立体几何垂直证明题常见模型及方法

1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点:由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化:线线垂直 线面垂直 面面垂直;基础篇类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直(1 共面垂直:实际上是平面内的两条直线的垂直 (只需要同学们掌握以下几种模型 1 等腰(等边三角形中的中线2 菱形(正方形的对角线互相垂直 3勾股定理中的三角形 4 1:1:2 的直角梯形中 5 利用相似或全等证明直角

2、。例:在正方体1111ABCD A BC D -中,O 为底面ABCD 的中心,E 为1CC ,求证:1AO OE (2 异面垂直 (利用线面垂直来证明,高考中的意图 例1 在正四面体ABCD 中,求证AC BD 变式 1 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面A B C D 是矩形,已知 60,22,2,2,3=PAB PD PA AD AB .证明:AD PB ;变式2 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,将AED,DCF 分别沿,DE DF 折起,使,A C 两点重合于A . 求证:A D EF ; 变式3如图,在三棱锥P ABC -中,PA

3、B 是等边三角形,P AC =PBC =90 证明:AB PC类型二:线面垂直证明方法1 利用线面垂直的判断定理例2:在正方体1111ABCD A BC D -中,O 为底面ABCD 的中心,E 为1CC ,求证:1AO BDE 平面变式1:在正方体1111ABCD A BC D -中,求证:11AC BDC 平面 变式2:如图:直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AC =BC =AA 1=2,ACB =90.E 为BB 1 的中点,D 点在AB 上且DE = 3 . 求证:CD 平面A 1ABB 1;BE ADFG 变式3:如图,在四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中

4、点,变式4 如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,AD BC ,90ABC =,PA 平面ABCD .3PA =,2AD =,AB =,6BC =C类型3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直 例2 如图,在四棱锥P A B C -中,PA 底面A B C D ,60AB AD AC CD ABC =,PA AB BC =,E 是PC 的中点.(1证明CD AE ; (2证明PD 平面ABE ; 变式1已知直四棱柱ABCD A B C D 的底面是菱形,=60ABC ,E 、F 分别是棱CC 与BB 上的点,且EC=BC =2FB =2. (1求证:平面AEF 平面AA C C ;EACDPE举

5、一反三1.设M 表示平面,a 、b 表示直线,给出下列四个命题:M b M a b a / b a M b M a / b a M a b M b a M a /b M . 其中正确的命题是 ( A.B.C.D. 2.下列命题中正确的是 ( A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在

6、沿DE 、DF 及EF 把ADE 、CDF 和BEF 折起,使A 、B 、C 三点重合,重合后的点记为P .那么,在四面体P DEF 中,必有 ( A.DP 平面PEFB.DM 平面PEFC.PM 平面DEFD.PF 平面DEF 4.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面,满足:l =,l ,m 和m ,那么必有 ( A.且l m B.且m C.m

7、且l m D.且6.AB 是圆的直径,C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在平面,若BC =1,AC =2,PC =1,则P 到AB 的距离为 ( A.1B.2C.552 D.553 7.有三个命题:垂直于同一个平面的两条直线平行;过平面的一条斜线l 有且仅有一个平面与垂直;异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线,平面、满足a ,b ,则下面正确的结论是 ( A.与必相交且交线m d 或m 与d 重合B.与必相交且交线m d 但m 与d 不重合C.与必相交且交线m 与d 一定不平行D.

