专题07极化恒等式问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)

1、专题07极化恒等式问题1 uuur 2Z|BC13.极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形uur uuur uur uuur 122ABCD, AB AD (| AD | BD | )4曙师综述二%-_ 奇.她极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱r r1 , rJ、2jJ、21.极化恒等式：a b (ab)(ab)4uuir uuur uur 22.极化恒等式三角形模型：在ABC中，D为BC的中点，则 AB AC |AD|典例剖析J类型一利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形 ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,uur uur

2、uuu uuinBA CA 4, BF CF1,则uuu uuuBE CE值为8【解析】uurr uurr uuu uur uuur _ uur_ r 2r 2设 DCa,DFb, BACA | AD |2|BD129ba4uuu 2 |BD|22 b2解得b2 a138uuu uuuuuruuirr 227BE CE|ED | BD |4ba一8类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2在三角形ABC中，D为AB中点,C 90 , AC 4,BC3,E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1,uuur 则DEuuurDF最小值为151设EF的中点为M,连接CM则|CM | 1即点M在如图所示的圆

3、弧上，uuur uuuruuur则 DE DF | DM |2uuuu uuuur| EM |2 | DM |21、 _-=|CD |4类型三利用极化恒等式求参数uuu uum uur . BF CF |FD rP,恒有典例3 设三角形 ABC, P0是边AB上的一定点，满足PoB=1AB,且对于边 AB上任一点4uur uur uuir uuurPB PC FOB PC，则三角形ABC形状为.【答案】C为顶角的等腰三角形【解析】取BC的中点D,连接PD,PoD.uuu uuu uuur uuur Q PB PC - F0B F0Cuuur 2 |PD |21 uuir 241BC11 uuu

4、r uu r 27BC |2-P)b4uuur r r| PD |P0DP0D AB,设。为BC的中点，OC AB AC BC即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.藤 Ci-a*总 占 9看 oAi . 4> AZetQ精选名校模坂!uuu uur uur1.已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA (PB PC)的最小值是【解析】uuuu i uuur2| PM |2 - | AO |2uuuu 2 21PM |2设BC的中点为 O, OC的中点为 M,连接OP,PM,uuu uuu uuur uuur uuuPA (PB PC) 2PO PA当且仅当M与P重

5、合时取等号2.直线 ax by c 0 与圆 0:x2 y2216相交于两点M,N,若c22a b , P为圆O上任意一点，则uuuu uuurPM PN的取值范围为【答案】6,10【解析】圆心O到直线ax by c 0的距离为d , |c|1, a2 b2设MN的中点为A,uuuu uuu uuu _ uuur _ uuu .PM PN |PA|2 |MA|2 |PA|2 15uuu uuu uuuQ|OP| |OA倒 |PA|uur|OP|uur|OA|uuu uuur uuur3蒯 |PA| 5,PM PNuuu|PA|15 6, 10uuur _3.如图，已知 B,D是直角C两边上的动

6、点，AD BD,|AD| J3,uuuu uuu uuu1BAD -,CM 2 (CA CB)6uuur i uuin uuu uuur uuurCN - (CD CA),则CM CN的最大值为 【答案】1( .13 4) 4【解析】uuur uuur uur 1设MN的中点为G, BD的中点为H, CM CN | CG |2 -4uuuruult1| MN |2 |CG |216(、.13 4)4uuuruuuruuur1 . 13 uuuu uuur1T31Q|CG| 钏CH| | HG | CM CN 一242416uuuu lut所以CM CN的最大值为1(.1344)4.如图在同一平

7、面内，点A位于两平行直线 m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1, 3,点B,C分别在m,nuuir uur上，且| AB AC| 5,则uuu uuurAB AC的最大值为214【解析】uuu uur连接BC,取BC的中点D,则AB AC1 uur uur 5 又 AD -| AB AC | 一 22uur uuur 故 AB AC25BD2254-BC 4又因为BCmin 3 1 2uur uuur21所以（AB AC）max2r5.在半彳至为1的扇形AOB中,uuu uuuAOB 60 ,C为弧上的动点，AB与OC交于点P,则OP BP的最小值为【解析】uur取OB的中点D,连接PD,

8、则OPuuuBPPD2 OD2PD2 4于是只要求求PD的最小值即可,由图可知，当PD AB时，PDmin一 一一1即所求最小值为14uuu uur6.已知线段AB的长为2,动点C满足CA CB., .一1为常数)，且点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，则负数的最大值为【解析】如图取uuu uuuAB的中点为D,连接CD,则CA CBCD2 1CD 11,01 .又由点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆内, 21则负数2的最大值为 34uuir uur7.已知A(0,1),曲线C ：y log4x横过点B,若P是曲线C上的动点，且AB AP的最小值为2,则如图，B (1,0),则ABJ2

9、,连接BP,取BP的中点C,连接AC,2 (.2)2AB2uuu uuu因为AB AP的最小值为2,则有 AC2 BC2 max上式等价于 AB2 BC2, AC2,即 ABP 90当且仅当P与B重合时取等号，此时曲线C在B处的切线斜率等于1, rr 1即1 , a elnr r r r - r,r.r,8.若平面向量a, b满足12a b | 3 ,则a b的最小值为 9【答案】98【解析】22 r r ,2r ,r ,2 =2 -2-r J (2 a b) (2a b) 12abi 12abi 039a b -8888rr& r r当且仅当 12a b 0,12a bi 3,即ai

10、 3,ibi -, a,b 42,r r =9时a b取最小值- 89.在正方形ABCN, AB=1, A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动，则ULUT UUUOC OB的最大值为如图取BC的中点E,取AD的中点F,uur uuuuur uuu _umr uuu .4OC OB (OC OB)2 (OC OB)2uuir _uuu _uuui2(2OE)2 (2 BE)2 4OE 1uuur uuu uuuf2 1 所以 OC OB OE 4uur uuuruuu1 uuur uuu 13而1oe|of|FE|2|AD| |FE1 -1 2，uur uur当且仅当OF AD,OA OD时取等号

11、，所以 OC OB的最大值为210.已知正方形 ABCD的边长为2,点E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径作弧交 AD于F,若P为劣弧uuur uurEF上的动点，则 PC PD的最小值为 【答案】5 2,5【解析】如图取CD的中点M.uur uuruur uur o uuir4PC PD (PC PD)2 (PCuuur o uuur o uuur ouuurkPD)2 (2PM)2 (2DM )2 4PM 4uuir uur uuuu2所以 PC PD PM 1uuuu uuuu uuu uuur而|PM | 1 | PM | | AP | | AE | 百，当且仅当P,Q重合时等号成立uuiui unr_所以PC PD的最小值为（褥1）2 1 5 2亦MN的长度11.正方体ABCD-ABGDi的棱长为2, MN它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点,uuuu uur最大时，求PM PN的范围.【答案】0,2【解析】如图当弦