专题6.5合情推理与演绎推理(解析版)

1、第六篇 不等式、推理与证明专题 6.5 合情推理与演绎推理【考纲要求】1 .了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用2 .了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3 .了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异【命题趋势】合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理的核心素养，这是数学的核心，笔者认为一定要引起重视。.【素养清单?基础知识】1 合情推理(1) 归纳推理定义：由某类

2、事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理.(2) 类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点：由特殊到特殊的推理.类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误(3) 合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我

3、们把它们统称为合情推理合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理.(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向.2.演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性(2)兰段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.【素养清单？常用结论】(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.(2)

4、合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理.【真题体验】1.【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 41(召-0.618称为黄金分割比例)，著名的 断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶22至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是1! .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,2头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是()A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cm【答案】BA r头顶S 咽喉D.190 cmC -肚脐D L足底【解析】方法一：如下图所示依题意可知：AC ABCD 22腿长

5、为105 cm得，即CDXQ5 ,J5-1CD >64.89, 2助二肥+孙6W+369.的,所以 AD>169.89.头顶至脖子下端长度为 26 cm,即AB<26,sc=AB有-1<42.07公刈+ 昭68.07 ，CD =AC<110.15+(7/)<68.07+110.15=178.22,所以二二综上，葭；X ._.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm,肚脐至腿根的长为 y cm,则生=学士=立二,得X 尸+1052工期42.07cm1了注5.15cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.

6、15+105+26=178.22 ,接近 175cm.故选 B.【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利用转化思想解题.2 .【2017年高考全国II卷理数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良

7、好，乙看到丙的成绩则知道自己的 成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.3 .观察下列不等式：1 71 + 2y V 6，11291 + 3+ 33V 24,1 1 1 491 + 23+ 33+ 43< 40,1 1 1 1 371 + 23+ 33+ 43+ 53<

8、 30，按此规律，第五个不等式为 .11111 26【答案】1+23+ 33+ 43+53+ 63<211 714【解析】1+23<6= 2X3>2，11 29 14+3X51 十 声 33<24= 3>4>2 ，111 494929+4X51 + 2+ 铲+ 7<4U= 4X5X2 = 4X5X2 ，1111 377449 + 5X51 + 2y+ 鼠+ 43+ 53<30= 5X6X2= 54>2，11111 74+6X5 26照此规律可以得到 十了+3+4+53+6'3< 6>7X2 =21.11111 26所以第

9、五个不等式为1+了+33 + 43+1+屋【考法解码？题型拓展】考法一：类比推理归纳总结（1）进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.（2）类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维类比、等差与等比类比、运算类比（加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方 卜数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等.aa1+ a2+ + an、【例1】（1）若数列an是等差数列，则数列bngn=n,，也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列Cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为（）C1 + c2 + cnA . dn= nC

10、1 C2 一CnB. dn= nn , _n ,，一nn /c1+ C2+ + CnC. dn=nD . dn= nC1 C2 Cn【答案】D【解析】若an是等差数列，则一 , n(n-1) n1. d dai+a2+ + an= nai + d,所以 bn=ai+2d=2n+a1一2,2即端为等差数列；若cn是等比数列，则ci C2 cn q1 + 2 +(n -1)= ci匕，所以dn= n ci C2 =qnci n,即dn为等比数列.故选 Dq(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为i : 2,则它们的面积比为i : 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为i : 2,则它们

11、的体积比为 .【答案】i : 8【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为i ： 2,则它们的底面积之比为 i ： 4,对应高之比为i : 2,所以体积比为i ： 8.考法二：归纳推理解题技巧：归纳推理中几种问题的处理技巧(i)与等式或不等式 共舞”问题：观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含 的规律.(2)与数列 空手”问题：先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提 所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论.(3)与图形变化 相融”问题：合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其

12、真伪性.【例2】(i)观察等式：i2= i,i2-22=- 3,i2-22+ 32= 6, i2-22+ 32-42 = - i0,依此规律，第n个等式可为【答案】i2- 22+ 32-42+(-i)n+in2=(-i)n+i n(n +i)2【解析】第n个等式的左边第 n项应是(i)"2,右边数的绝对值为 i + 2+3+n= n(n+i),故有122q2 q2 /2. / dn+i 2_ / dn+i n(n 1)2 + 3 -4 + -+ (i) n=(一1).2个小正方形.(2)观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图中有【答案】66【解析】第15个图形中分别有 3,6,

13、10,15,21个小正方形，它们分别为 1 + 2,1 + 2+3,1 + 2+3+4,1 + 2+3. 1 + 11 .+ 4+ 5,1 + 2+ 3+4+5+6,因此 an = 1 + 2+ 3+ (n+ 1).故 a0=1 + 2+3+ +11=2= 66,即第10个图中有66个小正方形.【例3】(1)(2017全国卷n)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 ()A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、

14、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好，则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩.故选 D.(2)某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史.调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步.”乙说：我没有选修数学史.”丙说 我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的.”由此可以判断乙选修的课程为【答案】文学与