8、与不一定相交9.设l 、m 为直线,为平面,且l ,给出下列命题 若m ,则m l ;若m l ,则m ;若m ,则m l ;若m l ,则m , 其中真命题.的序号是 ( 第3题图A.B.C.D. 10.已知直线l 平面,直线m 平面,给出下列四个命题:若,则l m ;若,则l m ;若l m ,则;若l m ,则.其中正确的命题是 ( A.与B.与C.与D.与二、思维激活11.如图所示,ABC 是直角三角形,AB 是斜边,三个顶点在平面的同侧,它们在内的射影分别为A ,B ,C ,如果A B C 是正三角形,且AA =3cm ,BB =5cm ,CC =4cm ,则A B C的面积是 .1

9、2.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形13.如图所示,在三棱锥V ABC 中,当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时,有VC AB .(注:填上你认为正确的一种条件即可三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH 侧面VBC ,且H 是VBC 的垂心,BE 是VC 边上的高.(1求证:VC AB ;(2若二面角E AB C 的大小为30,求VC 与平面ABC 所成角的大小.15.如图所示,P A 矩形ABCD 所在平面,M 、N 分

10、别是AB 、PC 的中点. (1求证:MN 平面P AD . (2求证:MN CD .(3若PDA =45,求证:MN 平面PCD .第11题图第12题图第13题图第14题图 第15题图16.如图所示,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,BAD =60,AB =4,AD =2,侧棱PB =15,PD =3.(1求证:BD 平面P AD . (2若PD 与底面ABCD 成60的角,试求二面角P BC A 的大小.17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,ACB =90,BAC =30,BC =1,AA 1=6,M 是CC 1的中点,求证:AB 1A 1M .18.如图所

11、示,正方体ABCD A B C D 的棱长为a ,M 是AD 的中点,N 是BD 上一点,且D N NB =12,MC 与BD 交于P .(1求证:NP 平面ABCD . (2求平面PNC 与平面CC D D 所成的角. (3求点C 到平面D MB 的距离.第16题图第18题图第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP PE ,DP PF ,PE PF .4.D 过a 上任一点作直线b b ,则a ,b 确定的平面与直线b 平行.5.A ,m 且m ,则必有,又因为l =则有l

12、 ,而m 则l m ,故选A.6.DP 作PD AB 于D ,连CD ,则CD AB ,AB =522=+BC AC ,52=AB BC AC CD , PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直.10.B ,l ,l m11.23cm 2 设正三角A B C 的边长为a . AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB 2=a 2+4, 又AC 2+BC 2=AB 2,a 2=2.S A B C =23432=a cm 2. 12.在直四

13、棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC BD (或任何能推导出这个条件的其它条件,例如ABCD 是正方形,菱形等时,有A 1C B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC VA ,VC AB . 由VC VA ,VC AB 知VC 平面VAB . 14.(1证明:H 为VBC 的垂心, VC BE ,又AH 平面VBC ,BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,AB VC . (2解:由(1知VC AB

14、 ,VC BE ,VC 平面ABE ,在平面ABE 上,作ED AB ,又AB VC , AB 面DEC .AB CD ,EDC 为二面角E AB C 的平面角, EDC =30,AB 平面VCD ,VC 在底面ABC 上的射影为CD .VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC AB ,VC BE , VC 面ABE ,VC DE ,CED =90,故ECD=60,VC 与面ABC 所成角为60.15.证明:(1如图所示,取PD 的中点E ,连结AE ,EN , 则有EN CD AB AM ,EN =21CD =21AB =AM ,故AMNE 为平行四边形. MN AE . AE 平面P

15、AD ,MN 平面P AD ,MN 平面P AD . (2P A 平面ABCD , P A AB .又AD AB ,AB 平面P AD . AB AE ,即AB MN . 又CD AB ,MN CD .(3P A 平面ABCD ,P A AD . 又PDA =45,E 为PD 的中点.AE PD ,即MN PD .又MN CD , MN 平面PCD .16.如图(1证:由已知AB =4,AD =2,BAD =60, 故BD 2=AD 2+AB 2-2AD AB cos60=4+16-22421=12. 又AB 2=AD 2+BD 2, ABD 是直角三角形,ADB =90,即AD BD .在P

