级数与广义积分

1、第五章级数与广义积分§ 51收敛性的讨论一、基本概念与收敛的必要条件1. 级数与广义积分收敛性定义 .-bo-be(1)设a /是数列，则a an称为级数称S a1- -an为级数an的前n项部分和.ngn卫若数列任收敛，则称此级数收敛，并称极限值|im Sn为级数 f an的和设f x是定义在a, b上的函数，其中b三R = R _. _ ：,：二若对任意t ：= a,b , f x在a, t上可积，且极限lim f x dx存在，则称积分b f xdx收敛，或f x在la, b上广义可积，且记f f (x qx =lim jf (x dx 当b R且f (x 在点b附近无界时，称

2、b为瑕点.当b为或瑕点 at:b a时，称b f X dx为广义积分类似可定义a为-二时广义积分bf xdx的收敛性.设f X是定义在a,b上的函数，其中a,bR*,定义ab f xdx匚f Xdx :f Xdx,其中Ca,b .若j f(X dx与f f (x dx都收敛时，称积分f f (x dx收敛，易证上述定义与c的选择无关aca2. 级数收敛的必要条件若级数a an收敛，则lim an =0 但是由广义积分"f x dx收敛，不能推出lim f x =0 n 4n一 -3x-例1存在1,讼上广义可积的正值连续函数f X，使得Xlm；f(x)H0解 定义函数g(x)如下：当n

3、 Mx ： n 丁1古时，g(xro；当-/注汕彩时,g(x) =2n2 x -n -12 ；当 n 1 基 _ x ： n 1 时，g(x) - -2n2 x - n -1 其中 n 取遍l门丿2n任意自然数函数 g(x)的图像如图所示再令f X =g(x) 丄，则f X在1,；上连续恒正X且J f (x Qx = b (x dx + r笃dx =E+1是收敛的，但是Jjm/(x卜2式0 xn nx-例2设f (x)在a,；上一致连续且 ：'f X dx收敛,证明|im / O0 证明 由于 f (x)在 3,j ：上一 致连续，；.：匸0,二0 当 x',x'

4、9;Ga,b 且 x'-x''：、；时，有f(X' J- f(X'' be E.由于广f(X dx收敛，存在 M >0 ,当 x. AM 时，(t dt £拓由于x .-x、f tdt_f x彳=【x切o i(x丸兰n叶i ©冲兰汙创=磁所以|f (x <X j -x r tdt_f x；.：2 . 即 f x ：2 ；这证明了xf(xA°.证明由于:：f x dx收敛，一； 0，例3设f (x)在a, ：上单调递减非负且:f x dx收敛，证明|im xf x=0.上单调递减非负，从而f2x x存在M

5、.0,当x. .M 时，dt近.又 f (t)在 lx，2xl<f(t gt c兰.故有0兰2xf(2x 因此当x. >2M时，0 辽xf x ：；,所以 Jim xf x =0.例4设f (x)在a，亠上可微，f'(x)可积，且当x 时，f (x)单调递减趋于零.又"f x dx收敛，试证'xf' x dx收敛.证明 首先f (x)非负.否则，若存在x1使得f(xj：0,则 x ax时恒有f (x)兰f (xj c 0 ,从而：f x dx发散，而这与已知条件矛盾.其次由xf' (x dx = Jxdf (x )= xdf (x )= x

6、f (x)-a：f x dx，且 a： :f xdx 收敛可知，xf' (x dx收敛与否取决于xumxf (x是否存在.由例3证明过程可知xlim -xf x H例5设f (x)在la,讼)上有连续可微函数，积分广f(xdx和f'(xdx都收敛.证明mj x =°.证明 要证Xr : -' , f(x)有极限，由归结原则，只要证-况：)二恒有：f(xn)收敛.事实上，由°f '(X dx收敛，由Cauchy收敛准则，V® >0 ,存在A >a ,当x1,x2>A时，恒有f'(x dx =| f (x2f(

