傅里叶变换的条件

1、第5章 图像变换o 图像变换的作用o 傅立叶变换o 离散傅立叶变换o 傅立叶变换的性质o 二维傅立叶变换o 离散余弦变换第五章 图像变换第5章 图像变换 一. 图像变换的作用 图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换 图像变换的作用 我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。 1. 方便处理 2. 便于抽取特性第5章 图像变换常用的变换1. 傅立叶变换Fourier Transform2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform3. 沃尔什哈达玛变换Walsh-Hadamard Tran

2、sform第5章 图像变换二. 傅立叶变换 傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第5章 图像变换 傅立叶变换的定义o 傅立叶变换dxexfuFuxj2)()(若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为： 傅立叶逆变换定义如下： dueuFxfuxj2)()(第5章 图像变换 函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换

3、F(u)是惟一的； 反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。 第5章 图像变换傅里叶变换的条件傅里叶变换的条件 傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件： (1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积;第5章 图像变换F(u)可以表示为如下形式： )()()(ujIuRuF2122)()(| )(|uIuRuF)()(tan(arg)(uRuIu |F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，)(u称为F(u)的相角。 第5章 图像变换2| )(|)(uFuE)(uE称为函数f(x)的能量谱或功率谱。 第5章

4、图像变换高斯函数的定义为： 例例1 1 高斯函数的傅立叶变换高斯函数的傅立叶变换 2)(xexf根据傅立叶变换的定义可得： dxexfuFuxj2)()(dxeeuxjx22dxeuxjx)2(2dxeejuxu2)(2第5章 图像变换令x+ju=t，上式可以化为： dteeuFtu22)(2ue2xe2ue结论:与即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数 为傅立叶变换函数对。第5章 图像变换例例2. 2. 矩形函数矩形函数 矩形函数形式如下矩形函数形式如下: : 2|02|)(TxTxAxf第5章 图像变换dxexfuFuxj2)()(根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下： 222TTuxj

5、dxAe02)sin(uxjeuTuA第5章 图像变换可得矩形函数可得矩形函数f(xf(x) )的傅立叶频谱为：的傅立叶频谱为： |)sin(| )(|uTuTATuF几何图形如下页图(b)所示 第5章 图像变换第5章 图像变换第5章 图像变换第5章 图像变换第5章 图像变换第5章 图像变换)(SG),(jif),(jifgfgfg),(),(),(FGFg)(1ggFFFTf第5章 图像变换三. 离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的定义 要在数字图像处理中应用傅立叶变换，要在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的题：一是在数学中进行傅立叶

6、变换的f f( (x x) )为连续（模拟）信号，为连续（模拟）信号， 而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常， 将受这种限将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（Discrete Fourier Discrete Fourier TransformTransform，DFT)DFT)。第5章 图像变换o 离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的定义1021, 2 , 1 , 0)()(NxNuxjNuexfu

7、F第5章 图像变换1021, 2 , 1 , 0)(1)(NuNuxjNxeuFNxf第5章 图像变换四. 傅立叶变换的性质 共轭对称性 加法定理 位移定理 相似性定理 卷积定理 能量保持定理第5章 图像变换 共轭对称性第5章 图像变换第5章 图像变换 加法定理第5章 图像变换第5章 图像变换 位移定理第5章 图像变换 相似性定理 结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱第5章 图像变换第5章 图像变换 旋转不变性旋转不变性 由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。(a)(b)(d)(c)图 离散傅立

8、叶变换的旋转不变性（a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱 第5章 图像变换卷积定理第5章 图像变换能量保持定理第5章 图像变换五. 二维傅立叶变换1. 二维连续函数傅立叶变换的定义 dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(第5章 图像变换 dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(第5章 图像变换第5章 图像变换第5章 图像变换第5章 图像变换2. 二维离散函数傅立叶变换的定义 根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有立叶变换理论，对于一个

9、具有M MN N个样本值的二位个样本值的二位离散序列离散序列f(xf(x，y)y)，（，（x=0,1,2,3, x=0,1,2,3, ,M-1,M-1；y=0,1,2,3, y=0,1,2,3, ,N-1,N-1）其傅立叶变换为：）其傅立叶变换为： (1) 二维离散傅立叶正变换1, 2 , 1 , 0; 1, 2 , 1 , 0),(),(10)(210NvMueyxfvuFMxNvyMuxjNy第5章 图像变换(2) 二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v) （u=0,1,2,3, ,M-1；v=0,1,2,3, ,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为： 1,

