等差等比数列复习含答案

1、等差等比数列复习1 等差数列的有关定义(1) 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 (n N*, d为常数)数列a, A,b成等差数列的等价条件是 ，其中A叫做a,b的2 等差数列的有关公式*(1) 通项公式：an =, an= am+(m, n N).(2) 前 n项和公式： Sn =.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn =务2+ ai学门.,数列an是等差数列的等价条件是其前n项和公式Sn=4 等差数列的性质*(1)若 m+ n= p + q (m, n, p, q N ),则有，特别地，当 m+ n = 2p 时

2、，等差数列中，Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列.等差数列的单调性：若公差d>0,则数列为;若d<0,则数列为 若d= 0，则数列为5.等比数列的定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q工0) 6等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an =.7.等比中项：如果在a与b中间插入一个数 G,使a, G, b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比 中项.&等比数列的常用性质*(1) 通项公式的推广：an= am (n, m N )(

3、2) 若 an为等比数列，且 k+1 = m+ n (k,l ,m, n N )，则若an ,bn(项数相同)是等比数列，则入a(将0),a；,anbn,詈仍是等比数列.(4)单调性:a1>0，亠 a1<0小,仁或 0<q<1 ? an是数列;®>0,0<q<1a1<0或&>1? an是数列；q = 1? an是数列；q<0? an是数列.9等比数列的前n项和公式等比数列 an的公比为q (qz 0)，其前n项和为Sn,当q= 1时，Sn= na;Sn =a1q 1.a1(1 qn = a1(qn- 1 = agn1

4、 - q q 1 q 110.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn, S?n - Sn , S3n S2n仍成等比数列, 其公比为探究点一等差数列的基本量运算 例1等差数列 an的前n项和记为Sn.已知a10= 30, a?0= 50,(1)求通项 an； (2)若 Sn= 242，求 n.例1解题导引(1)等差数列an中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1, d, n, an, Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用 恰当的公式，

5、利用方程组观点求解.解 (1)由 a* =玄丄 + (n 1)d, a10= 30, a?0= 50,ai + 9d= 30,得方程组|a1 + 19d= 50,解得ai = 12,d= 2.(2)由 Sn= nai +n(n 1)2d, Sn = 242.所以 an= 2n+ 10.得 12n+ n(n 1)X 2 = 242.解得n= 11或n= 22(舍去).探究点二等差数列的判定31*1*例 2.已知数列an中，a1 = ? an = 2(n > 2, n N ),数列bn满足 bn= (n N ).5an-1an I(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大值和最

6、小值，并说明理由.例2解题导引1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即an an-1= d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2a. = a.+1 + an1 (n > 2).2.解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断.(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即an= An+ B，则an是等差数列.前n项和法：若数列an的前n项和Sn是Sn= An2+ Bn的形式(A, B是常数),则an 为等差数列.3.若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可.1 * 1(1)证明 t an = 2 (n>2, n N), bn=

7、1,an 1an 11 1.当 nA 2 时，bn bn 1 =1 一1an 1 an 1 1an-1an-1 一 11an 1 =1.又b1 =1_=a1 1二数列bn是以一2为首项，以1为公差的等差数列.7 r1解 由(1)知，bn= n 2，贝V an= 1 +忆22x 72=1+，设函数 f(x) = 1 +2n 7易知f(x)在区间一g, 2和2+内为减函数.当n= 3时，an取得最小值一1; 当n = 4时，an取得最大值3.探究点三等差数列性质的应用例3.若一个等差数列的前 5项之和为34,最后5项之和为146，且所有项的和为 360,求这 个数列的项数.变式迁移已知数列an是等

8、差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67，且前n项和为286,求n；若 Sn= 20 , S2n= 38,求 S3n；(3) 若项数为奇数，且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.例3解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m + n = p+ q (m, n,p, q N n = 4 n 13.-n 4, a*11.数列的中间项为11,项数为7.),贝U am+ an= ap+ aq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注n 1意运用；也可用整体思想 (把ai+ d看作整体).解 方法一 设此等差数列为an共n项，依题意有 a1+ a2 + a3+

9、 a4+ a5= 34,an+ an-1 + an -2+ an-3+ an- 4= 146.根据等差数列性质，得a5 + an-4 = a4 + an- 3= a3+ an- 2= a2+ an-1 = a1+ an.将两式相加，得(a1 + an)+ (a2 + an -1)+ (a3+ an-2)+ 4+ an-3)+ 5+ an-4)= 5(a1+ an) =180, a + an 36.由 Sn= n(a1； an)=穿=360,得 n= 20.所以该等差数列有20项.方法二 设此等差数列共有 n项，首项为a1，公差为d,小5X 4则 S5= 5a1 + d = 34,Sn 一 Sn

