2021年中考数学复习专题练：《四边形综合》(含答案)

1、2021模拟年中考数学复习专题练：四边形综合1 .如图所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG ,BE .(1)发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图所示.线段DG与BE之间的数量关系是；直线DG与直线BE之间的位置关系是；(2 )探究：如图所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都 为矩形，且AD = 2AB , AG=2AE时，上述结论是否成立,并 说明理由.(3 )应用：在(2 )的情况下，连接BG、DE ,若AE = 1 , AB = 2 ,求BG2 + DE2的值(直接写出结果).2 .如图1 ,在正方形ABCD中，点E是CD上一点(不与C , D两点重合)，连接BE ,过点

2、C作CH±BE于点F ,交对角 线BD于点G ,交AD边于点H ,连接GE ,图1图2(1)求证:DHCCEB ;(2)如图2 ,若点E是CD的中点，当BE = 8时，求线段GH 的长；(3 )设正方形ABCD的面积为S1 ,四边形DEGH的面积为 S2 ,当器的值为时,永值为.3 .在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形，点。(0,0 ), 点A ( 6,0 ),点B ( 0,8 ) .以点A为中心，顺时针旋转矩 形AOBC ,得到矩形ADEF ,点。，B , C的对应点分别为D , E, F,记旋转角为a(00<a<90°).(I)如图，当a = 30。时

3、,求点D的坐标；(n )如图，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标; (HI )当点D落在线段OC上时，求点E的坐标(直接写出图图4 .如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE±AB于点E , 过点E的直线交BC于点G ,且BG=CG .(1)求证:GD = EG .(2 )若BD±EG垂足为00 = 2,00 = 4,画出图形并求 出四边形ABCD的面积.(3 )在(2 )的条件下,以O为旋转中心顺时针旋转aGDO , 得到GDP ,点G，落在BC上时,请直接写出G，E的长.5 .(1)【探索发现】如图1 ,在正方形ABCD中，点M , N分别是边BC , CD上

4、 的点,NMAN =45° ,若将DAN绕点A顺时针旋转90却上 BAG位置，可得MANg MAG ,若MCN的周长为8 ,则正 方形ABCD的边长为.(2 )【类比延伸】如图 2 ,在四边形 ABCD 中，AB = AD , ZBAD = 120。，/B+ ND = 180。，点M , N分别在边BC , CD上的点，zMAN = 60° ,请判断线段BM , DN , MN之间的数量关系,并说明理 由.(3 )【拓展应用】如图 3 ,在四边形 ABCD 中，AB = AD = 2 , ZADC = 120° , 点M ,N分别在边BC ,CD上，连接AM ,M

5、N ,AN ABM 是等边三角形，AM±AD于点A , ZDAN = 15° ,请直接写出6 .( 1 )如图1，在SBC中，AB> AC ,点D , E分别在边AB , AC上，且DEIIBC ,若AD = 2 , AE=擀，则詈的值是；(2 )如图2 ,在(1 )的条件下，将ADE绕点A逆时针方向 旋转一定的角度,连接CE和BD ,岩的值变化吗？若变化, 请说明理由；若不变化，请求出不变的值；(3 )如图3 ,在四边形ABCD中，AC±BC于点C , ZBAC = nADC = 0 ,且tanS，当 CD = 6 , AD = 3 时，请直接写出线段BD

6、的长度.AA图2图37 .如图 1，长方形 ABCD 中，/DAB=/B二NDCB = ND = 90° , AD = BC = 6 rAB = CD = 10 .点E为射线DC上的一个动点， 把ADE :日直线AE翻折彳导aAD'E.(1)当点落在AB边上时，NDAE = °(2)如图2,当E点与C点重合时，DC与AB交点F, 求证:AF = FC ;求AF长.(3 )连接D'B ,当nAD'B = 90。时，求DE的长.9/668 .在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，A(0,m),B(n,O)ZACIIOB，且AC = OB，连接BC交x轴于点

7、F,其中m、 n 满足方Vi+n2+8n +16 = 0 .(1)求A、B两点坐标；(2 )过A做AEJ_BC于E ,延长AE交x轴于点D ,动点P 从点B出发以每秒2个单位的速度向x轴正半轴方向运动，设 PFD的面积为S ,请用含t的式子表示S ,并直接写出t的取 值范围；(3 )在(2 )的条件下，连接PE ,将aPED沿PE翻折到 PEG 的位置(点D与点G对应)，当四边形PDEG为菱形时，求点9 .已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB > CE. (1)如图工，连接BG、DE.求证：BG=DE;(2 )如图2 ,如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好 使得 C

