数列中裂项相消的常见策略

1、211数列中裂项相消的常见策略化娟（甘肃省临泽一中734000 ）裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2 项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法， 本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考1 利用分式的通分进行裂项通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为+- 十一 +-123123川n2 式的差.例如可以利用n(n k)1 1k(n11）进行裂项.k分析因为123：；川nn(n 2)所以 原式=212n从而因此例 2 2已知等差数列（1） 求 a4及 Sn（2）令 b1令bn一2an -分析（1 ）略bnT

2、na3=7,a5+a7=26,，an匚的前 n 项和为 Sn（n N”），求数列bj的前 n 项和为 Tn.oa 2n 1，得a*1二4n(n 1),1 1 1 (- 4n(n 1)4 nn 1），丄1丄-丄)=丄(1-丄)=23 n n 14n 1 n(n 1)利用根式的分母有理化进行裂项 分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项.例如可以利用分式=1( n k _ . n)等.n n k k例 3已知数列an满足an=-壬- :，求Sn.(n +1)J n +nJn +1an?满足:由tan tan P变形为tan tan1或者其他形式，从而解决问题 .tan(口- P

3、)例 5 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，将这的乘积记作Tn,n _ 1.(1)求数列、an1的通项公式；(2)设bn=tanan，tana* 1，求数列b 2),贝y Cn卅一Cn = - = 2(- -).(n -1)nn(n -1) n n -1bb从而cn= (CnCn)(Cn- Cnd)GQ=2(11_ 1n 2bn=Cn1 1 1 11) C2=2(- 1)+n -2 n -32n -1n(n -1) = (2)n(n -1) =2n2.n 1b2=22，2 n 1利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如t

4、an (：；I)=tan：- -tan：可以n+2 个数（2）由题意和第（1 ）小题的计算结果，知bn=tan(n 2) tan(n3)(n _1)另一方面，利用tan仁tank 1 -kan(k 1)tank,得1 - tan(k +1) tan k5 利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质logaM= log M -log N，有些试题则可以构造这种形式进行裂项N例 6 各项都是正数的等比数列an满足an=1（ N），当n_2时，证明：111n -1-+- + -Igajga2lg a?Ig a3Iganlganlg a1lg a.分析a(q0)，由= q，得Igan Igan=lgq，

5、an*6利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质n n （n 1）! -n!，组合数有这样的性质cn= dCn，都可以作为裂项的依据例7求和:11+2 2+ n -n! =分析 直接利用n n!=（n，1）!-n!可得结果是（n T）!-1.例 8 求和：12nSn2!3!(n 1)!tan(k 1) tan k =tan(k 1) - tan kta n1-1,于是&b：2tan(k 1) tank；2吋 TWJi =1i =3i =3 _tan(n + 3) - tan 3nntan 1tan1设等比数列Bn 的公比为 q从而,1lg a.lgan1Ig q(lgan 41lg an因此,左边=Ig q 1 lg a1Ig a2)(lg a21 1一) (一lg a3lg an 4H-)llg an一1)=1Ig an- lg a11 (n - 1)lg qIg q Ig a1Iga2Igq右式.Ig anIg a1Ig a.Ig a.Ig a1Ig a.Ig印例 9 求和：Sn -C2C3Cn.分析 利用组合数性