2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题04圆锥曲线与外心问题(通用版原卷版)

1、专题4、锥曲线与外心问题:从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥 曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。 因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学 解题能力，增强学生的信心，备战高考.三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点知识储备：（1）、。是A43C的外心=1 / 1=1 而 1=1芯1（或32 =OB =OC）x（2）、若点。是八48。的外心，则（ZS +无）而=（而+ 反）灰=（3+ 反）衣=0.（3）、若。是 A43C的外心，则

2、sin2A厉+sin2B丽+ sin2c反=6；（4）、多心组合：”3。的外心。、重心G、垂心”共线，即玄而经典例题2例L已知坐标平而X。），中，点A分别为双曲线C:y2 = l （。0）的左、右焦点，点M在双 cr曲线C的左支上，加心与双曲线C的一条渐近线交于点O,且。为M玛的中点，点/为公名的外心，若。、/、。三点共线，则双曲线C的离心率为（）A. yjlB. 3C. yf5D. 5例2.设尸（c,0）为双曲线七：二一二=1（。020）的右焦点，以尸为圆心，为半径的圆与双曲线在 cr bj第一象限的交点为。，线段FP的中点为0, 尸OF的外心为/,且满足。方=20/（2 W0）,则双曲线石

3、的离心率为（）A. 72B. /C. 2D. 6例3. （2020四川高三月考）已知点耳（一GO）,居（c,0）（c>0）是椭圆十二=1（。>>0）的左、右焦点， cr b-点P是这个椭圆上位于X轴上方的点,点、G是APGE的外心,若存在实数2，使得GR+GF2+ AGP = 6,则当户"鸟的而积为8时，的最小值为（）A. 4B. 4bC. 2瓜D. 4、/J + 22222例4.已知椭圆二十二=1和双曲线工一-匚 =1,其中0<?<12,若两者图像在第二象限的交点为上16 m4 12-？椭圆的左右焦点分别为3、C, T为A/C的外心，则看.能的值为.2

4、2例5.已知点斗 鸟分别为双曲线C：=一;= l（a>0,Z?>0）的左、右焦点，点X, 8在。的右支上，且点F?恰好为1A3的外心，若（西+丽）.丽=0,则。的离心率为.x v例6. （2020.广东省高三期末）已知椭圆一+2_ = 1的下顶点为A,若直线X = ） + 4与椭圆交于不同的16 4两点A/、N,则当/=时，AAMV外心的横坐标最大.例7. （2019年成都七中半期16题）K，5分别为双曲线)2匚21a2 b2（“4>0）的左、右焦点，点夕在双曲线上，满足尸耳尸6=0,若鸟的内切圆半径与外接圆半径之比为?，则该双曲线的离心率为.例8. （2018全国高中数学联

5、赛（湖北预赛）已知点P在离心率为 的双曲线a=1（" > 0力> 0）上,白、鸟为双曲线的两个焦点，且y2=0,则APG用的内切圆半径r与外接圆半径火之比为一.例9. （2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆二十二=1的左、右焦点分别为E，F）,过居的直 43线/交椭圆。于两点，过乂作x轴的垂线交椭圆C与另一点0 （。不与A8重合）.设MB。的外心、 明 为G，则二匚j的值为GF2 22例10 （2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设尸（c,0）为双曲线石：二一二=1（>0力>0）的右焦点， a b以p为圆心，Z;为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P

6、,线段EP的中点为。，APOF的外心为/,且满足。力=则双曲线石的离心率为（）A,霹BC. 2D. y/5例11.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面X。），中，点”，尺分别为双曲线C :二一），2 = 1 （ > 0 ） cr的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线。的一条渐近线交于点。，且。为加工的中点,点/为0时鸟的外心，若。、J、。三点共线，则双曲线。的离心率为（）A.鼻B. 3C. 75D. 5例12. （2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线y2 = 4x交于A, 8两点，若AOAB的外心为M（。为坐标原点），则当课后训练:1 . (2

7、020 四川棠湖中学高三(理)已知点邛-gO),居(*0)(c>0)是椭圆二+ = = l(a>/7>0)的左、 a- b-右焦点，点P是这个椭圆上位于工轴上方的点，点G是鸟的外心，若存在实数4,使得G6+G£ + /lGP = 0,则当尸斗鸟的面积为8时，的最小值为.2 .已知点A(2,0), B、C在)，轴上，且忸Cj=4,则AABC外心的轨迹S的方程：3 .在平而直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为+ /=1,设经过点尸(2,0)的直线/交椭圆。于A，2B两点,点。(m,0).设点尸为椭圆C的左焦点，若点。为的外心，则实数?的值.4 .设点M、N分别是不等边

8、aABC的重心与外心，己知40, 1)、8(0,-1),且砺 =7通.则动点C的轨迹E；5 . (2019广西高三期末(理)在直角坐标系xOy中直线y = x + 4与抛物线C： / =外 交于a, B两点.若D为直线y = x + 4外一点，且aABD的外心M在C上，则M的坐标为 .26 .如图，椭圆g：1+)'2=i，抛物线C：F=2py(p>0),设G，a相交于工8两点，O为坐标原点.4若的外心在椭圆上，则实数P的值7 .（2020福建高三月考（理）设椭圆C：二+t=1的右焦点为尸，过尸的直线/与C相交于4,8两点. 43AB设过点A作，轴的垂线交C于另一点P,若M是尸”的

9、外心，则高的值为13、8 .在平面直角坐标系xQv中，已知圆。：/+）2=/“>0）,点M 一不，一 5，N（l, 3）,点A在 乙 乙）圆。：V + y2=5上，直线X = 2与圆。交于E,/两点（E点在X轴上方），点尸是抛物线）3=2x上的动点，点。为尸的外心，则线段。长度的最大值为,当线段。长 度最大时，则尸石户外接圆的标准方程为.9 .。为双曲线。：*一£ = 1（见>0）上一点，耳熊分别为。的左、右焦点，尸尸?_L"鸟，若APfM外接圆半径与其内切圆半径之比为*,则C的离心率为（）2A. V2B. 2C.或或D. 2 或 310 . （2018上海市高

10、三模拟）已知椭圆二十二=1和双曲线二一二- = 1,其中0（用<12,若两者图像在 16 m412-/7/第二象限的交点为椭圆的左右焦点分别为从C, T为5c的外心，则的值为11 .夕为双曲线C：r 一瓦=1（>0力>0）右支上的一点，鸟，工分别为左、右焦点，尸乙，"鸟，若 AP£E的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线C的离心率为（）A. 3->/2B. 4-6C. 3 + &或3-应D. 4+/或4一石2212. （2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点”（一。,0）,居（c,0）（c>0）是椭圆二+=1（“>匕>

11、;0） a- b-的左、右焦点，点夕是这个椭圆上位于“轴上方的点，点G是AP"5的外心，若存在实数丸，使得 g£+gE+/gp=o,则当尸百鸟的面积为8时，。的最小值为.Y V*一1 13. Fi,产2分别为双曲线r r = l "，A0）的左、右焦点，点尸在双曲线上，满足P/PE=O,若 cr lr尸尸1尸2的内切圆半径与外接圆半径之比为！，则该双曲线的离心率为314 .数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的 距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线.已知A48C的顶点4（2,0）,3（0,4）, 若其欧拉线方程为x y+ 2 = 0,则顶点。的坐标是 .15 .已知