8、GIIBD , BG = BD .求NBDE的度数；若正方形ABCD的边长是施，请求出BCG的面积.10 .【综合与实践】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别 在射线CD、BC上，且BF=CE ,将线段FA绕点F顺时针旋 转90。得到线段FG，连接EG ,试探究线段EG和BF的数量 关系和位置关系.【观察与猜想】任务一：智慧小组首先考虑点E、F的特殊 位置如图，当点E与点D重合，点F与点C重合时,易知:EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是.【探究与证明】任务二博学小组同学认为E、F不一定必 须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、 BC边上任意位置时（如图）；一种是

9、点E、F在CD、BC边 的延长线上的任意位置时（如图），线段EG与BF的数量关 系与位置关系仍然成立.请你选择其中一种情况给出证明.【拓展与延伸】创新小组同学认为,若将正方形ABCD 改为矩形ABCD，且需二k （ y，点E、F分别在射线 CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90。, 并适当延长得到线段FG，连接EG （如图），则当线段BF、 CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与 位置关系仍然成立.（请你在横线上直接写出这个条件，无需 证明）11 .在平面直角坐标系xOy中,四边形OADC为正方形，点D 的坐标为（4,4 ）,动点E沿边AO从A向。以每秒1

10、cm的 速度运动，同时动点F沿边OC从。向C以同样的速度运动, 连接AF、DE交于点G.（1 ）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF,分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K ,则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图中补 全图形，并说明理由.(3 )如图当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任 意一点，点N是平面内任意一点,是否存在点N使以O , C、 M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出点N的 坐标；若不存在，请说明理由.图图12 .综合与实践动手操作：第一步：在矩形纸片ABCD的边BC , AD上分别取两点E , F , 使

11、CE二AF;第二步：分别以DE , BF为对称轴将aCDE与SBF翻折得到4 CDE与MBF ,且边CE与A'B交于点G ,边A'F与CD交 于一点H .问题解决：(1)求证：MEG空4DFIH ;(2 )请判断四边形A'HC'G的形状,并证明你发现的结论；(3 )已知 tanzEBG=1,A'G = 6 ,UG = 1 ,求矩形纸片 ABCD的面积.73 / 6613 .如图1 ,矩形ABCD中,ZACB = 30° ,将aACD绕C点顺 时针旋转a (0°<a< 360° )至AAyD'位置.(1)如

12、图 2，若 AB = 2 , a = 30° ,求 SaBCD'.(2 )如图3 ,取AA'中点。，连OB、OD; BD'.若/BD' 存在，试判定aOBD'的形状.(3 )当0( = 0(1 时，OB = OD 则al =。；当a = a2 时，OBD，14 .已知矩形ABCD中，AB = 2 , BC=m ,点E是边BC上一点，BE = B,连接AE.(1)沿AE翻折aABE使点B落在点F处，连接CF,若CFIIAE,求m的值；连接DF ,若jwDFs等,求m的取值范围.(2 ) ABE绕点A顺时针旋转得SBIEI，点E1落在边AD 上时旋

13、转停止.若点B1落在矩形对角线AC上，且点B1到 AD的距离小于|时，求m的取值范围.2.415 .如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上， 连接BE、DG .(1 ) BE和DG的数量关系是，BE和DG的位置关系是；(2 )把正方形ECGF绕点C旋转，如图2 , ( 1 )中的结论是 否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3股正方形ABCD的边长为4正方形ECGF的边长为36, 正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线,直 接写出DG的长.16 .如图，正方形ABCD的边长为a ,射线AM是/BAD外角 的平分线，点E在边AB上运动(不与点A、

14、B重合)，点F 在射线AM上，且AF = V2BE , CF与AD相交于点G ,连结 EC、EF、EG .(1)求证：CE = EF;(2 )求AEG的周长(用含a的代数式表示);(3 )试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，EAF的面 积最大.17 .问题情境：矩形ABCD中,ZACB = 30。，将一块直角三角 板的直角顶点P放在两对角线的交点处，以点P为旋转中心 转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所 在的直线相交，交点为E、F.探究1：如图1,当PEAB, PFJ_BC时，则詈二.探究2 :如图2 ,在（1 ）的基础上，将三角板绕点P逆时针 旋转，旋转角为a ,（）,

