二分法求函数点教案

1、用二分法求方程的近似解1、二分法的概念对于在区间a, b上连续不断且f(a) f(b)< 0的函数y= f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。2、用二分法求函数 f (x)的零点的近似值的步骤：(1)确定区间a, b,验证：f(a) f(b)< 0,确定精确度 g(2)求区间(a , b)的中点x1(3)计算f(xi) 若f (x1)=0，则就是函数的零点若 f(a) f (x1) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x° (a, x1) 若 f(x1) f(b)<o,

2、则令 a = x1(此时零点 x° ( xi, b)(4)判断是否达到精确度；即若| a - b | < 6 ,则得到零点的近似值为 a (或b),否则重复(2)(4 )3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若 图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例题讲解：例1:下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(解：应选B,利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。1例2、利用二分法求万程 一=3-x的一个近似解(精确到 0.1)。 x1 -1解：设f

3、(x)=+x-3,则求方程一=3-x的一个近似解，即求函数f(x)的一个近似零xx点。: “2)=1<0, f(3) = 1 a0, 取区间2,3】作为计算的初始区间。2 3用二分法逐次计算，列表如下:端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间b,31x0 2.5f (2.5) =-0.1 <0b.5,3x0 =2.75f (2.75)定 0.11 A 02.5,2.75x0 =2.625f (2.625)% 0.006 A 0b.5,2.6251x0 =2.5625f (2.5625)-0.047 <0b.5625,2.6251.区间25625,2.625的左右端点精确到0.1

4、所取的近似值都是2.6,，函数f (x)满足题设的一个近似零点是2.61故方程一 =3 一 x满足题设的一个近似解是2.6x2例3、二次函数y =ax +bx +c(x匚R)的部分对应值如下表：x-32101234y60一 4一 6一 6一 406则使函数值大于 0的自变量的取值集合是 。解：由上表提供数值大于 0的自变量的取值集合是(3,)=(3，-)评析：开口方向是解题关键信息，零点是-2, 3,且开口向上，3 2例4、已知函数f(x)=x -2x -5x+6的一个零点为1(1)求函数的其他零点；(2)求函数值大于0时自变量x的取值范围。 232解：(1)由题意，设 f(x)=(x1)(x

5、 +mx+n)=x +(m 1)x +(nm)xn, m -1 = -2= n m = -5"m = 1-n =6解得 Ln =-6 令f(x)=0 ,2即(x1)(x x6)=0,解得x=1, -2,3函数的其他零点是一2, 3(2)函数的三个零点将x轴分成4个区间：(9,2 , (2,1 , (1,3 ,(3,-作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x的取值范围是：(-2,1)=(3，)例5、求函数f(x) =x25的负零点(精确度0.1).【解析】 由于 f( 2)=1<0,f(-3) = 4>0,故取区间(一3, 2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算

6、，列表如图：区间中点中点函数值(或近似值)(3, -2)-2.51.25(2.5, -2)-2.250.0625(-2.25, - 2)-2.1250.484 4(-2.25, - 2.125)-2.187 5-0.214 8(-2.25, - 2.187 5)-2.218 75-0.077 1由于 | 2.25-(-2.187 5)| = 0.062 5<0.1 ,所以函数的一个近似负零点可取一2.25.达标练习：1.下列函数零点不宜用二分法的是()A. f(x)=x38B.f(x)=lnx+3【答案】CC. f(x) = x2+ 2v2x +2D . f(x) = x2 + 4x +

7、 12 .用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0 , f(1.5)>0 , f(1.25)<0,则方程的根在区间()A. (1.25,1.5) B. (1,1.25) C. (1.5,2) D.不能确定【解析】由题意知f(1.25) f(1.5)<0 , .方程的根在区间(1.25,1.5)内,故选A.3 .若函数f(x) = x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下:f(1) = - 2, f(1.5)= 0.625, f(1.25) = 0.984f(1.375) = 0.260, f(1.437 5) =0

8、.16,f(1.406 25) = 0.0542,那么方程x3+x22x2=0的一个近似根(精确度0.1)为.【解析】根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5- 1.406 25| = 0.031 25<0.1 ,故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是1.437 5,1.406 25之间的任意一个数.【答案】1.437 54、方程g j= ln x的根的个数是()A. 0 B. 1 C. 2D. 3【解析】方法一：令 f(x)=ln x2； 则 f(1) = ；<0, f(e) = 1，0,f(x)在(1, e)内有零

9、点.又f(x)在定义域(0, +8)上为增函数，f(x)在定义域内仅有1个零点.方法二：作出 y= !2'，与丫=皿x的图象观察可知只有一个交点.故选 B.5、方程2x- + x=5的解所在的区间是()A. (0,1) B. (1,2) C, (2,3) D, (3,4)【解析】令 f(x)=2x1+x5,则 f(2) = 2+2-5=- 1<0, f(3) =22+3-5= 2>0,从而方程在区间(2,3)内有解.故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4_ xy = 21.1491.5162.02.

