重点中学高三第二轮-复数.

1、高三第二轮复习复数一本章知识结构数的概念的发展复数的概念复数的向量表示复数的代数形式复数的几何意义共轭复数与复数的模复数的四则运算二学习内容和要求（一）学习目标1了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表；2理解复数的有关概念；3掌握复数的代数形式；4掌握复数的代数形式的运算法则；5能进行复数的加、减、乘、除运算；6掌握某些特殊复数的运算特征7能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。（二）本章知识精要1复数的概念：（1）虚数单位 i；（2）复数的代数形式z=a+bi， (a, bR)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集实 数 (b0)复数abi ( a , bR )虚数 (

2、b有理整数数分数无理数(无 限不循环小数 )纯 虚数 ( a0)0)数 ( a0)非 纯 虚3复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i，（1）加法： z121212；+z =(a +a )+(b +b )i（2）减法： z1 z21a21b2 ；=(a)+(b)i2 1 ；（3）乘法： z121 2b1212z =(a ab )+(a b +a b )i（4）除法： z1(a1a2b1b2 )(a2b1a1b2 )i ；z2a2b 222（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：2n(n 为整数 )的周期性运算； i(1 i)=2

3、i 若 =1332+2i，则 =1，1+ +=0.24共轭复数与复数的模（1）若 z=a+bi，则 za bi ， zz 为实数， z z 为纯虚数 (b0).（2）复数 z=a+bi 的模， |a|=a2b2, 且 z z| z |2 =a2+b2.三学习方法与指导（一）学习方法点拨：1数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，书的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系

4、。 理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系，即 N 苘Z Q 苘R C .2复数 a+bi(a, bR)由两部分组成，实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部， 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0 时， a+bi 就是实数，当 b0 时， a+bi 是虚数，其中 a=0 且 b0时称为纯虚数。应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件， 若 a=b=0，则 a+bi=0 是实数。3根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数 a+bi 和 c+di 相等aca0规定为 a+bi=c+did. 由这个定义得到 a+bi

5、=0.bb0两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法， 是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。4复数 a+bi 的共轭复数是 abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将 i 2=1 结合到实际运算过程中去。2222 222如(a+bi)(abi)=a (bi)=a b i =a +b .6复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi

6、0)的复数x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即 a bi(a bi )(c di )acbd(bcad )i .c di(c di )(c di )c2d 27复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例 1实数 m 取什么数值时， 复数 z=m+1+(m1)i 是（1）实数？（2）虚数？（ 3）纯虚数？（ 4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+(m1)i 中，因为 mR，所以 m+1，m 1 都是实数，它们分别是 z 的实部和虚部，

7、（1）m=1 时， z 是实数；（2）m1时， z 是虚数；（3）当 m 10 时，即 m=1时， z 是纯虚数；m10（4）当 m 10 时，即 m1时， z 对应的点 Z 在第三象限。m10例 2已知 (2x1)+i=y(3y)i ，其中 x, yR，求 x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组2x1y，得 x= 5, y=4.1(3y)2例 3已知 x 与 y 实部相等，虚部互为相反数， 且(x+y)23xyi=46i，求 x, y.解：由题意设 x=a+bi，y=abi (a, bR)，则代入原式得(2a)2 3(a2 2bi4a24，a1 或a1 或 a1或+b )i=43(a2b

8、2 )6b1b1b1a1 ，x 1 i 或 x 1i 或 x1 i 或 x1i .b1y 1 iy 1iy1 iy1i例 4当 m 为何实数时，复数 z 2m23m2 +(m2+3m10)i；（1）是实数；m225（ 2）是虚数；（ 3）是纯虚数解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法2m23m100，（1）z 为实数，则虚部 m +3m10=0，即25 0m2解得 m=2， m=2 时， z 为实数。2m23m100，（2）z 为虚数，则虚部 m0，即+3m1025 0m22m23m20解得 m2且 m 5当. m2且 m5时， z 为虚数m23m 100 ，m2250解得 m= 1

9、,当 1时， z 为纯虚数2m=2诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求232005例 5计算： i i i + +i.解：此题主要考查in 的周期性i i2 i3 + +i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i 2004)i2005=(i 1 i+1)+ (i 1i+1)+(i1i+1)+i00 0+i i .或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）n例 6当 为何值时， z1 z2，其中：z1 1 sin icos，z21i=sin.1cos解：此题主要考查复数相等的充要条件及有关三角函数的知识