15、试求器的值.探究3 :在（2 ）的基础上继续旋转，当60。< a < 90。时,将 顶点P在AC上移动且使器时，如图3 ,试求器的值.18 .在 RfABC 中，NB = 90° , AB = 6 , BC = 8，点 D 从点 B 出发，以每秒3个单位的速度沿B-A-C运动,到点C停 止.在点D运动的过程中，过点D作DE±BCZ垂足为E , 以DE为一边在右侧作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF : DE = 4 :3，连结AG ,CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG与ABC重叠部分面积为S .(1)当AG二CG时，求t的值.(2 )当点D在边AB上运动

16、时，求S与t的函数关系式.(3 )当aACG的面积为6时，直接写出t的值.19 .如图，在U!边形 ABCD 中，AD II BC , NC = 90° , BC = 32 ,DC = 24 , AD = 42 ,动点P从点D出发,沿射线DA的方向 以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 CB上以每秒2个单位长的速度向点B运动，点P , Q分别从 点D , C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运 动.设运动的时间为t (秒).(1)设aBPQ的面积为S ,求S与t之间的函数关系式；(2 )当t为何值时，以B , P , Q三点为顶点的三角形是等腰 三角形？(3

17、)是否存在时刻t，使得PQ±BD ?若存在，求出t的值; 若不存在，请说明理由.pD20.（l）【发现证明】如图1 ,在正方形ABCD中，点E , F分别是BC , CD边上的 动点，且nEAF = 45。，求证：EF = DF+BE .小明发现，当把3BE绕点A顺时针旋转90。至3DG，使AB 与AD重合时能够证明，请你给出证明过程.（2 ）【类比引申】如图2 ,在正方形ABCD中，如果点E , F分别是CB , DC延长线上的动点，且/EAF = 45。，则（1） 中的结论还成立吗？请写出证明过程.如图3 ,如果点E , F分别是BC , CD延长线上的动点，且 ZEAF = 4

18、5。，则EF , BE , DF之间的数量关系是（不要求证明）（3 ）【联想拓展】如图1 ,若正方形ABCD的边长为6 , AE =3Vs ,求AF的长.F参考答案1 .解：（）如图中,四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,.AE = AG , AB 二 AD , zBAD = zEAG = 90。，.,.zBAE = zDAG ,在3BE和aDAG中，"AB 二 AD< /BAE=/DAG ,AE=AG.ABE*ADG ( SAS ) z/.BE = DG ;如图2 ,延长BE交AD于T,交DG于H.由知， ABE2 DAG ,.*.zABE = zADG , nATB+n

19、ABE = 90° , .NATB+nADG = 90。， .zATB = zDTH , .nDTH+nADG = 90。， .NDHB = 90。，.*.BE-LDG ,故答案为：BE = DG , BE±DG ;(2 )数量关系不成立,DG = 2BE ,位置关系成立.如图中，延长BE交AD于T,交DG于H .U!边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,.zBAD = zEAG ,.*.zBAE = zDAG ,vAD = 2AB , AG = 2AE ,.AB AE 1 -AD - AG - 2"，.ABEsaADG ,.*.zABE = zADG ,整二,L

20、JxJ 乙 .DG = 2BE , NATB+NABE = 90° , .NATB+nADG = 90。， .zATB = zDTH , .nDTH+nADG = 90。， .NDHB = 90。，.,.BE±DG ;(3 )如图中，作ET±AD于T , GH J_BA交BA的延长线于 H .设 ET二x, AT” .,GH AH AG 9 -ET - AT - AE - 2， .GH = 2x , AH = 2y ,.,.4x2+4y2 = 4 ,x2+y2 = 1 ,/.BG2 + DE2 = ( 2x ) 2+ ( 2y+2 ) 2+x2+ ( 4 - y

21、) 2 =5x2 + 5y2+20 = 25 .2 ,证明(1 ) 四边形ABCD是正方形, /.CD = BC , ZHDC = ZBCE = 90° , .NDHC+NDCH = 90。， vCH±BE , .nEFC = 90。， .nECF+nBEC = 90。, /.ZCHD = ZBEC , .DHC*CEB ( AAS ).(2)解：DHCaCEB, ,.CH = BE , DH = CE , .-CE = DE = |CD , CD = CB , .-.dh=4bc , 乙 .-DHIIBC , .DH JH 一交而至, ,.GC = 2GH , 设 GH=