7、Xi D V呂.于是 P&n t 讼,存在 N a0 ,当 n,m a N 时，有 xn, xm> A,从xlimf (x卜口存在.下证而fm f'(x dx Tf(xm )f(xn )«.所以f(Xn)收敛.由归结原则x n“o.若。，由局部保号性，存在°,当X，时有f(x)匸.0.从而A，时2Af (xdxAt讼(当At "He时)这与 广f (x收敛矛盾同理可证° <0也不可能，故、收敛的充分条件1.比较原则设壬an与壬bn都是正项级数,且存在N >0 ,当n > N时，an兰0 ngng(1)若'

8、bn收敛，则Fan收敛；(2)若a发散，则bn发散推论 设an与壬bn都是正项级数，且存在anbn(1)若f bn收敛，则f a收敛;发散，则F bn发散.对广义积分有类似的比较原则例6设是单调递增的正数列,证明(1)当仏有界时，£%虬收敛;(2)当ub无界时,抖Un发散.Un 1Un1证明(1)由条件知lim unytc存在,设lim un二u.因为Un =UnUn 1 一 UnUn 1 UnUn 1Un 1UiUk 1 UkU -U1T U1U1Ui由比较原则级数瓦1Un收敛.Un 1当u沅界时,有肌丿，仁.由于1 - UkUk十丿 kI=ZUk1 -Uk；pUk 1k 

9、3;对固定的n ,取充分大的p使得土HofZ 1Un发散U k 1 - UkUn -p 1Un!：.p 1Un 1Un “p 1 Un-二 1n T-,则有 '、2Un -p 1Uk1 kUk 12UnUn -p 1由Cauchy收敛准则，级数练习 设f (X)在1,；上连续，对任意X1,炖)有 f(x)>0.另外 |im ln f(x)=qln x1 ：=f xdx收敛.limx：I n x证明因lim ln f x 一，故-；0 ,存在A .1 ,当x A时有ln f x 一，.；，即 ln xln f x ：_，； l n x =l n x -'；,所以 0 ： f

10、 (x) ： 1(当 x A 时)因/ ",故取 0 ：:;：: -1 ,x :匕是，-；1,所以_L dx收敛由比较判别法X '-；i ' 'f x dx 收敛.2.比式判别法设J a是正项级数，若极限lim也二q存在，则n ：an(1)当q ：1时级数二a收敛；(2)当q .1时级数发散.练习1试证如下级数收敛(1) ,2 2 - 2 2 -2 2 2-2 2 2 ；提示(1)令 An 二 2.2 、23. 3 - 6. 3 -、66：:2 ， an 彳=2 An (其中 A0 = 0),易证'imrAn = 2 .lim an-1lim'

11、心n=.2-代丄2 - .2 x=limlimX 22xX 21川归结原则).2练习2设f x在x=0的某邻域内有二阶连续导数， 且龙叫f X=0 证明级数f -绝对收敛.证明1由lim f xx )0原则，lim -ni1=0得,f 0 = 0, f 0=0.又 lim f x = lim x = f'' 0 .由归结'xx 刃 x2x 刃 2x212“im号x Q x21 f'' 0 *，故 rlix22xn 2 n2n2而级数二收敛，由比较判别法知证明2由lim'-0得,f 0 =0, f 0 =0. f x在x = 0某邻域内的二阶泰勒展

12、式为x )01 f：xx2,0 川 <1f x 二 f0i亠 fOxf Hx x2 口2 2故a f i1绝对收敛.nd n由f "(x琏续知，2M a 0 ,有f "(x声M，从而有f例7 （比式判别法的推广）设 f 是正项级数,则n 4当lim也小时，级数J an收敛；（2）当lim an1 ：:1时,级数"an发散n）： ： a.n AnT a.n J证明（1）设q = lim an 1 .小存在； 0使得q ； ：: 1.由上极限的性质,存在N . 0 ,当n . N _nTan w:q ； ：1故有 aN 1 ： q ； a”aN 2q ； aN

13、.i： ：.q 亠i aN ,aN.pf:.q亠 J i aN ,p由于等比级数 匚（q+g ）收敛，由比较原则，卄收敛，所以级数瓦an收敛.PgP 生n（2）设q =皿也:：1 ,存在；0使得q -1由下极限的性质，存在N -0 ,当n N时,anan 1anq r. >1.因此 a. 1 a.所以原级数是发散的3. 根式判别法 设送an是正项级数，若极限Hm器瓦=|存在，则nJ' _（1）当I ：1时级数；n收敛;（2）当丨.1时级数Fan发散.n珀nW（根式判别法的推广）设壬気是正项级数,则n 1当liman <1时，级数二an收敛；（2）当皿鼻注时,级数宀：可发散证