10、2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(1),(10)(210NyMxevuFMNyxfNvNvyMuxjMu第5章 图像变换 x、y和u、v，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔 两者之间满足如下关系： vNyuMx11第5章 图像变换 式中序列R(u，v) 和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。 二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下： F(u，v)可以表示为如下形式：),(),(),(vujIvuRvuF2122),(),(| ),(|vuIvuRvuF),(),(tan(arg),(vuRvuIvu2| ),(|),(

11、vuFvuE第5章 图像变换(1)(1)线性特性线性特性 3. 二维离散傅立叶变换的性质),(),(),(),(22111111yxfkDFTyxfkDFTyxfkyxfkDFT),(),(2211vuFkvuFk(1) (1) 比例性质比例性质 = =0),(1),(abbvauFabbyaxfDFT第5章 图像变换(3)(3)平移性质平移性质 ),(),(00)(200vvuuFeyxfDFTNyvMxuj 二维傅立叶变换的移位特性表明，当用 乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。 )(200Nyv

12、Mxuje第5章 图像变换(4)(4)可分离性可分离性 10)(210),(),(MxNvyMuxjNyeyxfvuF1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(102210 NvMueeyxfMxNuxjMvyjNy第5章 图像变换 二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(210NvMxeyxfvxFNvyjNy在此基础上对x进行一维傅立叶变换1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(210NvMuevxfvuFMuxjMx第5

13、章 图像变换变量分离步骤如图所示 ),(),(),(yxfDFTDFTyxfDFTDFTvuFyxxy第5章 图像变换 若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应 10)(210),(),(MuNvyMuxjNvevuFyxf1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(102210 NyMxeevuFMuNuxjMvyjNv逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(),(1111NyMxvuFDFTDFTvuFDFTDFTyxfuvvu第5章 图像变换(5)(5)周期性周期性 1, 2 ,

14、1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(21NvMuNkvMkuFvuF 如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性： 第5章 图像变换(6)(6)共轭对称性共轭对称性 1,2, 1 ,01,2, 1 ,0),(),(*NvMuvuFvuF第5章 图像变换(7)(7)旋转不变性旋转不变性 图像f(x，y)可以表示为f(r，)。同样，空间频率域的F(u，v)采用极坐标可以表示为F(，)。二维离散傅立叶存在如下旋转特性： ),(),(00FrfDFT),(),(00rfFDFT第5章 图像变换(a)原始图像 (b) DFT变换 (c) 原始

15、图像旋转45 (d) 旋转之后DFT变换结果 第5章 图像变换(8)(8)微分性质微分性质 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),()2(),(NvMuvuFujxyxfDFTnnn1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),()2(),(NvMuvuFvjyyxfDFTnnn第5章 图像变换(9)(9)平均值性质平均值性质 平均值定义如下平均值定义如下 1010),(1),(MxNyyxfMNyxf1010),()0 , 0(MxNyyxfF),(yxfMN)0 , 0(1),(FMNyxf平均值性质如下：平均值性质如下： 即：即： 结论：二维离散函数的平均值等于其傅立

16、叶变换在频率原点处值的1/MN。 第5章 图像变换二维傅立叶变换二维傅立叶变换( (幅值及相位幅值及相位) )意义意义 第5章 图像变换图像的说明图像的说明 第5章 图像变换第5章 图像变换六. 离散余弦变换第5章 图像变换1010222) 1( 2(cos) 12(cos),()()(),(MxNyMNMNcyxyxfccF1010222) 1( 2(cos) 12(cos),()()(),(MNMNcMNyxFccyxf1)(21xc0 x1,.,2 , 1Nx第5章 图像变换第5章 图像变换返回第5章 图像变换返回第5章 图像变换另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压

17、缩率为：3.3：1第5章 图像变换 返回压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1第5章 图像变换返回第5章 图像变换设f(x)表示N点的一维离散序列，则一维哈达玛变换如下： 10)()(1010) 1)(1),()()(NxubxbNxniiixfNuxgxfuFu=0,1,2,3,N-1第5章 图像变换其中，g(x，u)是一维哈达玛变换的核，定义如下： 10)()()1(1),(NiiiubxbNuxg式中， u=0，1，2，N-1；x=0，1，2，N-1, N是哈达玛变换的阶数，nN2bi(z)是z的二进制数的第i位数值，取值为0或1。 第5章 图像变换10)()(1010) 1)(1),()()(NuubxbNuniiiuFNuxhuFxf第5章 图像变换10)()() 1(1),(),(NiiiubxbNuxguxh h(x，u)是一维哈达玛逆变换的核逆变换核与正变换核相等，即 第5章 图像变换哈达玛变换的阶数具有规律性，即按照nN2 规律递升，高阶哈达玛矩阵可以通过低阶哈达玛矩阵的克罗尼科积运算求得，也就是说，哈达玛矩阵具有