22、x,则，则 CG = 2xz .*.3x = 8 , x 一旦 "一 3 BPGH=f .(3 )解：,.愕 V , DH 二 CE , DC 二 BC ,.DH_3.* *BC 7 'DHIIBC ,.DH JH J, ,bc 'cg"7，.SDGH = 9 SDGH = 3''2ABCG 49 2ADCG 7 '设 S9GH = 9a ,则 SBCG=49a , SDCG = 21a ,/.SBCD = 49a+21a = 70a ,/.Sl = 2SBCD = 140a ,-. SDEG : SKEG = 4 : 3 ,/.SD

23、EG = 12a ,.*.S2 = 12a+9a = 21a .Si 二 140a 二20, 可- 21a r ,故答案为：-v.3 ,解：(I)过点D作DG±x轴于G ,如图所示:.点 A(6,0),点 B(0,8).*.OA = 6 , OB = 8 ,以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC ,得到矩形ADEF ,.AD = AO = 6 z a = zOAD = 30° z DE = OB = 8 ,在 RtADG 中，DG=1AD = 3 , AG = VsDG = 36 , 乙.OG = OA - AG = 6 - 3V3 z.点D的坐标为(6-36,3);(n )

24、过点D作DG，x轴于G ,DH，AE于H ,如图所示:则GA = DH , HA = DG,vDE = OB = 8 , zADE = zAOB = 90。， *«AE =VaD2+DE2 = a/62+82= 10 ,.丹AExDHjADxDE , 乙乙 cADKDE 6X824/.OG = OA - GA = OA - DH = 6 告/，DG = Vad2-xg2 =M，点D的坐标为(得，学)；(m )连接AE ,作EG_Lx轴于G ,如图所示:由旋转的性质得：ZDAE = ZAOC, AD = AOZ.,.zOAC = zADO ,/.zDAE = zADO ,.,.AEll

25、OC ,.,.zGAE = zAOD ,.,.zDAE = zGAE ,"/AGE = NME=90°在3EG 和MED 中，/GAE二NDAE,AE 二 AE/.AEGAED ( AAS ),AG = AD = 6 , EG = ED = 8 z/.OG = OA+AG = 12 ,点E的坐标为(12,8).图4 证明：（1）如图1 ,延长EG交DC的延长线于点H ,H,四边形ABCD是平行四边形,/.AD = BC , ADIIBC , AB = CD , AB II CD ,/AB II CD ,NH = GEB ,且 BG 二 CG , ZBGE = zCGH ,.

26、CGH*BGE (AAS)/.GE = GH ,/DE±AB , DCIIAB ,DCJlDE ,且 GE=GH ,/.DG = EG = GH ;(2)如图 1 : vDB±EG ,.-.ZDOE = ZDEB = 90° z 且/EDB =/EDO ,.*.aDEOaDBO ,.DE e,DO "de/.DExDE = 4x (2+4) =24,.DE = 2通，.*.EO = VdE2-DO2 = V24-16 = 2V2 ,/AB II CD ,.EO J0_J_而而至'/.HO = 2EO = 42ZaEH = 6V2, 且 EG =

27、GH ,.EG = 3如，GO = EG - EO=V2Z.*.GB = Vgo2ob2- V2+4 = V6,.*.BC = 2V6 = AD ,.AD = DE ,.,点E与点A重合，如图2 :如图2U!vS边形 ABCD = 2SMBD.S 四边形 ABCD = 2x|xBDxAO = 6x272=1272 ;乙(3)如图3,过点。作ODBC,旋转aGDO ,得到GDP ,.OG = OG'，且 OF_LBC , GF=G'F , ,/OFIIAB ,.OG _ OF GF V2 1* *AG 一皿 GB - 3>/2 - 3，.GF.BG二苧，.GG'dG

28、F 二竿，J/.BG' = BG - GG'二券, vAB2 = AO2 + BO2 = 12 ,/EG'= AG'= VAB2-K；y B2= ,.5 ,解：(1)如图1中，,MAN9MAG , MN = GM , . DN = BG , GM = BG + BM , .MN 二 BM + DN ,CMN 的周长为：MN+CM + CN = 8 ,.BM+CM+CN + DN = 8 ,.,.BC+CD = 8 ,.BC = CD = 4 , 故答案为4;(2 )如图2中，结论：MN = NM + DN . 延长CB至E,使BE=DN ,连接AE, /ABC+