10、-5 =n(n 1)d2na1 (n 5)a1+(n 5)( n 6)2d=5a1+ (5n 15)d= 146. 两式相加可得10a1 + 5(n 1)d= 180,- a1 + 丄= 18,n(n 1)代入 Sn= na1 +2 d(n 1、=n a1 + = 360,得 18n= 360, n= 20.所以该数列的项数为 20项.变式迁移3 解(1)依题意，知玄丄+ a?+ 83+ a4= 21,an-3 + an -2 + an-1 + an = 67 ,- a1 + a2 + a3+ a4+ an-3+ an-2+ an-1 + an = 88.88 a1 + an= 22.4_n(

11、a1 + an)/ Sn=2 n = 286, n = 26.(2) / Sn, S2n - Sn, S3n- S?n 成等差数列， S3n= 3(S2n Sn) = 54.n项，偶数项有n- 1项，中间项为an,则设项数为2n - 1 (n N*)，则奇数项有(a1 + a2n-1)2an= 44,(a2+ a2n- 2)(n 1)2=(n 1) an= 33 ,探究点四等差数列的综合应用例4在等差数列an中，ai6+ ai7+ ai8= ag= 36,其前n项和为S. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值.求 Tn=pl|+ |a2| + |an|.ai,公差为d,变式迁移4解

12、(1)设等差数列an的首项为a6+ a仃 + a8= 3a7 = 36,ai7 a9-a仃=一 12 ,- - d=17 9 = 3,-an = a9 + (n 9) d = 3n 63,an+1 = 3n 60,|an= 3n 63 w 0令，得 20< nW 21,|an+1 = 3n 600S20= S21 = 630, n= 20或21时，Sn最小且最小值为 630.由(1)知前20项小于零，第21项等于0,以后各项均为正数. 当 nw21 时，Tn= Si= |n2 + n.当 n>21 时，Tn= Sn 2Sn =器2 n* 1 260.3 123*尹 n (nw21,

13、 n N )综上，Tn=.3 2123*.2n 牙 n+ 1 260 (n>21, n N )探究点五等比数列的基本量运算例 5.在等比数列an中，a1 + an = 66, a2 an-1= 128, Sn= 126,求 n 和 q. 由题意得a2 an 1 = a1 an= 128, 曲 + an = 66,a1= 64,解得/|an= 2a1 = 64,a1= 2, 或 an= 64.an= 2,1解得q = 2则看巳=警=126,此时,an= 2 = 64 - n= 6. a1 = 2, lan= 64,则 5=兰=126,q= 2. an= 64 = 2 2n 1. n = 6

14、.1综上n= 6, q = 2或探究点六等比数列的判定例 6.设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1 + 2a?+ 3a3+ na“= (n 1)Sn+ 2n(n N*). (1)求a2, a3的值；求证：数列Sn+ 2是等比数列.*解T a1 + 2a2+ 3a3+ + nan= (n 1)Sn + 2n(n N), .当 n= 1 时，a1 = 2x 1= 2;当 n = 2 时，a1 + 2a2 = (a1 + a2) + 4, a2= 4;当 n = 3 时，ai + 2a2 + 3a3= 2(ai + a2+ a3)+ 6, a3= 8.证明 / ai + 2a2+ 3a3 +

15、 + nan=(n 1)Sn+ 2n(n N*),当 n2 时，ai + 2a?+ 3a3+ + (n 1)an i=(n 2)Sn-1 + 2(n 1).得 nan= (n 1)Sn (n 2)Sn-1+ 2= n(Sn Sn-1) Sn+ 2Sn 1 + 2 = na* Sn+ 2Sn-1 +2. 一 Sn+ 2Sn1+ 2= 0,即卩 Sn= 2Sn-1+ 2, Sn+ 2= 20-1+ 2)./ S1 + 2= 4工 0, Sn-1+ 2丰 0,.Sn+ 2 Sn-1 + 2 = 2，故Sn + 2是以4为首项，2为公比的等比数列.探究点七等比数列性质的应用11111a1a2a3a4a

16、5例 7在等比数列an中，a1 + a2 + a3+ a4+ a5= 8，且 1 + 1 + 1 + + 丄=2,求 a3.变式迁移(1)已知等比数列an中，有a3an = 4a?,数列bn是等差数列，且 b7= a?,求b5 + bg的值; 在等比数列an中，若a1a2a3a4= 1,玄仙倔烧花=8,求a41a42a43a44.解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m+ n = p + q,则am an= ap aq”，可以减少运算量，提高解题速度.解由已知得11111+_+_+_+_a1 a2 a3 a4 a5a1 + a5 a2 + a4 a3