10、6393.4824.5956.0638.010.5562y= x0.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2x=x2的一个根所在区间为()A. (0.6,1.0) B. (1.4,1.8) C. (1.8,2.2) D. (2.6,3.0)【解】 设f(x) =2x-x2,由表格观察出在 x=1.8时，2x>x2,即f(1.8)>0 ;在x = 2.2时，2x<x2,即f(2.2)<0.所以f(1.8) f(2.2)<0 ,所以方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内.故选C.V 1 一7、函数f(x) = exx的零

11、点所在的区间是()A.&2)B.g, 1)C.(1, 2) Dg 2)1 1，【解析】f(2)=-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)f(1)<0, 故选 B.二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2) f(4)<0 ,给定精确度彳0.01,2 4取区间(2,4)的中点X1 = = 3,计算得f(2) f伙1)<0,则此时零点xoC(填区间).【解析】 由f(2) f(3)<0可知. 【答案】(2,3)9、用二分法求方程 x3-2x-5=0在区间2,3内的实数根时，取区间中间 x0=

12、2.5,那么下 一个有根区间是 .【解析】f(2)<0, f(2.5)>0 ,，下一个有根区间是 (2,2.5).三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x3+3x3 = 0的一个近似解(精确度0.1).【解析】 设f(x) = 2x3+3x3,经试算，f(0)= 3<0, f(1)=2>0,所以函数在(0,1)内 存在零点，即方程 2x3+3x 3=0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0, 又f(1)>0,所以方程2x3+ 3x - 3= 0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，

13、如下表:(a, b)(a, b)的中点f(a)f(b)f管)(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因为|0.687 5-0.75|= 0.062 5<0.1 ,所以方程 2x3+ 3x- 3= 0的精确度为 0.1的一个近似解可取为0.75.11、求方

14、程ln x + x-3= 0在(2,3)内的根(精确到0.1).【解析】 令f(x)=ln x+x3,即求函数f(x)在(2,3)内的零点.用二分法逐步计算.列表如下:区间中点中点函数值2,32.50.416 32,2.52.250.060 92,2.252.125-0.121 22.125,2.252.187 5-0.029 72.187 5,2.25由于区间2.187 5,2.25的长度2.25 2.187 5=0.062 5<0.1 ,所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根.下为学生卷用二分法求方程的近似解1、二分法的概念对于在区间a, b上连续不断且f(a) f(b)<

15、0的函数y= f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。2、用二分法求函数 f (x)的零点的近似值的步骤：(1)确定区间a, b,验证：f(a) f(b)< 0,确定精确度 g(2)求区间(a , b)的中点x1(3)计算f(xi) 若f (x1)=0，则就是函数的零点若 f(a) f (x1) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x° (a, x1)若 f(x1) f(b)<o,则令 a = x1(此时零点 x° ( xi, b)(4)判断是否达到精确度；即若| a

16、 - b | < 6 ,则得到零点的近似值为 a (或b),否则重复(2)(4 )3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若 图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。 例题讲解：例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABC。1例2、利用二分法求万程 一=3 - x的一个近似解(精确到 0.1)。x2例3、 二次函数y =ax +bx +c(x匚R)的部分对应值如下表:x-32101234y60一 4一 6一 6一 406则使函数值大于0的自变量的取值集合

17、是 32例4、已知函数f(x)=x -2x -5x+6的一个零点为1(1)求函数的其他零点；(2)求函数值大于0时自变量x的取值范围。例5、求函数f(x) =x25的负零点(精确度0.1).达标练习:1.下列函数零点不宜用二分法的是A . f(x) = x3 8C. f(x)=x2+2>/2x+2()B. f(x) =lnx+ 3D . f(x) = x2 + 4x + 12 .用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0 , f(1.5)>0 , f(1.25)<0,则方程的根在区间()C. (1.5,2) D.不能确定A. (1.25,1.5

18、) B. (1,1.25)3 .若函数f(x) = x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下:f(1) = - 2,f(1.5)= 0.625, f(1.25) = 0.984f(1.375) = 0.260, f(1.437 5) =0.16,f(1.406 25) = 0.0542,那么方程x3+x22x2=0的一个近似根(精确度0.1)为.4、方程/ = ln x的根的个数是()A. 0 B. 1 C. 2D. 35、方程2x + x=5的解所在的区间是()A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D, (3,4)6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4-x y =21.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5562y= x0.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2x=x2的一个根所在区间为()A. (0.6,1.0) B. (1.4,1.8) C. (1.8,2.2) D. (2.6,3.0)7、函数f(x) = ex1的零点所在的区间是()x一