29、nD = 180。，zABC+zABE = 180° # .ND =/ABE ,在ABE 和3DN 中,< Nabe=Nd , BE 二 DN.ABE*ADN ( SAS ),AN = AE , /DAN =/BAE ,vzBAD = 2zMAN ,/.ZDAN+ZBAM = ZMAN ,.zMAN = zEAM ,"AN二AE在aMAN 和aMAE 中，/MAN二NMAE ,AM 二 AM.MAN*MAE(SAS), .MN = EM = BE+BM = BM + DN，即 MN 二 BM + DN ;(3 )如图3 ,延长BA , CD交于G ,nBAM = 60

30、° z zMAD 二 90。，/.zBAD = 150° z .NGAD = 3O。， ,AD = 2 ,.*.DG = 1 , AG = Vs ,vzDAN = 15° , .NGAN=45° ,.AG = GN=V3z.*.BG = 2+V3, .BC = 2BG = 4+26, CG=V3BG = 2Vs+3 , CD = CG - DG = 2Vs+2 ,由(2 )得，MN = BM + DN ,.CMN 的周长=CM+CN + MN = CN + DN+CM + BM = BC+CD = 4+2a/3+2V3+2 = 6+4 .DB M C图2

31、G B M C图16 ,解：(1 )DEIIBC ,.bd_ap_v_A., TE - AE - 3，故答案为:I;(2 )黑的值不变化，值为言;理由如下：由(1)得:DEIIB,.ADEsABC ,.AD _ AE一皿-AC，由旋转的性质得：/BAD二NCAE ,.ABDiACE ,.BD AD 4, TE - AE - 3，(3 )在AB上截取AM=AD = 3，过M作MN II BC交AC于N ,把AMN绕A逆时针旋转得aADE ,连接CE ,如图所示:图3则 MN±AC , DE = MN , zDAE = zBAC ,/.ZAED = ZANM = 9O° zAJ

32、BC 于点 C , ZBAC = ZADC = 0 ,且 tan。二反二乱BC : AC : AB = 3 : 4 : 5 ,同（2 ）得：aABDsACE ,.BD AB 5- -CE - AC，MNIIBC ,.AMNjABC ,.MN _ AM *BC - AB，/,MN = ABXAM =fx3='5,.,zBAC = zADC = 0 ,.*.zDAE = zADC = 0 ,.,.AEllCD , .NCDE+NAED = 180。， .NCDE = 90。，,°=历左=回中=中,.*.bd=1ce=|xQ.=-|to9 .44 D 47 ,解：(1 )由题意知A

33、DEaAD'E ,.ZDAE = ND'AE ,.D'点落在AB边上时，nDAE+nD'AE = 90° ,.ZDAE = ND'AE = 45。，故答案为：45 ;(2 )如图2 ,由题意知NACD = /ACD',.四边形ABCD是矩形,.,.ABIICD ,.,.zACD = zBAC ,NACD'= NBAC ,.AF = FC ;设 AF = FC=x,则 BF = 10x,在 RtBCF 中，由 BF2 + BC2 = CF2 得(10 - x ) 2 + 62 = x2 , 解得 x = 6.8 , BP AF =

34、 6.8 ;(3 )如图3 ,图3,/ADTADE ,.zAD'E = ND = 90。， .nAD'B = 90° , B、D; E三点共线，又ABD'iBEC , AD'二 BC ,.ABD0aBEC ,/.BE = AB = 10 ,=Vab2-ad7 2 = Vio2-62=8 ,DE 二 D'E = 10 -8 = 2 ;如图4 , nABD"+nCBE = nABD"+nBAD= 90。,.zCBE =/BAD",在aABD”和BEC 中，Nd" =zbce, AD“ =BC ,/BAD&qu

35、ot; =ZCBE.ABD&BEC ,/.BE = AB = 10 ,/.DE = DnE = 8+10 = 18 .综上所知，DE = 2或18.8 .解：(1 ) ,，Virr4+ (n+4：)2 =0,8irr4>O , ( n+4 ) 2>0).*.m -4 = 0, n+4 = 0 ,.,.m = 4 z n = - 4 ,.A (0,4), B ( -4,0);(2)vACHOB,.*.zC = zCBO , zCAF = zBOF ,1 . AC = OB ,2 .AC aOBF (ASA),.AF = OF = 2 ,*. OA = OB , zOAD =

