2013版高三数学一轮复习单元评估检测（8） 第8章 平面解析几何 理 新课标

1、单元评估检测（八）（第八章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsiny10的倾斜角的变化范围是()(A)(0，) (B)(0，)(C)， (D)0，)2.(2012·珠海模拟)已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a等于()(A)3 (B)1 (C)1 (D)3或13.(2012·顺德模拟)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()(A)1 (B)1或3 (C)0 (D)1或04.“>1”是“方程1表示双曲线”

2、的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.(2012·佛山模拟)已知直线l1与圆O：x2y22y0相切，且与直线l2：3x4y60平行，则直线l1的方程是()(A)3x4y10(B)3x4y10或3x4y90(C)3x4y90(D)3x4y10或3x4y906.若曲线1与曲线1的离心率互为倒数，则a()(A)16 (B)16 (C) (D)7.已知双曲线16y2m2x21(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m()(A)1 (B)2 (C)3 (D)48.若PQ是圆x2y216的弦，PQ的中点是M(1,3)，则直线P

3、Q的方程是()(A)x3y40 (B)x3y100(C)3xy40 (D)3xy0二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为.10.(2012·郑州模拟)已知抛物线y22px(p>1)的焦点F恰为双曲线1(a>0，b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为.11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于.12.若kR，直线ykx1与圆x2y22axa22a40恒有交点，则实数a的取值范围是.13.(2012·深圳模拟

4、)直线axmy2a0(m0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为.14.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值等于.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(易错题)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a>1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.16.(13分)已知动点C到点A(1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的倍.(1)试求点C的轨迹方程；(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的

5、轨迹相切，试求直线l的方程.17.(13分)(探究题)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(，0)，右顶点为D(2,0)，设点A(1，).(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B，C，求ABC面积的最大值.18.(14分)(2012·广州模拟)如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，且AF2F1为钝角，若|AF1|，|AF2|，(1)求曲线C1和C2的方程；(2)过F2作一条与x轴不垂

6、直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.19.(14分)(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x24y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当ABC的面积最大时，求直线l的方程.20.(14分)已知直线l1：y2xm(m<0)与抛物线C1：yax2(a>0)和圆C2：x2(y1)25都相切，F是C1的焦点.(1)求m与a的值；(2)设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线

7、l，直线l交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；(3)在(2)的条件下，记点M所在定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P、Q两点，求NPQ的面积S的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsiny10的斜率是ksin.又1sin1，1k1.当0k1时，倾斜角的范围是0，；当1k<0时，倾斜角的范围是，).2.【解析】选C.由题意知a1.3.【解析】选D.由ky28y160，若k0则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.故k的值为0或1.4. 【解析】选A.因为当>1时，方程1表示双曲线；当1表示双曲线时，&

8、gt;1或<2.所以“>1”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件.5.【解析】选D.由题意可得圆心O(0，1)，半径r1，设l1：3x4y0，则圆心O到l1的距离d1.|4|5.解得1或9.l1：3x4y10或3x4y90.6.【解析】选D.因为曲线1的离心率为，所以，曲线1的离心率为，所以，解得a.7.【解析】选C.双曲线的方程可化为1，所以a，b，取顶点(0，)，一条渐近线为mx4y0.，即m21625，m3.8.【解析】选B.圆心为O(0,0)，故直线OM斜率k3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以kPQ，其方程为y3(x1)，整理，得x3y100.9.【解题指南】由于

9、圆与两平行线都相切，故两平行线间距离即为直径，只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】因为两条直线xy0与xy40平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以2R，所以R.设圆心坐标为P(a，a)，则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，解得a1，故圆心为(1，1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)2210.【解析】由题意知，c，即p2c.由得b2x24ca2xa2b20*由题意知xc是方程*的一个根，则有b2c24a2c2a2b20，即c46a2c2a40，e46e210.又e>1，e232，e1.答案：111.【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，

10、依题设有4b2a，即a2b，所以cb，所以离心率为e.答案：12.【解析】因为直线ykx1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02122a·0a22a40且2a4>0，解得1a3.答案：1a313.【解析】由题意可得am2a0，即ma.又直线的斜率k1，该直线的倾斜角为.答案：14.【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x，x2)，根据点到直线的距离公式，得d(x)2，所以当x时，d取得最小值.答案：15.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a20，解得a2，此时直线l的方程为xy0，即xy0；当直线l