17、=+ pa1a5a2a4 a3a1 + a2 + a3+ a4+ a58=2=t=2,a3a3 a2= 4, a3= ±.若a3= 2，设数列的公比为 q,2 22则 F + 2 2q 2q2= 8,q q112即+一+1 + q+ qq q此式显然不成立，经验证，a3= 2符合题意，故a3= 2.变式迁移 3 解(1) / a3a11 = a7= 4a7,T 玄7工 0, a7= 4, b7= 4,T bn为等差数列， b5+ b9= 2b7= 8. (2)a1a2a3a4= a1 a1q a1q2 a1q3= a4q6= 1.12131415a13a14a15a16= a1q a

18、q aq aq=a1 q54= 8.454乜：= q48 = 8? q16 = 2,又 a41a42a43a44= ag40 a1q41 a1q42 a1q43416646160,4616 10=a1 q= a1 q q = (a1 q ) (q )=1 2 .解(1)设等差数列 an的首项为a1，公差为d，由于a3= 7, a5+ a?= 26, 所以 a1 + 2d= 7,2a1+ 10d = 26,解得 a1= 3,d= 2.= 1 024.作业1.已知an是等差数列，a1 = 9 , S3 = S7,那么使其前n项和Sn最小的(2.在等差数列an中，若 a4+ a6+ a8 + a10

19、 + a12 = 120,3.4.D . 71则a9 -an的值为D . 17A. 14B. 15C.在各项都为正数的等比数列an中，a1= 3,前三项的和S3= 21,则a3+ a4+ a5等于(CA. 33B. 72C.等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a1816D . 189是一个确定的常数，那么数列T10, T13, T17,(C )84曰T25中也是常数的项是A. T10B . T13C. T175.记等比数列D . T25S10an的前n项和为Sn,若S3= 2, Se= 18,则忑等于(D )D . 33C. - 31A . 3等差数列an的前n项和满足S20= S40,下

20、列结论中正确的是A . S30是Sn中的最大值B . Ro是Sn中的最小值C . S30 = 0D . S60 = 01207(4分)设Sn为等差数列an的前n项和，若S3= 3, S6 = 24,则ag=15.&设an是公比为正数的等比数列， 若a1= 1, a5 = 16,则数列an前7项的和为_127 9.在等比数列an中，公比q = 2,前99项的和S99= 30 ,则a3+ a6+ ag+ a99 =.10. 在等比数列an中，若公比q= 4，且前3项之和等于 21，则该数列的通项公式an =n 1.411. 等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 am-1 + am +1

21、 am = 0, S>m-1= 38,则 m= 10.12. 已知等差数列an满足：a3= 7 , a5+ a7= 26, an的前n项和为Sn. E人1*(1)求an及Sn； (2)令bn= 口 (n N )，求数列bn的前n项和Tn.n(a1+ a*)由于 an= a1 + (n 1)d , Sn=2所以 an= 2n+ 1, Sn= n(n+ 2). 因为 an= 2n+ 1,所以 a* 1 = 4n(n+ 1),1il丄)n +1丿(6分)因此bn=14n(n+ 1)4 故 Tn= b1 + b2+ + bn=111+1 -丄+丄- 4 .=11-1n n+12 23-J =_n

22、n+ 1 .尸 4(n+ 1)'所以数列 bn的前n项和Tn= n4(n + 1)(8分)an 113. 已知数列log 2(an 1)为等差数列，且ai= 3, a2= 5.(1)求证：数列an 1是等比数列;1a3 a2飞的值.an+ 1 an证明 设 log2（an 1） log2（an-1 1） = d （n>2），因为 3, a?= 5，所以 d= log2（a2 1）log2（a1 1） = log24 log22 = 1, （3分）所以 log2（an 1）= n,所以 an 1 = 2“,an 1所以一 =2 （n > 2），所以an 1是以2为首项，2为公

23、比的等比数列. （6 分）an 1 1（2）解 由（1）可得 an 1 = （a1 1） 2n 1, 所以 an= 2n+ 1, （8分）1 1 1a2 a1 a3 a2an + 1 an12n+1 2n所以 + + + 1一J + 2+ +22 2 23 22（12 分）1 1 1 1=2+尹+尹=1 尹14已知等差数列an的首项a1= 1，公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项.(1)求数列an与bn的通项公式；设数列 Cn对n N均有+ + = an + 1成立，求 6+ C2 + C3+ C2 010.b1 b2bn解 (1)由已知有 a2= 1 + d, a5= 1 + 4d, a14= 1 + 13d,2(1 + 4d)2= (1 + d)(1 + 13d).解得 d= 2（d= 0舍）. （2分） an = 1 + （n 1） 2=