14、明可仿照例7进行.4. Raabe判别法（极限形式）设壬%是正项级数且极限n吐（1）若r 1,则级数收敛;（2）若r ：:1,则级数发散n证明 取呂>0使得0=一呂>1.存在N >0,当n>N时，n 1 _an+>r0,由此得 < %丿0：:：1取P满足1 ： P ° 由于ann故当n充分大时,r0n.0,即所以an1an1n 1 p .因此由1收敛与比较原则的推论可知 =1池 np/、丄(3)当n充分大时，有n 片半,an+n_1 _下n _1"an发散.ndIan 丿ann1由调和级数1发散与比较原则的推论可知n 1 n例8讨论级数&

15、#39;、；-2n 一1 ! 的敛散性.4 ：2n !解设ann 1n 2P2n 212n 2(此处利用已知极限丄上 =p),由Raabe判别法x(n -'),当p 2时级数收敛；当p ：2时级数发散；当p =2时由推论Raabe判别法的证明过程知级数发散=0.例9讨论级数的敛散性.其中x 0.花(x +1 収 +2(x + n )解设"匚+1认+2严(x+n)由于nin 亠1nxI =x n 1 x n 1由Raabe判别法，当x >1时级数收敛；当x <1时级数发散；当x =1时级数为丄+丄卡，因此级23，数是发散的.例10设数列&单调递减非负，证明级

16、数 壬an收敛当且仅当级数 f 2kk收敛.n ：!k=0证明 设 Sn =a1 a2 an, Tk =a1 2a2ka2k.当 n ：2k 1 时，Sla1 (a2a3)(a2'-a2k )乞a1 2a2，2k a2k二Tk .因此若级数产2kk收敛,则数列 瓦有界，从而数列 6有界，这推出级数产an收敛当k .0n 丄n . 2k时，1kJ1a 2 ki k.2故由级数E务收敛可推出级数n 4"2ka2k 收敛.k-0Sn _a1a2 (a3 a4)亠亠心?*亠亠a2k)a1a2亠2a4亠 亠2例 11 设 an 0（n=1,2，） ,证明数列（1 +印01+a2厂（1+

17、an沪级数送an同为收敛或发散n证明 令 un = 1 印 1 a21 an,则 ln un =1 n 1 a1 In 1a2厂 Tn1 an.所以U"攵敛二讪尙液敛二' 'ln（1 an）收敛.由于当lim aG时有lim叫！2 y,所 n二心n心 anSS-be以送In（1 +an）与送an同为收敛或发散，从而数列比与级数瓦an同为收敛或发散n 卫n £n注当数列（1 g 1 +a2厂（1 +an ）收敛时，称无穷乘积,口 +an 收敛，其极限值称为无穷乘积n=111a n*an同为n 二壬叽-an|与级数壬的值.否则称无穷乘积发散例如发散而收敛 例12

18、设an式G （n =1,2,）且n|man=aHG,证明级数收敛或发散证明令unan 1 a n则Un|an屮 - an|Vn11an -+an=an 十 _an= anan t a2 (nT g所以级数-to7 Un与级数F V同为收敛或发散例13设正项级数an是发散的，Sn表示该级数的前8 an项部分和证明（1）级数邑 也是k =G Sn:=a发散的；（2）级数 2收敛.n=1 Sn证明（1） 由条件知s ?单调递增趋于-.我们有akan 1 学 an 2. aman 1am _ Sm _ SnSn 1Sn 2SmSmSm固定n ,令则0 因此存在N .0,当m . N时,有鱼SmSm.1

19、 .所以当 m .max：n, N 2 'mk-1 Sk1 : : a=_ 由Cauchy收敛准则级数_n发散2ak1 ；Sk和有界，故该级数收敛.Sk 丿Si_ 1k_2 SkSkja112 <，此级数部分Sna15. Leibniz 判别法 设交错级数(_1 an (其中an启0)满足n 1 a渾调递减;(2) iim an =0,则级数"_1 nan收敛.ann 46. Abel判别法 设(1)级数a_an收敛；(2)数列in 单调有界，则级数"anbn收敛7. Dirichlet 判别法 a nn -4设(1)级数、an的部分和有界；(2)数列in 单

