振动、波动部分答案

1、大学物理学振动和波振动班级_ 学号_姓名_成绩_内容提要1、简谐振动的三个判据図人+“（1）LT ；（ 2）；（ 3）r二-：工 U单摆小角度振动：2 .dmgh复摆： -dt J11系统的势能为：EPkx2kA2cos2C 4 )228 两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成系统的动能为：EK二1mv2二m - .2A2sin(t;:)；2 27、简谐振动的能量：2、描述简谐振动的特征量:A、T、1一；,=27：TT3、简谐振动的描述：（1）公式法1 _1 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：vdx二二_ A sin( ，t= vmcos( .t r

2、 )；dt2d x2a=2A cos( 7)=am(t：“o)dtd=iiidf = dt5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例E = k A = m；：A2 25图中所示为两个简谐振动曲线。若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为 _合振动方程为：x=：Acos( -i )_ Axsin pj +sin死 其中A = J十A? + 2A禹tusAe，其中随二艷-轨；伽叩ACD碉+堆cosa* (2)两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：Y =卩2-馅*( 3)两个相互垂

3、直简谐振动的合成cos ( -2-) = sin2(2-4)，为椭圆方程。A1A2练习一一、 填空题1.一劲度系数为 k 的轻弹簧，下端挂一质量为 m 的物体，系统的振动周期为 Ti。若将此弹簧截去一半的长合振动方程:A：振动3如图，一长为|的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。知细棒绕过其一端的轴的转动惯量 J =ml2/3，此摆作微小振动的周期4试在下图中画出谐振子的动能、 振动势能和机械能随时间而变化的三条曲线(设 位置)。Lt = 0 时物体经过平衡1为誉进撤动的罔増求第二个分振动二、计算题1、 水面上浮沉的木块是在作简谐振动吗？如果是， 其周期是多少? 的高度为 h

4、。假设木块的边长为 L,平衡时浸入水中2、弹簧振子的运动方程为x =0.40 cos( 0.7t _0.30)( SI)，写出此谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相3、一个弹簧振子沿 x 轴作简谐振动，已知弹簧的劲度系数为k =15.0N/m，物体质量为 m=0.1kg，在 t=0时物体对平衡位置的位移x0= 0.05m，速度v0= _0.82m/s。写出此简谐振动的表达式。4、一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12m,周期 T=2s，当 t=0 时，质点对平衡位置的位移x=0.06m， 此时刻质点向 x 正向运动。求：(1) 简谐振动的运动方程；(2)t=T/4 时，质点的位移、速

5、度、加速度。5、有一个质点参与两个简谐振动，其中第一个分振动为x1二0.3cos t，合振动为x = 0.4 sin，t，6、一弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 25N m1，当物体以初动能 0.2J 和初势能 0.6J 振动时，求:（1）振幅（2）位移是多大时，势能和动能相等？（3）位移是振幅的一半时，势能是多大？大学物理学振动和波波动班级_ 学号_姓名_ 成绩_内容提要1、 波动的描述(1) 波的几何描述：波线、波面、波前；在各项同性介质中，波线总垂直于波面。_it - = vl(2)描述波动的物理量波长、波的周期T、波速U，三者的关系为：=泌=加丄2、波线上两点之间的波程 I，两点振动的相

6、位差为：3、平面简谐波的波动方程(式中负号对应于正行波，正号对应于反行波)X xf= Xco5or+-) + fl?曲,血恥倣2托丁+叭y( t) =ACO52I(-+ -?+ Ju ；1；T 24、波的能量和能流222Xw =w k +w p = PA a (AV )sin a(t -)(1)波的能量：体积元的总机械能为：u(2)平均能量密度:-：w =v12 2A - 2P 12 2-,I;u =一A门u(3)平均能流密度：25、波的干涉(1)波的干涉条件: 两列波的振动方向相同、频率相同和相位差恒定。(2)干涉加强、减弱条件:6、驻波和半波损失:= 2br 1,1,卜胡+為为干涉极大点；