36、zOBF z zBOF = zAOD ,/.BOFAOD ( ASA),/.OF = OD = 2 ,.*.BD = 6 ,当 0wt<3 时，S = 1PDeOF = 7(6-2t) x2 = 6-2t; 乙乙当 t>3 时,S = 1PD>OF = 1(2t-6) x2 = 2t-6;(3)当0wt<3,如图2,/AO = 4 , OD = 2 ,.,.AD=7oA2+OD2=2V5 ,t. BDxOA = ADxBE ,:BE号，DE二等，四边形PDEG为菱形，DP = DE = EG=¥P（2 誓，0）, 作 EHLBD 于 H , :BExDE二 B

37、DxEH , EH 等OH二客 .E （5,春），,/EG II OB , G与E的纵坐标相同， g（9等,卷）当t > 3时，如图3 ,同理求得P （ 2 +誓，0 ）, G （ 金等,V9.（工）证明：四边形ABCD和U!边形CEFG为正方形,BC = DC , CG 二 CE , ZBCD = ZGCE = 90° .,.zBCD+zDCG = zGCE+zDCG ,.,.zBCG = zDCE .rBC=DCBCG QDCE 中,' /BCG=/DCE ,CG=CE/.BCGDCE ( SAS ).BG二DE ;(2 )解：连接BE ,如图2所示:由(1)可知：

38、BG = DE,/CGIIBD ,/.zDCG = zBDC = 45° z/.ZBCG = zBCD+zDCG = 90°+45° = 135° ,-.-ZGCE = 9O° ,/.ZBCE = 360° - zBCG - zGCE = 360° - 135° - 90° = 135。,.nBCG 二/BCE ,BC=BCBCG 禾DaBCE 中,' /bcg=/bce ,CG=CE.BCG*BCE (SAS), BG=BE , BG=BD=DE , BD=BE = DE ,.BDE为等边三角形

39、，/.ZBDE = 6O° ;延长EC交BD于点H ,过点G作GN±BC于N ,如图3的：'BE 二 DE在aBCE DCE 中， bc=cd ,CE=CE.BCE*BCG (SSS),.*.zBEC = zDEC ,/.EH±BD , bh=|bd ,.tBC = CD = V2,.*.BD = V2BC = 2 ,/.BE = 2 , BH = 1 ,/.CH = 1 ,在 RtBHE 中,由勾股定理得：EH =Vbe2-bh2 = a/22-i2 = Vs,.*.CE = Vs - 1 , NBCG = 135° , .NGCN=45。，

40、.GCN是等腰直角三角形，.-.GN=CG=4(- 1)/.SBCG =1BC>GN =1xV2x ( V3 - 1 )二H10 .【观察与猜想】解:U!边形ABCD是正方形,ZB = zBCD = ZADC = 90° ZAB = BC = CD = AD z zACB = zACD = 45° z由旋转的性质得：GC = AC , NACG = 90° , .zACB = zGCD = 45° ,'BC 二DC在3BC 和GDC 中，ZACB=ZGCD ,AC=GC.ABCGDC ( SAS ) z.*.AB = GD , ZGDC =

41、 ZB = 9O° zDG II BC , CDG是等腰直角三角形,/.DG = CD = BC ,.点E与点D重合，点F与点C重合,EG = BF , EGIIBF ;故答案为：EG = BF, EGIIBF;【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置 时,如图所示： 作 GMLBC ,交 BC 延长线于 M，则/GMF = 90。，MGIIDC ,丁四边形ABCD是正方形,/.AB = BC , zBCD = zB = 90° , /.ZBAF+ZBFA = 9O° ,由旋转的性质得：GF = AF, ZAFG = 90°, .zBFA

42、+zMFG = 90° f /.zBAF = zMFG ,= NGMF=90°/h ABF 和FMG 中,'/brf=NhfgAF=GF/.ABFFMG ( AAS),AB = FM , BF = MG ,AB = BC , /.BF = CM , vBF = CE , /.MG = CE , vMGHCE z.四边形CEGM是平行四边形,yvzGMF = 90° ,边形CEGM是矩形,.EG = CM , EG II CM , /.EG = BF , EGIIBF ;点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图所示: 作 GMLBC ,交 BC 延