11、不经过坐标原点，即a2且a1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a，解得a0，此时直线l的方程为xy20.所以直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可得M(，0)，N(0,2a)，又因为a>1.故SOMN××(2a)××(a1)2×222，当且仅当a1，即a0时等号成立.此时直线l的方程为xy20.16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程，化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】(1)设点C(x，y)，则|CA|，|CB|.由题意，得×.两边平方，得(x1)2y22

12、15;(x1)2y2.整理，得(x3)2y28.故点C的轨迹是一个圆，其方程为(x3)2y28.(2)由(1)，得圆心为M(3,0)，半径r2.若直线l的斜率不存在，则方程为x0，圆心到直线的距离d32，故该直线与圆不相切；若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx1.由直线和圆相切，得d2，整理，得k26k70，解得k1，或k7.故所求直线的方程为yx1，或y7x1，即xy10或7xy10.17.【解题指南】(1)由“左焦点为F(，0)，右顶点为D(2,0)”得到椭圆的长半轴a，半焦距c，再求得短半轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得标准方程.(2)设线段PA的中点为M(x，y)，点P

13、的坐标是(x0，y0)，由中点坐标公式分别求得x0，y0，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程.(3)分直线BC垂直于x轴和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，结合点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.【解析】(1)由已知得椭圆的长半轴a2，半焦距c，则短半轴b1.又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为y21.(2)设线段PA的中点为M(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由得，因为点P在椭圆上，得(2y)21，线段PA中点M的轨迹方程是(x)24(y)21.(3)当直线BC垂直于x轴时，|BC|2，此时ABC的面积SABC1.当直线BC不垂直于x

14、轴时，设直线方程为ykx，代入y21，由B、C的对称性，不妨令B(，)，C(，)，则|BC|，又点A到直线BC的距离d，SABC|BC|d，于是SABC，由1，得SABC，其中，当k时，等号成立.SABC的最大值是.18.【解析】(1)设椭圆方程为1，则2a|AF1|AF2|6，得a3.设A(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(xc)2y2()2，(xc)2y2()2，两式相减得xc，由抛物线定义可知|AF2|xc，则c1，x或x1，c(舍去).所以曲线C1的方程为1(3x)，曲线C2的方程为y24x(0x).(2)设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y

15、4)，直线BE的方程yk(x1)，代入1得：8(1)29y2720，即(89k2)y216ky64k20，则y1y2，y1y2，同理，将yk(x1)代入y24x得：ky24y4k0，则y3y4，y3y44，所以·3，为定值.19.【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1(a>).将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，得a24或a21(舍)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线BC的方程为yxm，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x22mxm240，由8m216(m24)8(8m2)>0，可得0m2<8. (*)由

16、x1x2m，x1x2，故|BC|x1x2|.又点A到BC的距离为d，故SABC|BC|·d·，当且仅当2m2162m2，即m±2时取等号(满足*式)，此时直线l的方程为yx±2.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向，既可以出现在选择题、填空题中，也可以出现在解答题中，根据待求量的特点，常用以下两种思想方法：(1)数形结合思想：当待求量有几何意义时，一般利用其几何性质，数形结合求解.(2)函数思想：当待求量与其他变量有关时，一般引入该变量构造函数，然后求最值，但要注意待求量的取值范围.【变式备选】已知椭圆

17、1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：ykxm交椭圆于不同的两点A，B，(1)求椭圆的方程，(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，解得c.由a2b2c2，得b1.所求椭圆方程为y21.(2)由已知得，可得m2(k21).将ykxm代入椭圆方程，整理得(13k2)x26kmx3m230.(6km)24(13k2)(3m23)>0 (*)x1x2，x1·x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3334(k0)，当且仅当9k2，即k±时等号成立.经检验，k±满足(*)式.当k0时，|AB|.综上可知|AB|max2.当|AB|最大时，AOB的面积取最大值Smax×2×.20.【解析】(1)由已知，圆C2：x2(y1)25的圆心为C2(0，1)，半径r.由题设圆心到直线l1：y2xm的距离d，即，解得m6(m4舍去).设l1与抛物线的切点为A0(x0，y0)，又y2ax，得2ax02x0，y0.代入直线方程得：6，a，所以m6，a.(2)由(1)知抛物线C1方程为y