7、若牛丄二为干涉极小点2Hy = y!y2=2Acos xcos t(1)驻波方程:=14.变，岀现波节；波从波密介质入射到波疏介质，反射点没有半波损失，岀现波腹。* 7、多普勒效应：若波源、观察者或两者同时相对介质运动时,u VR2.把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐运动，则()。3.平面简谐波沿 Ox 正方向传播，波动方程为y =0.10 cos 2兀(丄-( SI )，该波在 t = 0.5s 时刻242的波形图是()。一平面谐波在弹性介质中传播，在介质元从最大位移处返回平衡位置的过程中(A)它的势能转换为动能(2)波腹波节2二cosx

8、cos x=0,(2k - 1)- = 2(3 半波损失：波从波疏介质入射到波密介质,x = k -2, k=0,_1,2,k =0,_ 1,2在分界面处反射时, 反射点有半波损失，即有相位n的突观察者所接收到的频率不同于波源的频率。若波源的频率为:，则观察者接收到的频率为:u - Vs。其中，u 为波速，VR为观察者相对介质的速度;Vs为波源相对介质的速度。练习二、选择题1- 一平面简谐波表达式为 y = _0.05 sin 二(t _2x)( SI)，则该波的频率 ( Hz)、波速u(m/s)及波线上各点的振幅 A ( n依次为(A)丄,1, - 0.052 2(B)1,1,-0.05 (

9、C)2丄,0.05 (D) 2,2,0.052(A)振动频率越高，波长越长(B)振动频率越低，波长越长(C)振动频率越高，波速越大(D)振动频率越低，波速越大=14.(B)它的动能转换为势能（C）它从相邻一段介质元中获得能量，其能量逐渐增加。（D）它把自己的能量传给相邻的一段介质元，其能量逐渐减少 二、填空题1.已知 14C时空气中的声速为 340 nXs，人可以听到频率为 2020 OOOHz 范围内的声波，可以引起听觉 的声波在空气中波长的范围约为 _。2在简谐波的一条射线上，相距0.2 m 的两点的振动相位差为二/6，又知振动周期为0.4s，则波长为_ ;波速为_。3.一平面简谐波沿 O

10、x 轴传播，波动方程为y = Acos 2二（、.t x/ .）亠，则= L处介质质点振动的初相位是 _；与X,处质点振动状态相同的其他质点的位置是 _ ；与X,处质点速度大小相同，但方向相反的其他各质点的位置是 _。4.球面波在各向同性均匀介质中传播，已知波源的功率为100 W,若介质不吸收能量，则距波源10m 处的波的平均能流密度为 _。5机械波在介质中传播，当某一质元振动动能相位是二时，它的弹性势能的相位是 _。6.一驻波中相邻两波节的距离为d=5.00cm，质元的振动频率为=1.0 103HZ，则形成该驻波的两个相干行波的传播速度 u_ 和波长 _三、计算题1、有平面简谐波沿 x 轴正

11、方向传播，波长为 入，见下图。如果 x 轴上坐标为X0处质点的振动方程为yx0二A cos（ ，t 0），试求：（1）波动方程；（2）坐标原点处质点的振动方程；（3）原点处质点的速度和加速度2、一简谐波逆着 x 轴传播，波速 u=8.0m/s。设 t=0 时的波形曲线如图所示。求：（1）原点处质点的振动方程；（2）简谐波的波动方程（3）t=3T时的波形曲线423、用聚焦超声波的方法，可以在液体中产生强度达 120kW/cm的超声波。设波源作简谐振动，频率为 500kHz,3水的密度为103kg/m，声速为 1500m/s，求这时液体质点的位移振幅、速度振幅和加速度振幅。4、在 x 轴上有两个波

12、源，S的位置在xi=0处，S2的位置在x2=5处，它们的振幅均为 a，Si的相位比S超前n/2。假设每个波源都向 x 轴的正方向和负方向发岀简谐波，每列波都可以传播到无穷远处，波长为入=4。（1）求 x5 区间合成波的振幅。5、速度vs= 20 m s 的火车和速度v15m sA的火车 B 相向行驶，火车 A 以频率- 500 HZ鸣sr汽笛，就下列情况求火车 B 中乘客听到的声音频率。（设声速为 340m s）（1）AB 相遇之前（2） A、B 相遇之后X，速度 v，和加速度 a 下列说法中哪一个是正确的?(A)曲线3,1，2分别表示 x， v， a 曲线；(B)曲线2, 1，3 分别表示