20、调递减且lim bn =0,an n 4则级数v anbn收敛n 4对于广义积分有相应的Abel判别法与Dirichlet 判别法，这里就不再复述了 例14设函数f x在a, ：上f x > 0,且单调递减，并对任意的A a , f x在'a, A】上-be-beo可积.试证明： f x dx与 f x sin2 xdx具有相同的敛散性证明(1)当f X单调递减到 0时，则由Dirichlet判别法知， f x cos2xdx收敛从而由af x sin2 xdx=f x 1一dx=-a22f xdx 与f x sin2 xdx具有相同的敛散性a(2)当f X单调递减到某个正数 A

21、时,则对无论多么大的数"bof x dx、I f x dx A >a'a+oc (6 T °o-2a2a*、.2f x sin xdx，i f x sin xdx A sin xdxa *“七A f 怖1 _cos2x 1 j： 1Adx A、a 2 2故这两个积分都发散2abef x cos2xdx 知,二，有因f xi，O,且单调递减，故f x单调递减到0或到某个正数 A.n例15讨论级数v -1的敛散性.n -1p 丰n n(1) 当p岂0时，通项不收敛到0 n -；：;此级数发散；(2)11当p 1时，亠：:：p nn n1(3)_ 1当0 :： P乞

22、1时，-n4 np收敛,1斗单调有界，应用Abel判别法知原级数收敛.因为n下丄1 n > :,故原级数条件收敛.nn，而瓦1收敛，由比较原则知，原级数绝对收敛; n=np例16设an 0 (n =1,2,)，且极限lim nI； _an* :存在且大于0证明级数 匚(_1性.收敛.an 丿n证明 由Leibniz判别法，只要证 玄？单调递减趋于0.由条件lim rn .存在ro0与Ni .0 ,当n . Ni时,n 1丑Ur。 0an,由此得：1.该不等式说明*an 单调递减的.取pnan 1an齢1丄-1n 慎n七丿 一1 1 'nt r° p >0'

23、0故存在N20,当n N2时，£_I n十1丿1>0,即n所以当 n max<.N1, N2 时,an 1an满足 0 ： p ：ro.当 n时,有an.不妨设当“-1时该不等式成立.则用数学归纳法可证明 a看由此可得n驳n=°.例17讨论级数_1 n 1 2n 一1 !卩的敛散性.n z!_ 2n!解设a /加-1 !,由例8知级数 fa当p>2时收敛，当p兰2时发散.因此当pA2时 n _2n!nm n30级数送"(J+an绝对收敛，此时有n三an 1an_ 1 p2n 2 n ,故12n 22n H-2an 1P.由例16知当I =an2p

24、 .0时级数瓦°(_1 j斗an条件收敛n -1由收敛的必要条件知当p 0时，Iim 2n -1! P _0因此当p ：0时,(2n 芋_故级数 f (_1 J+an发散本题的结论可总结为：n 4/ 1 严 |(2n -1 9! n一 2 n!'p .2时绝对收敛0 ： p _ 2时条件收敛.p兰0时发散例18证明级数J :型是条件收敛的n =2 I n n证明 令 an =sin n , bn丄则% ?单调递减趋于0又由三角恒等式In n3；cos cos m -21)2丿,所以12 si n2Z sin n <n=21.1sin2由 Dirichlet判别法知级数f

25、龟收敛.nJ In n下面证明7 sin n发散.:.|sin n八：sin2k心In nn z2 I n nk4 In 2ksin 2k T： IIn 2k 1sin 2k| 亠 sin 2k 1>zkaIn 2k 1设 f (x )= sinx+ sin(x +1D，显然1f x 0且f x是连续的周期函数因此存在1.0使得f(x)Al所以f四-be>IZn总 In n k In 2k 11由此可知级数f sin nn=2发散In n例19讨论级数f目2空的敛散性二 I 2n 丿 n1 I .丄同例18可证2 n解 当x=kn时级数显然收敛当xHkx时，令an =s inn x