15、艺术【解析】由丙说的话可知甲、乙两人至少选修了一门课程，且选修的课程中有一门课程是相同的，又甲比 乙选修的课程多，且没有选修哲学初步，所以甲选修了文学与艺术和数学史.又乙没有选修数学史，所以 乙选修的课程为文学与艺术.考法三：演绎推理归纳总结：演绎推理的结构特点和推证规则(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成 的.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前 提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了 第三个判断：结论.(2)演绎推理的前提和结

16、论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提.一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.n + 2【例4】 数列an的前n项和记为Sn,已知ai = 1, an+i =一厂Sn(n C N*),证明：数列,J遑等比数列；(2)Sn + 1 = 4an.【答案】见解析n + 2【解析】证明(1)因为 an + i = Sn+i Sn, an+i= n Sn,所以(n+2)Sn=n(s+iSn),即 nSn+i = 2(n+1)&,Sn+1SnSi所以n+ i = 2,n,又i=iwqSnl故:n:是以i为首项，2为公比的等比数列.S!+iSn-1Si-1n

17、 1 + 2(2)由(1)可知 n+i = 4 n_i(n>2)所以 Sn+i = 4(n+ 1) n_i = 4, n- i Sn i= 4an(n > 2,)又 a2= 3Si = 3, S2= ai + a2= 1 + 3 = 4= 4a1，所以对于任意正整数 n,都有Sn+i = 4an.【易错警示】易错点盲目类比，没有合理的推导,a2+ b2【典例】 在丛BC中，若/ C=90°, AC=b, BC=a,则 BBC的外接圆的半径 r=2,把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论.【错解】：取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD,且AB=a, AC=b, A

18、D = c,将平面上三角形a2 + b2+c2的外接圆的半径r=2类比到空间为此三棱锥的外接球的半径r=3.【错因分析】：类比推理是一种由特殊到特殊的推理，在类比过程中要结合简单的证明，确保推理的正确性.错解中只是对结论进行了表面的类比，而没有进行合理的推导证明.【正解】：取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD,且AB=a, AC=b, AD = c,可以将四面体补一32+b2+c2成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r = 4a2+b2+c2，所以r =2.则此三棱锥的a2+ b2+ c2 外接球的半径r=2.【误区防范】(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、

19、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.1【跟踪训练】(2019 上海浦东新区期中)在RtAABC中，两直角边分别为a、b,设h为斜边上的高，则片=117+ b2,由此类比：三棱锥 S- ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c,设三棱锥底面ABC上的高为h,则.1111【答案】F=十+ C2【解析】 因为SA、SB、SC两两互相垂直， 所以SA，平面SBC设SD在平面SBC内部，且SDBC于点D, bca SD.

20、a2b2c21111由已知有 SD =多方，h=1芥D2,所以 h2=a2b2+b2c2+c2a2，所以才=O2 + b2+c2.【递进题组】1 111311_11 ,有下列各式：1 + 2+3>1,1+2+7>2，1+2+3+15>2,，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为.1 11 n+1*【答案】1十2+3+2许1 1> 2 (nCN )【解析】 观察前三个不等式，发现其左边最后一项的分母分别为3,7,15,故可猜想第n个式子中应有2n+1234n+1-1项，不等式右侧分别写成 2, 2, 2,故猜想第n个式子应为 丁，按此规律可猜想此类不等式的一般形1 11n

21、+1*式为 1+2+3+2n+1_ 1> 2 (nCN ).2 .用火柴棒摆 金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第 n个金鱼”图需要火柴棒的根数为 .7、</> 、</ / 、v、/> /VJ>2/>2>【解析】由题意知图的火柴棒比图的多6根，图的火柴棒比图的多 6根，而图的火柴棒的根数为2+6,所以第n个 金鱼”图需要(2+6n)根火柴棒.3 .在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为 3,则有cos2"+ cos2 3= 1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD A1B1C1D1中，对角线AC与相邻三个面所成的角为

22、% 3,工则【答案】C0s2计cos2时coJ尸2ACi【解析】 设长方体的棱长分别为 a, b, c,如图所示，所以 ACi与下底面所成角为/ CiAC,记为与平面AiDiDA所成的角记为 3, ACi与平面AiBiBA所成的角记为 司D tl AAC2a2+b2所以 cos a= AC2= a2 + b2 + C2, a2+c22同理 cos A a2+b2+c2, b2+c2cos2 产 a2+b2+c2,所以 cos2 a+ cos2 升 cos2 k 2.*f 2 f 4 f 6f 2 0204.若 f(a+b)=f(a)f(b)(a, bCN ),且 f(i)=2,则O+f3 +f

23、 5 + f2 0i9 =【答案】2 020*f a+1f 2 f 4【解析】因为 f(a+b)= f(a)f(b)(a, bCN),令 b= i,则 f a= f(i)= 2,所以 f i =f 3 = =f 2 020f 2 0i9 =2.所以原式=巨J= 2 020.【考卷送检】一、选择题i.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无理数；结论：兀是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无限不循环小数；结论：兀是无理数C.大前提：兀是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：兀是无理数D.