13、x， v， a 曲线；(C)曲线1, 3，2 分别表示 x， v， a 曲线；(D)曲线2, 3，1 分别表示 x， v， a 曲线；(E)曲线12，3 分 别 表 :示 x ，v线.:1大学物理学振动和波振动、波动自测题班级_ 学号_姓名_ 成绩_一、选择题(共 30 分)1、一个弹簧振子和一个单摆(只考虑小幅度摆动)，在地面上的固有振动周期分别为Ti和T2将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T/和T/则有(A)T/ Ti且T T2(B)T：:Ti且T/:：:T2(C)TiTi且T/ T2(D)T/=：Ti且T T2:x 时，其振动速度为 v，加速度为 a.则下列计算该振子劲度系数的公式中，

14、错误的是:22(C)k =4 n m/T(D)3、一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为4、一质点在 x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm，周期 T = 2 s，其平衡位置取作坐标原点.若 t = 0 时刻质点第一次通过 x = -2 cm 处，且向 x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为(A) 1 s (B) (2/3) s(C) (4/3) s(D) 2 s:12、一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T.今已知振子离开平衡位置为2 2(A)k=mVmax/Xmax(B)(A)二/

15、6(B)5二/ 6(C)(D)-二/ 6-2二/ 3:15、图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移a 曲26、 在下面几种说法中，正确的说法是：(A)波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的.(B)波源振动的速度与波速相同.(C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于二计).(D)在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前.(按差值不大于二计)7、 一简谐横波沿 Ox 轴传播若 Ox 轴上 Pi和 P2两点相距，/8(其中，为该波的波长)，则在波的传播过 程中，这两点振动速度的(A)方向总是相同.(B)方向总是相反.(C)方向有时相同，有时相

16、反.(D)大小总是不相等.&下列函数 f (x, t)可表示弹性介质中的一维波动，式中A、a 和 b 是正的常量.其中哪个函数表示沿x轴负向传播的行波？(A)f (x, t) = A cos( ax bt).(B)f (x, t) = A cos( ax - bt).(C)f (x ,t) = A cos ax cos bt.(D)f (x,t) = A sin ax sin bt.1(SI).9、图中画出一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图,P 点的质点的振动方程是则平衡位置在(A)1yP=0.01 cosnt 2)n3(SI).(B)1yP= 0.01 cosnt亠2)n3

17、2S的振动方程为yt=Acos( 2?.t*1二)，则S2的振动方程为2S2,(A)y2= Acos( 2二t(C)y2= Acos( 2二t1-二).21).(B)y2(D)y2= 2Acos(2 二 t 一 0.1 二).:二、填空题(共 30 分)1、一弹簧振子作简谐振动，振幅为(1) 振子在负的最大位移处，则初相为A 周期为T，其运动方程用余弦函数表示若t = 0 时,10、如图所示，s 和 s 为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图已知Sp =2，,S2P =2.2 ，两列波在 P 点发生相消干涉.(C)(D)1=0.01 cos 2 Tt(t - 2)n(SI).31yP=0.01

18、 cos 2 Tt(t - 2) n(SI).3yp的简谐波，P 点是两列波相遇区域中的一点,S1 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为9、 一个波源位于 O 点，以 O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为R和民，在两个球面上分别取相等的面积As1As2，则通过它们的平均能流之比PJP2=_.10、 多普勒效应指的是 _ 。三、计算题（共 40 分）（3）振子在位移为 A/2 处，且向负方向运动，则初相为 _2、图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动旋转矢量的长度为速度，= 4 二 rad/s .此简谐振动以余弦函数表示的振=_（SI） 3、 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示.当振子处在位