26、，bn、an部分和有界下证£n 1单调递减趋于0.n z!1 1 1 12 n 1 n n 1bn bn 1 二丄 1 丄2 川1,2 n 丿 n+1 i由Dirichlet判别法知级数送anbn收敛n =1用类似于例18的方法可证该级数是条件收敛的例 20 若；nxn :收敛，n xnn =2证明令=Xi,v =1，则二n_Xn t收敛，则级数 Fxn收敛.nL Vi =n .利用Abel变换得到i A.nn丄X Xi 1 =碍 Xn £ Di(xi 卑一xi ) =n xn i(Xi屮一x )i 1i _1i 1-ie8n 亠由于送 n (Xn 半一 Xn)=：L( n

27、+10Xn 卑一Xn)，. 而，n 1n 1n +1-to、n 1 Xn 1 Xnn 1列'nxnnn +1单调有界，级数八I xn -xn丄收敛.由Abel判别法知级数J n xn 1 _x n收敛.再由数n 2n丄的收敛性即可知级数Xn收敛n =1练习设0an收敛，n$QOlim na. =0 .证明:n :cdcd- n(an _ an 1 )an nJnJ记级数二n(an -a*)的前n项和为Sn，贝Un -1Sn-(ai- a2)2(a2-a3)n (%- ani ) =aia2an - n务 i ,OQ n 一 an 1)二an nV证明n°c而im 一nan 1

28、 二 Hm (n 1)an 訂=0，所以' n(an n I n * 1n=1例21设p .0,级数v _in 1 _L的和记为S.证明1 :S :：: 1 1111.''-, I”,I2P 3P4P 5PJ L t：2n -1 P 2nP1，则 f' x - -PXJ，f'' X 二 p(p 1)X2X证明显然另一方面,n 41 1STy 歹1丄2P 3¥n1p-J"丄一丄p 4P当 x>0 时，f''(X)A 0.因此f x为严格下凸函数 故对任意Xi,X2 0 ,当Xi =X2时，有f(Xi +x2

29、f(Xi )+ f(X2 )取2X =2n -i,x2 =2n i,则 2f 2n : f 2n -1 f 2n 1即 f 2n -1 - f 2n f 2n - f 2n 1 所以丄丄丄，丄_丄丄丄2P 2P 3P 3P 4P 4P 5P因此s匕一丄丄)+丄.2P 3P 4P 5P2nP 2n 1 Pn丨例22讨论级数v -d的敛散性.n 1 n2n -1 P 2n P 2n P 2n - 1 P1_s .所以 S -.21 _丄丄8915-ho1n 1k1+ 21 + + 1k +1（k +1 2 -1今 11令 ak =p * 卡一 +k k 1k 1 2 -1由于厶二：2 k 21 k

30、 1 2,故k2k2 k -1 k2 k k 1 2 _1 k k kkk 丄 k +122 2k k -1 k 1-1 k 1同理可证gk2 akk因此ak 是单调递减趋于o的.所以级数& -1 k 一 * 2 n4k2 k21k 1 2 -1收敛，从而原级数收敛注 上例中实际上是证明了加括号后的级数是收敛的问题是：一个变号级数加括号后收敛能否推出原级数是收敛的 ？在一般情况下是不行的.例如级数1_11_1 是发散的，但加括 号后的级数1-11_1 收敛我们有以下的定理.定理将级数Fan加括号，使得同一括号内的项具有相同的符号n 2则原级数也收敛，且两个级数的和相等.如果加括号后的级

31、数收敛，证明 设加括号后的级数为 at .an (an厂-aj 8Ak k=1其中Ak=ank1 Vnk （k =1,2，且设n0=0）的部分和为Sn二a1飞2 Vn，则Snk=A1A2恥 7'Ak由条件知级数vAk收敛.因此极限Jim$兀存在，记S为其极限值.设nk冬n乞nkd，则当Akdkzi中的项全为正项时， _Sn ：Sn；则当Ak1中的项全为负项时，S _Sn ：Sn因此 nimT =s，即 f an“八-n 1例23讨论广义积分-toAk k 11 '-1 二！dx的敛散性x解 显然该积分不是绝对收敛的.设n <y!x <n+1,则n2 Ex2 c(n+

