计算机辅助设计与制造图形几何变换

1、南通职业大学计算机辅助设计与制造机械工程学院 周昇图形几何变换南通职业大学南通职业大学南通职业大学x1 y1X2 y2xn ynx1 y1 z1x2 y2 z2 xn yn zn(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)x1 y1X2 y2X3 y3X4 y4平面图形南通职业大学二 点的变换 在计算机图形学应用中，常常要进行诸如比例，对称，旋转，平移，投影等各种变换，既然图形可以用点集来表示，也就是说点集定了，则图形也就确定了。那么，如果点的位置改变了，图形也就随之改变。因此，要对图形进行变换，只要变换点就可以了。南通职业大学南通职业大学第二节二维基本变换 a b若（x，y）为变

2、换前的坐标， c d 为变换矩阵，则有：（x，y）a b = (ax+cy，bx+dy)=(x，y) c d这里（x，y）为变换后的坐标。变换矩阵中a，b，c，d可取不同值，可以实现各种不同的变换，从而达到对图形进行变换的目的。南通职业大学一 比例变换 在变换矩阵中 中，令b=c=0，则比例变换矩阵： 其中 a，d分别为x，y方向上的比例因子（a，d0）。讨论：若a=d=1，为恒等变换，即变换后点的坐标不变。若a=d1，则为等比变换，变换结果是图形等比例放大（a=d1）后等比例缩小（ a=d1 ）。如下图（1）所示，原三角形ABC给放大2倍后为三角形ABC。dcbaT)0, 0(00dadaT

3、s) , (),(00),(yxdyaxdayx南通职业大学（1）10203010203040ABCACB40ABC2020524020202002101026201010 x yABCx y南通职业大学102030401020304055134020205 . 0002101026201010 xyABCABC（2）南通职业大学二.对称变换1.对坐标轴的对称变换 点对x轴对称变换有： x=x，y =-y，变换矩阵为： 即 点对y轴对称应有：x=-x，y=y，则变换矩阵为： 即 1001mxT) , (),(1001),(yxyxyx1001myT) , (),(1001),(yxyxyx南通

4、职业大学对坐标轴变换后的图形见下图（1）10 201020（1）2.对原点对称变换南通职业大学点对坐标原点对称变换应有：x=-x，y=-y，则变换矩阵 即变换的 图形见下图 10010mT) , (),(1001),(yxyxyxAC南通职业大学3.对45线的对称变换011045mT) , (),(0110),(yxxyyx011045mT南通职业大学) , (),(0110),(yxxyyx南通职业大学三.错切变换11cbT),(11),(ybxcyxcbyx101cTshx南通职业大学)0)(, (),(101),(cyxycyxcyx 南通职业大学10102640306212011010

5、26201010ABCABCx y，101bTshy)0)(, (),(101),(byxybxxbyxx y南通职业大学设b=2，对三角形ABC进行错切变换得：5030462010101021101026201010ABCABCx yx y南通职业大学四.旋转变换假定图形的旋转是绕坐标原点旋转角，逆时针方向为正，顺时针方向为负，变换矩阵则对点进行旋转变换：cossinsincosrT) , ()cossin,sincos(cossinsincos),(yxyxyxyx南通职业大学对三角形ABC进行旋转变换（=60）:32.2266.1366.2134. 166. 351.1760cos60s

6、in60sin60cos101026201010ABCx yx yABCdcbaT南通职业大学 x=x+x y=y+y这里x，y是平移量，应为常量，但是应用上述变换对点进行变换：) , (),(),(yxdybxcyaxdcbayxmdbkcaT南通职业大学),()1 ,(mdybxkcyaxmdbkcayx南通职业大学mkTt1001) , (),(1001)1 ,(yxmykxmkyx南通职业大学1mkqdcpbaT1010001mkT南通职业大学12030120201362011020110101261011010010001ABCx yABCA20101020ABCBC南通职业大学南通

7、职业大学第三节 二维组合变换 上述的五种变换可用统一的变换矩阵形式实现，我们把它们叫做基本变换。但是有些变换仅用一种基本变换是不能实现的，必须由两种或更多种基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。南通职业大学一 、绕任意点旋转变换平面图形绕任意点p（Xp，Yp）旋转角，需要通过以下几个步骤来实现：（1）将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：10100011ppyxT南通职业大学（2）将图形绕坐标原点旋转角，变换矩阵为：（3）将旋转中心平移回到原来点的位置，变换矩阵为：1000cossin0sincos2T10100011ypxTp南通职

8、业大学因此，绕任意点的旋转变换矩阵为： 显然，当Xp=0，Yp=0时，即为对原点的旋转变换。1)cos1(sinsin)cos1(0cossin0sincos321ppppyxyxTTTT南通职业大学二、对任意直线的对称变换 设任意直线的方程为Ax+By+C=0，直线在x轴和y轴上的截距分别为-C/A 和 C/B ，直线与x的夹角为， =arctg （-A/B）。对任意直线的对称变换有以下几个步骤来完成：（1）平移直线，使其通过原点（可以沿x轴平移，也可沿y轴平移，这里以沿x轴平移为例），变换矩阵为：100100011acT南通职业大学（2）绕原点旋转，使其与x轴重合，变换矩阵为： (3) 对

9、x轴对称变换，其变换矩阵为：1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos(2T1000100013T南通职业大学（4）绕原点旋转使直线回到原来与x轴成的位置，变换矩阵为：（5）平移直线，使其回到原来的位置，变换矩阵为：1000)cos()sin(0)sin()cos(4T100100015acT南通职业大学通过上述5个步骤，即可实现图形对任意直线的对称变换，其组合变换矩阵为： 综上所述，复杂变换是通过基本变换的组合而成的。由于矩阵的乘法不适用于交换律，即： 因此组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同。12sin) 12(cos02cos2sin02sin2cos54321ACACTTTTTT ABBA南通职业大学第四节 三维基本变换一、三维基本变换矩阵1.变换矩阵三维图形的变换是二维图形的简单扩展。变换的原理还是把齐次坐标点（x，y，z，1）通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点（ x，y，z，1 ）。与前面讨论的类似，在三维空间里，用四维齐次坐标（x，y，z，1）表示三维点。南通职业大学三维变换矩阵则用4x4阶矩阵表示，即：（x，y，z，1）. T = （x，y，z，1）其中T为三维基本变换矩阵：可以把三维基本变换矩阵划分为四块，其中 产生比例，对称，错切，旋转 等基本变