43、长线于 M，则/GMF = 90。，MGIIDC ,丁四边形ABCD是正方形,/.AB = BC , zBCD = zB = 90° , /.ZBAF+ZBFA = 9O° ,由旋转的性质得：GF = AF, ZAFG = 90°, .zBFA+zMFG = 90° f /.zBAF = zMFG ,= NGMF=90°/h ABF 和FMG 中,'/brf=NhfgAF=GF/.ABFFMG ( AAS),AB = FM , BF = MG ,AB = BC , /.BF = CM , vBF = CE , /.MG = CE , v

44、MGHCE z.四边形CEGM是平行四边形,yvzGMF = 90° ,边形CEGM是矩形,.EG = CM , EG II CM , .EG = BF , EGIIBF ;【拓展与延伸】解：黑二器二k ( k/1)时，线段EG与BF的 数量关系与位置关系仍然成立；理由如下： 作GM±BC ,交BC延长线于M z如图所示: 则NGMF = 90。，MG II DC ,丁四边形ABCD是正方形, AB = BC , ZBCD = ZB = 9O° , .zBAF+zBFA = 90° , zB = zGMF ,由旋转的性质得：/AFG = 90。， /.z

45、BFA+zMFG = 90° r /.zBAF = zMFG ,.ABFaFMG zF-M F-G B-c B E-GAJ-FAJ-B - - - M 1B-M F-E M Al-F B-CAI-F F AF二k , BF BF _ K，GM _ CE _ K ,-FG，/.BF = CM , vMGHCE z四边形CEGM是平行四边形, 又nGMF = 90° ,边形CEGM是矩形,.EG = CM , EG II CM ,/.EG = BF , EGIIBF ;k(k#l).11 .解：(1)AF=DE .理由如下: 丁四边形OADC是正方形,/.OA = AD , z

46、DAE = zAOF = 90° z由题意得：AE = OF z"0A 却在MOF 和DAE 中, ZA0F=ZDxE ,OF=AE/.AOFDAE ( SAS ), /.AF = DE .(2 )四边形HIJK是正方形.理由如下:如图所示：H、I、人K分别是AE、EF、FD、DA的中点，/.HI = KJ=1aF , HK = IJ=vED , HIIIAF z HKllED ,AF 二 DE ,aHI = KJ = HK = IJ ,Ui边形HIJK是菱形,AOF9DAE , /.zADE = zOAF ,/ADE+nAED = 90° ,/.zOAF+zAE

47、D = 90° , /.zAGE = 90° , /.AF±ED ,HIIIAF , HKllED ,/.HI±HK , /.zKHI = 90° z:四边形HIJK是正方形.(3 )存在，理由如下:丁四边形OADC为正方形，点D的坐标为(4,4),.-.OA = AD = OC = 4 , “(4,0),点E为AO的中点, /.OE = 2 , E ( 0,2 );分情况讨论：如图所示，当OC是以。，C、M、N为顶点的菱形的对角线时,OC 与MN互相垂直平分，则M为CE的中点，.点M的坐标为(2 , 1),.点M和N关于OC对称，N (2 ,

48、 - 1);当OC是以。，C、M、N为顶点的菱形的边时, 若M在y轴的左侧时， ,四边形OCMN，是菱形,/.OM' = OC = 4 , M'N'IIOC ,.M'FE"COE ,.犷 F OC 9* * EF - QE 一 /，设 EF 二 x ,则 M'F = 2x , OF = x+2 ,在RfOM'F中，由勾股定理得：（2x ） 2+ （ x+2 ） 2 = 42 , 解得：x = |，或x二2 （舍去），=FN=4 M'F = f/ OF = 2+| = /53.3（卷,号）；若M在y轴的右侧时，作N"P&

49、#177;OC于P ,ON”IICM”，.ZPON" = ZOCE ,.,.tanzPON" 二-"tan/OCE 二二看， 设 PN'y ,则 OP = 2y , 在RfOPN”中，由勾股定理得：y2+ （2y）2 = 42, 解得：y=等，,pn”=*op=手，W （誓，.等）； 综上所述，存在点N使以。，C、M、N为顶点的四边形是菱 形，点N的坐标为（2, -1）或（,，得）或（陪，-¥）12 .（1）证明:,四边形ABCD为矩形, BC = AD , CD 二 AB , NC = zABC = zA = zADC = 90。， CE 二

