 交于 N ， EC、DF 交于 M ，连接 MN ，求证： MN /BC AEDNM【解题指导】A 字型与 8 字型的综合应用BFCENAE EMDEAEDE【正确】：由：8 字型可得=；=由中点可得=BNBF MCCF，所以 MN /BC BFCF所以 EN = EMBNMC四、做辅助线构造“A”字构造“8”字【例 1】如图， DABC 中， AD 是中线，点 F 在 AD 上，且 AF：FD=1：2 ， BF 的延长线交 AC 于 E ，求AE

24、：EC的值【解题指导】需做辅助线：做平行线【正确】： 14AEFBDC【例 2】已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，点 F 在边 BC 上，且 CF=3BF，EF 与BD 相交于点 G，求 BG 的值DGADE【解题指导】延长即可GC【正确】： 1 5B FAE = 1 ，BF=EF ，AF 交 BC 于 D ，则【例 3】如图在DABC 中，E 为 AC 上的一点，BD：DC =EC2AE【解题指导】需做平行线1F【正确】 3BDC五、“井”字型：ADl1, AB = 2 , AC = 5 , DF = 10 ,则 DE =【例 1】如图l/ /l / /l123

25、BEl2Fl3C1中小学个性化辅导【正确】4ABDE【例 2】如图，若=,则 AD/BE /CF ，这是一个AD命题（填“真”或“假”）BCEFEBCF【正确】假【例 3】如图，已知： AB / /CD / / EF AE : ED = 3 : 2 , AB = 4 , CD = 9 ，则 EF =ABEF【正确】7【例 4】如图，已知 AD/BE/CF，下列比例式成立的是（DC）ABADBCEFACEFABDE =B =C=D =ADEBEACDFDFBCEFBCADBECF【正确】 B过关演练1 DABC 中,直线 DE 交 AB 于 D ,交 AC 于点 E ,那么能推出 DE / /

26、BC 的条件是()AB = 3 EC1AD2 DE2， =，=；A B AD2 AE2AB3 BC3AD = 2 CE2AD4 AE4， =D = ， =CDB3 AE3AB3 EC32如图、已知 D 是 AB 上一点，如果 DE BC ， DF AC ，点 E ， F 分别在 AC ， BC 上，那么下列比例式中正确的是（ ）A AEDE ;B AE = CFECFBC DEDFD FCECA=ECBCBCACBCACDECBFC3如图已知菱形 ADEF , AC = 15 , AB = 10 ，则CF =FEADB4在DABC 中，已知点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上，DE / /

27、 BC 如果 AD = 1cm ，AB = 3cm ，DE = 4cm ，那么 BC =cm ADE则5如图，在DABC 中， DE / / BC ， AD = 1 ，DB2DEBCBC1中小学个性化辅导6已知：如图，在DABC 中， BD 是ABC 的平分线，过点 D 作 DE / /CB ，交 AB 于点 E ， AD = 1 ，DC3ADE = 6 ，则 AB =DECBADBE27如图，平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果=，FBC3BF那么FDBEC=AB8如图， AB / /CD ， AC 与 BD 交于点O ，若 OC = 5 ，则 A

28、O =OBOOD3DCADAODO9如图，四边形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于O ，若=， AO =8， CO =12，COBOOBC =15，则 AD =BCAE = 1ED210 如图， E 是平行 四边形 ABCD边 AD 上一点， 且， CE 与 BD 交于点 O ，则 BOOD=A EDOCB11DABC 中，D 在线段 AC 上，BD 平分ABC ，DE /AB 交 BC 于点 E ， AB = 5, BE = 3 ,求EC 的长ADB12 DADE 中，点 B 和点C 分别在 AD、AE 上，且 AB=2BD ， AC =2CE ，则 BC：DE =EC13已知：如图，

29、在梯形 ABCD 中，AB/CD 且 AB=2CD ，点 E、F 分别是 AB 和 BC 的中点，EF 与 BD相交于点 M 求证： DM =2BM CDMFEBA1中小学个性化辅导14已知：如图， AB / / PD ， BC / / PE 求证： AC / / DE DPABOCE15某校九年级（1）班学生在学习了相似三角形一请你帮助他们计算：，设计并实施了测量学校国旗旗杆高度的方案，（1） 方案 1（晴天用）：在同一时刻，量得某一同学的身高是 1.5 米，影长是 1 米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是米（2） 方案 2（阴天用）：如图，在 B 处站立一位身高 1.8 米的学生甲，在点

30、 F 处站立着学生乙，学生乙从点 E 处看到学生甲的头顶 A ，旗杆顶C 在一直线上（点 F 、B 、D 也在一直线上），已知 EF =1.5 米， BD =34 米， FB =1 米，求旗杆的高度16如图，DABC 中，点 D 为边 BC 上的一点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PM /AC ，交交 AC 于 N （1）若 D 为 BC 中点，且 AP : PD = 1: 2 ,求 AM : AB ；AB 于 M ，PN /AB ，（2）若 D 为 BC 中点，求证： AMAN=；ABAC（3）若 D 为 BC 边上任意一点，求证： AMANAP+=ABACADAAMNNMppBCDBCD1中小学个性化辅导17梯形 ABCD 中，点 E 在 AB 上,点 F 在 CD 上，且 AD=a ， BC=b ， (1)如