19、速度为-A、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于_点.当振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加2.A 和弹性力为-kA 的状态时，应对应于曲线上的占八、4、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的_ .（设平衡位置处势能为零）.当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长 Al，这一振动系统的周期为_5、一平面简谐波的表达式为y = A cos (t - X / U ) = A cos( ，t - ，x / u )其中 x / u表示_cox/ u表示_；y 表示_.6、一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 _ ，这个

20、现象称为_ 。7、设沿弦线传播的一入射波的表达式为t x .y = A cos 2:.（）T，波在 x = L 处（B 点）发生反射，反射点为固定端（如图）的表达式为y2 =_.设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波8 如图所示，一列平面波入射到两种介质的分界面上.t 时刻的波前波从 B 点传播到 C 点需用时间.已知波在AB 为介质 1 中的速度u1大于波在介质 2 中的速度u2试根据惠一介质J更斯原理定性地画岀t+.时刻波在介质 2 中的波前.eaAtdObfAO0.04 m，旋动方程为 x(t = 0)移为零、曲线上的 速度为C1、水面上浮沉的木块是在作简谐振动吗？如果是，其周期是多少

21、？假设木块的边长为 的高度为 h。2、质量为 m 的质点沿 y 轴运动，其振动方程为 y=0.06 cos( 5t )m。试求:2(1 )质点在起始位置时所受的力；(2)t -： s 时的位移、速度和加速度；(3 )质点运动到什么位置时，动能和势能相等？(4)质点从平衡位置移动到动能和势能相等位置处所需要的最短时间？13、一简谐波，振动周期Ts，波长 = 10 m，振幅 A = 0.1 m 当t = 0时，波源振动的位移恰好2为正方向的最大值若坐标原点和波源重合，且波沿 Ox 轴正方向传播，求：(1)此波的表达式；(2)t1= T /4时刻，X1= /4处质点的位移；(3)t2= T /2时刻

22、，X!=- /4处质点的振动速度.L，平衡时浸入水中3、4、如图，一平面波在介质中以波速 u = 20 m/s 沿 x 轴负方向传播，已知 A 点的振动方程为y = 3 10 _ cos 4 n(SI)(1)以 A 点为坐标原点写出波的表达式；(2)以距 A 点 5 m 处的 B 点为坐标原点，写出波的表达式.、填空题:T1 1 .1、；2、A二10 cm j.二rad s;=;2634、（略）； 5、x = Xt亠x2= 0.04 cos（二t _） （SI）2二、计算题：1、解：是；假设木块的边长为 L,平衡时浸入水中的高度为h,平衡时：mg = F浮=水gl2h2 2 2在任一位置时：、

23、F 二 mg -F 浮=水 gl h-:水 g(h x)l = -l 水 gx 令 K =l2亍水g则 v F = - Kx , K 是一个常数，表明木块所作的运动是简谐振动。令二心gl2/m,可得其振动周期为:2、解：与简谐振动方程的标准形式x = A cos（ ，t:）比较可知:振幅：A=0.40m角频率:丄，2兀2兀-0.70 (rad s )，故周期T8.97 (s)蛍0.7频率： 0.111 (HZ )2 :初位相：-0.30 (rad )3、解：二 m 7，dt可得木块运动的微分方程为:2dt2:7水gl x / m = 03、设简谐振动的表达式为：x =Acos（t ）角速度:A

24、、 由初始条件决定，再由2X。2+2皿2V。2(-0.82)12.22= 8.3810 - (m)v0- 0.82二 arctg (一)二 arctg () = arctg 1.34 = 0.93, -2.21 radx012 .2 x 0.05由于x0=Acos = 0.05 m . 0,故=0.93 rad于是，以平衡位置为原点所求简谐振动的表达式应为 -vm4、解：（1）取平衡位置为坐标原点。设位移表达式为:x = A cos(t_1其中 A=0.12m，- = 2二/ T二二S一，用矢量图来求初相 $。由初始条件，t=0 时 x0=0.06m=A/2，质点 向x 正向运动，可画出如图所