32、1f.lx n+-1 t、dx =Zx心，丄-1 klnt k J-1 nlnk±k2n-1 kl nJ -1 nl n4. kikn由Leibniz判别法，级数、：一 _i k in 1 丄 是收敛的,而 己I k丿(-1 ) ln<ln(n L 2ln ” +1 Ft 0，(xt 处)nnI n 丿所以积分-1 "dx是条件收敛的例24将级数1 一丄 1 _! 的项重新排列，使得按原有顺序先排 p个正项与q个负项，然234后再排p个正项与q个负项，得13 2p -1证明此级数收敛并求其和12q2p 114p -112q 2=ln 2In pC；2p2 2 p12&

33、quot;C 令_丄In p C 丄; p 2( 2证明 由lim 1-1 - 亠1In n ，其中C是Euler常数.令23 n 丿Hn =111-，则Hn=1 nn C 仆其中；n 0 n：23n111111+ + =H q =_ln qCq ；242q2q 22我们有H2p Hp =ln2 ln p 2p -1p 2 p将重排以后的级数的符号相同的相邻的项加括号13+2q 丿 0+1+ 14p -1 丿它的前2n项部分和为S2n所以原级数是收敛的，其和为特别地有1丄11.1-1 ln2, P =1，q =22436821 1 1111= -ln2, p =2，q =132574211 -

34、1111_ 1 _ _1-0. p =1, q = 42468310 "-16§ 5.2 致收敛性及其应用一、基本概念与主要结果1. 一致收敛性的定义设Ifn x ?( n =1,2,J与f X都在区间I上有定义，-；.0， N 0，当nN 时,有fn x ；- f xi ：；对一切x二I成立.则称函数列fn x $在I 一致收敛于f x .Iod(2) 设a UnX是函数项级数，其中每一个Un x在I上有定义记n 二nSn X i二 uk x , X I 若函数列(Sn x 在I上一致收敛于某函数S x，则称v Un xkAn =在I上一致收敛于S x .(3)设a f

35、(x, y dy是含参量广义积分，其中f(x, y)定义在I x BAI X, A二 f x,y dy 若当A '、:时I x, A在I上一致收敛于某函数I x .则称广义 bat -bo积分 f x, y dy在I 一致收敛于I x .a2. 一致收敛性的判断od(1)(一致收敛的柯西准则)v Un X在I上一致收敛二一 ；0 , N 0，-nN ,n吕于PN , V xG，有血十(x)+Un非(x)£名.Q0(2)若a Un X在I上一致收敛于n=1S x ：= lim supS x ；-Sn x i = 0oO-lim supRn(x 审=0 . ( Rn(x)=S(x

36、)-Sn(x)= E Uk(x).YxkMCO推论 级数7 Un X在I上一致收敛的必要条件是：un X :一致收敛于零.n A(3) Wwierstrass 判别法(魏尔斯特拉斯判别法，M_ -判别法或优级数判别法)co-bo若Un X | _ M n，对一切X I成立且正项级数 v M n收敛，则Un X在I上一致 nTn T收敛.(4) Dirichlet 判别法若01) 级数a Un X的部分和函数列在I上一致有界；n =12) x I , Wn x 在I上对n是单调的；3) Vn(x ) 0( nT 凶)，X引,0则级数x un X vn X在I 一致收敛.n廿(5) Abel判别法

37、若oO1) 级数v Un X在I 一致收敛；n z42) - X 二 I, 1vnX 在 I 上对 n 是单调的(即 V1X _ v2 X _或 V1 Xf v2xp)；3) 1 vn X/在 I一致有界，即 M . 0 ,vn X< M , -xI , n =1,2,.qQ则级数I Un X Vn X在I 一致收敛.n 43. 和函数的分析性质oO定理1若Un（x 在 Xo处连续（n= 12），且瓦Un（x ）在Xo某领域一致收敛，则nJnS Xi；=» Uk X在Xo处连续.k £QO定理2若Un x在a,b内连续（n =1,2,），且un x在a, b内闭一致收

38、敛，则 n吕nS X八 Uk X在a,b内连续.k £oO定理3（连续性）若a Un X在a,b 一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在 a, b in =1上也连续，即lim un x 八 lim un x ；.X旳n吕n吕X沟即求和与求极限可以交换次序.00、00 b定理4 （逐项求积）在定理 14的条件下，有比、旳bL E Un（X）pX=E JaUn（X）dX aIa,n =1丿n =1即求和与求积分可交换次序.0定理5 （逐项求导）若函数项级数二Un X满足条件:n d（1） Un x在a,b】上有连续的导函数，n =1,2/ ；Q0（2） X。 h,b I,'&#