24、大前提：兀是无限不循环小数；小前提：兀是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【答案】B【解析】对于A项，小前提与结论颠倒，错误；对于 B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于 C项,大小前提颠倒；对于 D项，大小前提以及结论颠倒.故选B.2 .请仔细观察i,i,2,3,5, (), i3,运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是()A. 8B. 9C. i0D. ii【答案】 A【解析】观察题中所给各数可知2=1+1,3=1 + 2,5=2+3, 8=3+5,13=5+8,所以括号中的数为8.故选A.3 .观察(x2)：2x, (x4) = 4x3, (cos x) = - sin x,由归纳推

25、理可彳导:若定义在R上的函数f(x)满足f(x) = f(x),记g(x)为f(x)的导函数，则g( x) = ()A. f(x)B. f(x)C. g(x)D. - g(x)【答案】D【解析】 由所给等式知偶函数的导数是奇函数.因为f( x) = f(x),所以f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数.所以 g( x)= g(x).4 .中国有句名言 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”，其中的 筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代 是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如 图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，

26、但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如6 613用算筹表示就是±T-IH,则8 335用算筹可表示为()123456789I II I I I III I IIIII 丁 TT m TTTT 纵式= = I I上 横式中国古代自勺算筹数码i = I I I IIIII工 I I I 三IIIIIA B in三 iii与ttt 111 =三CD【答案】B【解析】 各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则8 335用算筹可表示为 白|三 川|.故选B.5 . (2019太原

27、模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3 日都有值班；乙说：我在 8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等，据此可判断丙必定值班的日期是()B. 5日和6日A. 2日和5日C. 6日和11日D. 2日和11日【答案】C12【解析】这12天的日期之和S12 = 7（1 + 12） = 78,甲、乙、丙各自的日期之和是26.对于甲，剩余2天日期之和是22,因此这两天是10日和12日，故甲在1日、3日、10日、12日有值班；对于乙，剩余 2天日期之和是9,可能是2日、7日，也可能是4日、5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日.6 .已知a

28、n=logn+1（n+2）（nC N*）,观察下列运算：lg 3 lg 4a1 a2= 10g23 log34 = lg 2 lg 3 = 2；lg 3 lg 4 lg 8a1 a2 a3 a4 a5 a6= 10g23 log34 785g lg 2 lg 3 .lg 7=3;若a1 a2 a3 ak（kC N*）为整数，则称 k为 企盼数”，试确定当a1a2 a3 ak=2 019时， 企盼数”女为（）A 22 019 +2b 22 019C 22 019 2D, 22 019 4【答案】C【解析】a a2 a3 一旬=必二&=2 019, lg(k+2)=lg 22 °

29、19,故 k=22 °192.lg2二、填空题1 3 工 15 工工17112n+11+22+ 2，不等式的右边为 n+ 1 ,2 (n 1)2n+* 17 .观察下列式子：1 + 22<2，1 +22+ 32<3，1 +22 + 32+42<4，根据上述规律，第 n个不等式应该为【解析】 将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆,可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2 020个圆中有多少个实心圆，因此找到第2 020个圆所在的段数很2 + 63重要.因为2+3+63= 22+64X62=2 015<2 020,而 2+3+

30、+ 64 = 2 63=2 079>2 020,所以共有62个实心圆.9.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,Sl6Sl2成等差数列.类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列bn的前n项积为Tn,则成等比数列.T8 T12 T16【答案】T4, T4, 丁8，2【解析】 利用类比推理把等差数列中的差换成商即可.三、解答题ax+a xax-a x10.设 f(x)=2， g(x)=2(其中 a>0,且 aw1.) (1)请你由5=2 + 3推测g(5)能否用f(2), f(3), g(2), g(3)来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论，请你

31、推测能否将其推广.【答案】见解析a3 + a 3 a2-a 2 a3-a 3 a2 + a 2【解析】(1)由于 f(3)g(2)+g(3)f(2) = 12a5-a 5,又 g(5) =a- 52，因此 g(5)=f(3)g(2) + g(3)f(2).(2)由 g(5) = f(3)g(2) + g(3)f(2),即 g(2+3) = f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测 g(x+ y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).ax+ a xax a x证明：因为 f(x)= -2 , g(x) = 2 一,所以 g(x+y) =-(x力)ay a y，g(y)=2-,f(y) =ay

32、+a-y2，ax+ ax所以 f(x)g(y)+ g(x)f(y)=2aya y ax a xay+a yc x -y-(x y)a a=g(x+ y).11 .在 RtAABC 中，ABXAC, AD，BC于D,求证:ad2=ab2+ac2,那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【答案】见解析【解析】 如图(1)所示，由射影定理知 ad2=bddc,AB2= BD BC, AC2 = BC DC ,所以AD2= BD DC =_2BC2_2BC2AB2 + AC211BD BC DC BC = AB2 AC2.又 BC2=AB2+AC2,所以 AD2= AB2 AC2 = AB2+AC2，所以 AD2