25、示的旋转矢 量的初始位置（图中略去了参考圆） ，从而得出。于是此简谐振动的运动方程为j=0.12cos（#-）（2）此简谐振动的速度为v -曲城皿+沪-0.12常sin（卅加速度为-tf) “C咖+0)= -02/r贓卅-；)3将 L工代入谐振方程、速度和加速度的表达式可分别得质点在t=0.5s 时的位移为x=0.104m速度为：_ ?：加速度为:-丄-：此时刻旋转矢量的位置如图（b）所示。At5、解：由旋转矢量法解。5、12(2 )由题意：E EPkx2选择题:填空题:= 1,2,3)； L 二(2K - 1) 2把合振动改写为JIx = 0.4 cos(，t _ )2t=0 时振动合成的矢

26、量图（如右上）。由于图中的直角三角形 OPQ 正好满足“勾三股四弦五” 的条件，于是可直接由勾股定理得到第二个分振动的振幅，即它的旋转矢量A2 的长度A2=0.5。亦可直接得到第二个分振动的初相位，即旋转矢量A2 与 x 轴的夹角j - -JJ- -J，：，故第二个分振动为E=EK+Ep6、解：（1）由机械能守恒定律：1 KA2得振幅为：A=2(EK0Ep)2(0.20.6)K25=0.253(m),Ep0EK00.2 0.625= 0.179(m)(3)当x二A/2势能EP时，A21K()2 21KA81(EK 0 Epo)41(0.2 - 0.6) = 0.2( J)4EK0EP 01、C

27、 2、 B 3、 B1、171.7102、2.4 m ；6.0 m / s5、I。24二r1002= 7.9610，(w m )4二10-2-2的振幅相等，故和振幅A=Q即在x0）护几2、解（1）由波形曲线图可看出，波的振幅A=0.02m波长入=2.0，故波的频率为1? 3.0 -402二，角频率为.-.1-。从图中还可以看出，t=0时原点处质点的位移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为-n /2，故原点的振动方程为册0,02叩極冷）(2)设x轴上任意一点的坐标为x,从该点到原点的波程为X,按相位落后与距离的关系，+伽)X处质点振动的时间比原点处质点超前I. 一一，故X轴上任意一点的振动方程

28、，即波动 方程为(3)经过 3T/4 后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移 3 入/4，也相当于向右平移入/4 ,(图略)3、解因波强_J，所以1_(21 1砧(e2忙英72x1伊伊= J.27xJ(7JJR% =(ii4= 2 x 500 xlOsxl.27 xlO5= Om/stfm= l=(27rx5DOxl03)zxl.27xl-J=l 25xlO8m/s24、解军：(1)在x0区间，如图所示，两个波源S和Sa发出的反行波相互干涉形成反行波，设考察点P的坐标为任意x,S和s到P点的波程差为hr= I)与x无关。按干涉 极值公式，在P点干涉的相位差是与P点的位置无关。则该区间的合振幅应

29、为极小值，即两列波振幅之差。由于两列波的振幅相等，故和振幅A=Q即在x5区间，如图所示，两波源发出的正行波干涉形成正行波，设考察点标为任意的x，S和S到Q点的波程差巾7广-5，干涉的相位差按干涉极值公式，该区间的合振幅为极大，即两列波振幅之和A=2a5、解:（1）A B 相遇以前，二车相向运动，B 中乘客听到汽笛的频率为u - u34015vsvs500 =555 (HZ )u Vs340 20（2）A、B 相遇之后，二车相背运动，B 中乘客听到 A 汽笛的频率为-u ur340-15）-vs500 =451 （HZ ）u _vs340 _（ 一 20 ）振动和波动自测题一、选择题：1、 D 2、B3、C4、B5、E;6、C7、C8、A9、C10、D二、 填空题1、二-二 /2i ?2、0.04 cos（ 4 71 -1二）23、 b，f ； a， e4、 3/4； 2 叱捕/g5、 波从坐标原点传至 x 处所需时间；x 处质点比原点处质点滞后的振动相位；t 时刻 x 处质点的振动位移6、 有二的相跃变，半波损失。Q的坐山0 = Ci_叭_2用t x ,2 Ltx丄2 L7、Acos 2二（-） （二-2二）或A cos 2二（