39、39; Un X 在 Xo 点收敛；n =1cO（3）7 Un X 在 a, b i- 致收敛，n =1例1设f0 x在a,b上正常可积，fn x二.Xfz t dt, n =1,2/ .证明函数项fn x anF在a,b 1上一致收敛.证明(递推方式放大) 使得由f0 x在a, b上正常可积知f0 x在a,b 1有界，即 M . 0 ,从而f0 x < M , -x a, bl.x£(x)兰 L|fo(ttM(x a),xxf2(x )兰 Jal f1(t jdt 兰 M Ja(t _ a dt般地，若对Mn EX a ，则n !xfn 十(X » 兰 J | fn

40、(t 泄=an有fn(x)兰M xan1 ,M xn-Ja(t-a)dt n! a从而有 fn x < M b a.由 于级数 v M b 一a 收敛，由 Weierstrass心n!判别法，Q0fn x在a, b上一致收敛.n 4练习 设f1 x在a,b 1上正常可积, *n X ?在a,b上一致收敛于零.xfn 4 x =fn t dt , n =1,2,.证明:b a函数序列例2 (函数列Dini定理)若 fn(x)在 a, b 上连续 n =1,2,对任意x a, b 1, fjx)乞f2 x _fn x乞，lim fn x ；=f x且f (x)在a, b上连续.n则函数列、f

41、n(x) 在'a, b上一致收敛于f x .证明(反证法)设Cfn(x)1在a, b 上不一致收敛于fx n =1,2，.由于Cfn(x)?递增,m0>0, P n >0,玉,5 b ,使得 fn(xn ) f(Xn色 .(1)由于"xn 是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列，不妨设xn； x0 n；-:.又由于lim 仁 x° = f x° ,从而存在 N 0 使得 0 一 f (x°) 一 fN x° ： ；。由于 f (x) - fN x 在 n 点x0连续且Xn X。,故存在N1 0使得当n N1时,有0乞f (X

42、n)乞fN xn ： ；0 当 n maxX,N1:时,由f”(Xn)fnXn，得 0 一 f (Xn)-fnXn：0 这与(1)式矛盾注当条件改为”x a,b 1, fjx) f2 X fn X _时结论仍然成立0(函数项Dini定理)设函数项级数un x的每项均在有限区间'a, b】上连续，且收敛于n daOaO连续函数f (x) 若a, b 1,级数V Un x为同号级数，则V Un X在, b 1上一致收 n去n T敛于f X .证明(反证法)假设在a, b】上非一致收敛，则m % >0 ,使得于N > 0 , n>N，三x la, b】,rn(x*% 取N

43、=1, Bn>1，日为乏)a,b】，使；取N =厲,3压=门1 ,丸乏a,b ,使Rn2(X2卜名，如此下去得一子列血，使得Rnk(Xk 心坯,k=1,2,.(1 )I由致密性定理，有界数列兀中存在收敛子列"xk '： xk > x0la, bl.由题设知jj0Un X是同号级数，因此 Rn(x)关于n单调递减，所以由(1)得：当n% . m时，n 4RjXkJ> Rnkj (Xkj)> BoQO由于Rm X = f X -Sm X连续，故当j 心时，Rm Xo _ ；o，这与x Un X在, b 1 n4上收敛相矛盾，故一致收敛.例3设 对每一 n

44、, fn(x)是a, b 上的单调函数，(2)im 一 fn x= f x且f (x)在 a, b 1 上一致连续.证明函数列fn(x)在la, b上一致收敛于f x .注 本题条件中不要求对任意n, fn (x)都是单调递增的或都是单调递减的证明 由于f (x)在la, b I上一致连续，故- ；.0 ,0 ,当x',x=0且|x'-x''：、：时，有f X' -f X''亍(1)将区间a, b作k等分，使得 :设其分点为x0 =a :： x1 :：: x2 :：:xb.k由于 lim f n x 二 f x，故存在 N - 0，当 n