10、 z1 z2, icos= 1i,即1sin1 sincos1 sin1(1 sin )21sin，1， 无解，即 不存在。1cos21coscos诠释：本题应抓住复数相等的充要条件例 7已知 x、y、tR，t1 且 t0，求满足 xyi= t(1t )i 时，点 (x,1tty)的轨迹方程。解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法xtt1 t )i ，t ， xy=1, xyi=(11tt1tyt 点(x，y)的轨迹方程为 xy1，它是以 x 轴、 y 轴为对称轴，中心在 (0，0)的等轴双曲线诠释：本题应抓住复数相等的充要条件及消参数来求点的轨迹方程。例 8 使不等式 m2 (m

11、2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立 的实 数 m.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i (m24m3)i 10, 且虚数不能比较大小，m210| m | 10 m23m0，解得 m0或 m3 ， m=3.m24m3 0m3或 m1当 m 3 时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例 9已知 z=x yi(x， y R)，且2x yi log 2x8 (1log 2 y)i，求 z解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法 2x yi log2x8 (1 log2 y)i ，2x y80， x

12、 y3 ，log 2 x1log 2 yxy2x2x1解得或y, z2i 或 z12iy12诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例 10已知 x 为纯虚数， y 是实数，且 2x 1 iy(3y)i，求 x、y 的值解：本题主要考查复数的有关概念， 实数与 i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法设 xti (tR，且 t 0），则 2x 1 iy(3 y)i 可化为2ti 1i y(3y)i ，即 (2t1)i 1=y(3 y)i， 2t 1(3y) , y= 1, t= 5, x= 5 i.1y222复数的四则运算例 1计算：2n（1）(1i

13、 )，nN+；(1i )2( n 1)（2）若 =1333 i6(3i 6；+i， =1，计算 ()2)222（3）( 32i )(52i )(53i )2；(23i )(25i)（4）S=1+2i+3i 2+4i3+100i 99.解：（ 1） (1i )2n=(1i)2n(1i )2(1i) 2( n 1)(1i )2 =2in2k1,k2in2k, k( 2i )n ( 2i ) ( 1)n 1 2i 2iN.N（2） ( 3 i ) 6(3i )6 = ( i13i )6( i13i )6i 6 6( 2)62222=2.（3）由于32ii ,52i,23i2i5i( 32i )(52

14、i )(53i)2= | i i( 53i)2 |(53i )2 |( 53)2(23i )(25i)=8.（4）S=1+2i+3i 2+4i3+100i 9923 4567 969798 99 =(1+2i+3i +4i )+(5i +6i +7i +8i )+ +(97i +98i +99i +100i )=25( 2 2i)=50 50i.例 2已知复数 z 满足 |z 2|=2，z+ 4 R，求 z. z解：设 z=x+yi, x, yR，则44z4( xyi )x4x2 ( y4 y2 )i ，z+ =z+x yix2y22yx2yzzzx z+ 4 R，y24 y2=0， 又 2|

15、=2,(x2)2 2zxy|z+y =4,联立解得，当 y=0 时 , x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此时 z=0)，x1当 y0时, z=1 3 ,y 3 综上所得 z1 =4，z2=1+ 3 i ，z3=1 3 i.例 3设 z 为虚数，求证： z+ 1 为实数的充要条件是 |z|=1. z证明：设 z=a+bi (a, bR，b0)，于是z+11abiabi(aa) (bb)i ,=(a+bi)+a2b2a2b2a2b2za bi所以 b0, z+( 1)Rb2 =022|z|=1.zba2ba +b =1例 4复数 z 满足 (z+1)( z +1)=| z |2，且 z1

16、为纯虚数，求 z.解：设 z=x+yi (x, y R)，则z1(z+1)( z +1)=| z |2+z+ z +1=| z |2， z+ z +1=0，z+ z = 1， x= 1 .2z1 = (z1)(z1)| z |2zz1 = x2y2xyi xyi1 为纯虚数，z1( z1)(z1)| z 1|2| z1|2x2+y2 1=0, y= 3,z= 13i或 1 3i .2+2z=222例 5复数 z 满足 (1+2i)z+(310i) z =434i ，求 z.解：设 z=x+yi (x, y R)，则 (1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i ，整理得 (4x

17、 12y)(8x+2y)i=4 34i.4x12 y4, 解得x42 y34y, z=4+i.8x1例 6设 z 是虚数， =z+ 1 是实数，且 12，z（1）求|z|的值及 z 的实部的取值范围； （2）设 u= 1z ，求证 u 为 纯虚数；（3）求 u2 的最小值。1z解：（ 1）设 z=a+bi (a, bR, b0)，则=2a2 )(b2b2 )i，由于 是实数且 b0， a22，(abb+b =1aa即 |z|=1，由 =2a, 10，则 u当 a+1= 1,即 a=0 时，上式取等号，所以 u2 的最小值为 1.a1例 7证明： iz1iz解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭

18、复数的性质等设 zabi， (a, bR)，则i z = ia bia (1 b)ia2(1b)21 .a2(1 b)2i z ia bia (1 b)i解 2： i z iz i z ，iz =iz(iz)1.iziziz诠释：此题抓住模的定义或共轭复数的性质来求解例 8 (2002 年高考 )已知复数 z 1 i，求实数 a， b 使 az+2b z (a2z)2解：此题主要考查共轭复数，复数的四则运算，复数的相等 z1i ， az+2b z (a2b)(a2b)i，(a2z)2 (a2)244(a2)i=(a24a)4(a2)i a2ba24a ，解得 a2或 a4.a2b4(a2)b1

19、b2例 9若复数 z 满足 z= 1ti(tR)，求 z 的对应点 Z 的轨迹方程1ti解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等设 zxyi， (x, yR)， z= 1ti=(1ti )2ti )1t212t，1ti(1ti )(11t 2t2 ix1t 21t 2，消去参数 t，得 x2 y2，且 2t= 1x1y1t 2 所求方程为 x2y21（x1）诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出 |z|即可例 10已知复数 z 满足 |z| 5，且 (3+ 4i)z 是纯虚数，求 z解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，

20、模的定义及计算设 z x yi（x, yR）, |z|5， x2 y225, 又(3 4i)z=(3 4i)(xyi)(3x4y)+(4x3y)i 是纯虚数，3x4 y0，x4x43y0联立三个关系式解得或y，4xy33 z=4 3i 或 z 43i 诠释：解此题应抓住纯虚数的定义和模的定义而得到方程组， 正确解方程组即可例 11设 z 是纯虚数，求复数 z 对应的点的轨迹方程 z 1解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法z是纯虚数， (z )z0 ，即zz0 ,z1z1z 1z1z12z z zz0 ， 2zz +z+ z =0，(z0， z1)，( z1)(z1

21、)设 z=x yi，(x，yR)， 2(x2y2)2x0（y0） (x 1 )2y2 1 （y0）它为复数 z 对应点的轨迹方程24诠释：解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质，利用运算法则进行求解。（三）单元检测一、选择题：1设 f(a)= i nin (n N)，则集合 f(n) 中元素的个数为（）A4B 3C2D 12已知等比数列的第 100 项为 2i，第 300 项为 200i ，则它的第 200 项为（）A20B 20C 198iD 202i3设条件甲： x=0，条件乙： xyi（x，y R）是纯虚数，则（）A甲是乙的充分非必要条件B甲是乙的必要非充分条件C甲是乙的充分必要条件D甲

22、是乙的既不充分，又不必要条件）4已知关于x的方程x2(2i 1)x3mi 0 有实根，则实数 m 应取的值是（Am 1Bm 1C m= 1Dm= 14412125有下列命题： 若 zC，则 z2 0； 若 z1， z2 C，z1z20，则 z1z2； 若 ab，则 aibi其中，正确命题的个数为（）A3B2C 1D 0设+，R，M 分别表示正实数集， 负实数集，纯虚数集，则集合加 m26R| m M是（）+BCR 0ARRRDR7 (13i )32i 等于（）(1i) 612iA0B1C1Di8设 f(z)|1+z| z ，若 f( z )10 3i ，则 z 等于（）A53iB 5 3iC

23、5 3iD 5 3i9方程 x2 (k+2i)x 2 ki0 至少有一实根的条件是（）A2222 2 或k22kBk2C k=2 2Dk2210若 2 3i 是方程 x2+mx+n0 的一个根，则实数 m，n 的值为（）Am4，n=3Bm=4，n13Cm4，n=21Dm=4， n 5z2 所对应点11在复平面上，复数 z 所对应的点在二、四象限的角平分线上，则的轨迹是（）Ay 轴By 轴正半轴C y 轴负半轴Dx 轴二、填空题：12计算： i29+i30+ i31 i32+ i250.13设 m R，z (2i)m2 3(1 i)m 2(1 i)，当 m=时， zR；当m=时， z 为纯虚数1

24、4已知下列命题：（1）在复平面中， x 轴是实轴， y 轴是虚轴；（2）任何两个复数不能比较大小；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）若 t si=34i，则 t=3、 s=4其中真命题为15若复数 z 满足 z+1|=12i，则 z=.|z216设 zC， |z|=1，则 |z+3 +i|的最大值为.三、解答题：设2a22a 15，试判断复数 z 能否为纯虚数？并说明理由z=(a a b)+i17a2418关于 x 的方程 a(1+ i)x2+(1+a2i)x+a2 i=0 (aR）有实根，求 a 的值及方程的根19已知关于 t 的一元二次方程 t2(2i)t2xy(x y)i=0（x、 y R），当方程有实根时，求点 (x，y)的轨迹方程20已知复数 z 满足 |z|13i