50、AF , BC CE = AD - AF ,即 BE = DF,"CD = AB在SCE 和 YAF 中，/c=4 , CE=AF.DCE*BAF(SAS),nCDE 二/ABF , zCED = zAFB ,由折叠的生质彳导：NCDE = NUDE , /ABF 二 nA'BF , zCED = nC'ED , /AFB = nA'FB ,nCDE+nUDE+nHDF = 90。，zABF+zABF+zGBE = 90° , ZCED+ZC,ED+ZGEB = 18O° zAFB+zATB+zHFD = 180° z /HDF

51、= nGBE , zGEB = zHFD ,r ZGBE=ZHDF在BEG ffiDFH 中，BE=DF,/GEB=/HFD.BEG9DFH ( ASA );(2 )解：四边形A'HC'G的形状是矩形；理由如下：由折叠的性质得：zC = nDC'E = zA = zBAT = 90° z由(1)得：BEG当DFH ,.zBGE = NDHF ,nBGE = nA'GC' , nDHF = nA'HC',.nA'GC' = nA'HC',nDC'E+nBA'F+nA'GC&#

52、39;+nA'HC'= 900+90°+nA'GC'+nA'HC' = 360° ,.NA'GC'+nA'HC' = 180。， .NA'GC' = nA'HC' = 90° , nDC'E = zBAT = nA'GC'= /A'HC'= 90° z四边形A'HCG是矩形;(3 )解：由(2 )知：ZBGE = NAGU = 90° ,Q,. tanzEBG = j,.设 EG = 3

53、x ,贝U BG=4x , BE = Veg2+bg2= 5x , 由折叠的性质得：CE = C,E = EG + C,G = 3x+l , CD = AB = A'B = BG+A'G = 4x+6 ,.*.BC = CE+BE = 3x+l + 5x = 8x+l ,S 矩形 ABCD = CD<BC = 4x1cD<E+2x|EG.BG - A'G> 乙乙C'G ,即(4x+6 )( 8x+l) =4x/ ( 3x+l)( 4x+6 ) +2舄3x4x - 乙乙6x1 ,整理得：x2 - 2x=0 ,解得:xl = 2 z x2 = 0

54、(不合题意舍去)，.CD = 4x2 + 6 = 14 , CB = 8x2 + 1 = 17 ,S 矩形 ABCD = CDBC = 14xl7 = 238 .13 .解：(1)作D1E±BC交BC的延长线于E ,如图2所示：则NE = 90° ,U!/.ZABC = 90° z ABIICD , ADllBC , CD = AB = 2 ,/.ZACD = ZBAC , ZDAC = ZACB = 3O° ,/ACB = 30。，.BC = VsAB = 2Vs , zACD = zBAC = 60。，由旋转的性质得:CD' = CD = 2

55、Z ZACA' = 30。,/.ZD'CE = 180° - 30° - 30° - 60° = 60° ,/.zCD'E = 30° ,.*.CE = 1CD' = 1 z D'E = V3CE = V3Z/.SBCD,=|bCxD'E = x2V3xV3=3 ;(2 ) aOBD'是直角三角形，理由如下:连接OC ,如图3所示:由旋转的性质得：CA' = CA , ZAD'C = ZADC = 90° z zD'A'C= ZDAC =

56、 3O° z.O是AA'的中点，/.OC±AA',.-.ZAOC = ZAOC = 90° = zABC = ZAD'C ,/.ZABC+ZAOC = 180° ,.A、B、C、O四点共圆，/.ZBOC = ZBAC = 60° r同理；A、D C、O四点共圆，.ZD,OC = ZD'A'C = 30° 1.NBOD' = 90。，.BOD'是直角三角形;(3 )若B、C、D，三点不共线，如图3所示:由(2 )得：zOBC = zOAC , zOD'C = zOA'C , zOAC = zOA'C ,/.ZOBC = ZOD'C ,.,OB = OD ,/.ZOBD' = ZOD'B ,.ZCBD'" nCD'B ,CB=CD', .CD' = CD , BC=CD,这与已知相矛盾， B、C、D'三点共线；分两种情况：当点6在BC的延长线上时,如图4所示：a = al = 90° ;当点6在边BC上时，