45、 N 时,n_.fn(Xj )"(Xj K|(j =1,2，*)(2)对于任意xla, b 1,存在j使得x Xj 4, xj 由于fn(x)为La, b 1上的单调函数，fn(x)介于fn(Xj与fn (Xj)之间因此fn X - f x -max'fn Xj一 f X , fn Xj - f X -由不等式(1)与(2),fn(xj)一 f(X)E|fn(xj)一 f(xj|)+| f(X jf(X)£ 专，fn(Xj )-f(X )兰 fXj )-f (Xj 卩 +1 fXj 卜 f(X )< £ 所以fn x - f x卜r 故、fn(x)f

46、在'a, b 1上一致收敛于f x .例4证明级数v snnx在0,2二1上收敛而非一致收敛.n壬 nod -证明 由Dirichlet 判别法知Sin nX对任意X收敛.*JJT对任意m,取Xm.注意当n = m 1,2m时,有nXm.所以4m42JI.JI2m sin寸41 兀J2sin n _m：1 2m 22m sin nxm送一-nnsin nx由Cauchy收敛准则，在0,2二I上非一致收敛.n二 nqQ -注 可以证明I 竺兰 在|；,2二-；1上一致收敛，其中0n 4 n:;:二，但在x = 0的任一邻域内非一致收敛.n-p分析估计'、Sin kXkm 1n知1

47、的麻烦在于每项因子有 sinkx，否则v -很容易证明其发散.因此, k心1 k我们想：在x =0的任一邻域U 0 ,当k从n 1变化到n p时，si nkx能否大于某常数，若能则必非一致收敛.事实上，当x 二，二4 23131 1,sinkx _sin ,因此，取 x0 U 0,、, 4使 sinkx0 _sin，即只需 kx04,k = n 1,2 n 取 x°IL4 2JT即可.4n证明取 = ' 2 , - N - . ,Tn N , Tp 二 n,Tx04£ sinkx0kzB + k由柯西收敛准则知''s 非一致收敛.n nJI4U 0，

48、有 4n240，JT 12n 1 二 1 二 sinsi nk闭1 k例5设Bn 是单调递减的正数列，且级数oQ工anSinnx在I：上一致收敛.证明n £lim nan =0.n:QO证明 由于二an sin nx在-：,=：上一致收敛，-； 0,存在N 0，当n N时, n 41an sin nx an d sin n x 1 i亠亠 a2n sin2nx ：；对任意 x 成立.取 x则2n。佝仙.由于Qn '单调递减，有a2n sin 1；11丄白丄1Yna2nSirVanSin2 时前 2 并 所以 lim 2na2n 二 0 .同理可证 lim 2n 1 a2n 彳

49、=0.因此 lim nan = 0 .n ）二n f .n:oO .注本题可推出a旦皿在0,2二1上不一致收敛.1例6设f (x)在开区间a,b内有连续的导函数f (x).令fn (x) = n f (x 唁)- f (x).证明对任意闭区间C,d：二a,b ,函数列fn(x)1在c,d上一致收敛于f (x).证明 取d'满足d : d'：b由于f (x)在c,d'上连续，从而一致连续，即- ；.0,. 0 ,当 xX2 e a,b,且 xi X2 c 6 时，有 f "(xj f "(x2) £ z .f 1、1由微分中值定理，存在e x

50、,x + i使得n f (x+)f(x) = f'(J ).1i所以 fn(X)- f【X)= f 牡 n) - f "(X).存在 Na0,使得 一 且 C + Cd',则当NNn > N时©n x £ 6 ,从而fn(x) - f "(x)| £ z .这证明了 fn (x)在c,d上一致收敛于f (X).练习设函数f (x)在a,b上有连续的导函数f (x) , a ：-： b .对每一个自然数1 1n _ 一，定义函数：fn(x) = n f (x ) - f (x).试证：fn (x)在a,:上一致收敛 b - ：n于 f (x).证明 f (x)在a,b上连续，从而一致连续，即-；.0,二心>0, - x1,x a, b，当f (Xj - f (X2)：；.1 1取N 'maxt'市则当n N时,1-x a,：，有 -a,b，从而由上式和微分中值定理得fn(X)- f H(X)=即fn(x)在a,-上一致收敛于f(X ；)