16、DB 中,PD =3,PB =15,BD =12, PB 2=PD 2+BD 2,故得PD BD .又PD AD =D , BD 平面P AD .(2由BD 平面P AD ,BD 平面ABCD . 平面P AD 平面ABCD .作PE AD 于E , 又PE 平面P AD ,PE 平面ABCD ,PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角. PDE =60,PE =PD sin60=23233=. 作EF BC 于F ,连PF ,则PF BF , PFE 是二面角P BC A 的平面角. 又EF =BD =12,在Rt PEF 中,tan PFE =433223=EF PE . 故二面角P BC

17、 A 的大小为arctan43.第15题图解第16题图解17.连结AC 1,11112263A C CC MC AC=. Rt ACC 1Rt MC 1A 1, AC 1C =MA 1C 1,A 1MC 1+AC 1C =A 1MC 1+MA 1C 1=90. A 1M AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱,CC 1B 1C 1,又B 1C 1A 1C 1,B 1C 1平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1A 1M .点评:要证AB 1A 1M ,因B 1C 1平面AC 1,由三垂线定理可转化成证AC 1A 1M ,而AC 1A 1M 一定会成立.18.(1证明:在正方形AB

18、CD 中, MPD CPB ,且MD =21BC , DP PB =MD BC =12. 又已知D N NB =12,由平行截割定理的逆定理得NP DD ,又DD 平面ABCD , NP 平面ABCD .(2NP DD CC ,NP 、CC 在同一平面内,CC 为平面NPC 与平面CC D D 所成二面角的棱. 又由CC 平面ABCD ,得CC CD ,CC CM , MCD 为该二面角的平面角. 在Rt MCD 中可知 MCD =arctan21,即为所求二面角的大小. (3由已知棱长为a 可得,等腰MBC 面积S 1=22a ,等腰MBD 面积S 2=246a ,设所求距离为h ,即为三棱

19、锥C D MB 的高.三棱锥D BCM 体积为h S D D S 213131=, .3621a S a S h =空间中的计算 基础技能篇 类型一：点到面的距离 方法 1：直接法把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例 1：在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求点 A 到面 BCD 的距离。 变式 1 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 V 到 底面 ABCD 的距离。 变式 2 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 A 到底 面 VCD 的距离。 方法 2：等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用

20、体积不变原理，通过转换不同 的底和高来达到目的。 例2 已知在三棱锥 VABC 中，VA,VB,VC 两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求 点 V 到面 ABC 的距离。 变式 1：如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的，其 中 AB = 4, BC = 2, CC1 = 3, BE = 1 （1）求 BF 的长； （2）求点 C 到平面 AEC1F 的距离 变式 2 如图，在四棱锥 O - ABCD 中，底面 ABCD 是四边长为 1 的菱形， ABC = p 4 O _ , OA 面 ABCD , OA = 2 ,求点 B 到平面 OCD 的距离

21、A _ B _ C _ D _ 变式 3 在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求它的内切求的半径。 类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ） ABC = 例 3 如图， 在四棱锥 O - ABCD 中， 底面 ABCD 是四边长为 1 的菱形， 面 ABCD , OA = 2 ,M 为 OC 的中点，求 AM 和点 A 到直线 OC 的距离 p 4 , OA O _ A _ B _ C _ D _ 举一反三 1正三棱锥 P-ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 45 ，则点 A 到侧面 PBC 的距离是 A 4 5 B 6 5 C6 D 4 6 2如图，已知正三棱柱 ABC - A1

22、B1C1 的底面边长为 1，高为 8，一质点自 A 点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的最短路线的长为 A10 二、填空题： 3太阳光照射高为 3 m 的竹竿时，它在水平地面上的射影 为 1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子 的长度 AB 等于 3 3 cm,则该球的体积为_ 4若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_ 2 主视图 2 3 B20 C30 D40 左视图 俯视图 三、解答题： 5已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1，M 是底面 BC 边上的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN2C1N求点 B1 到平面 AMN 的距离 6一个多面体的直观图及三视图如图所示： （其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点）. （1）求证：MN 平面 C