2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案

1、第I卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .若复数A6分人凡，是虚数单位）是纯虚数，则复数工是（）2 .一质点做直线运动,由始点经过，后的距离为尸产+32,则速度为。的时刻是（）A . ，=4sB . ，=8sC f = 4s与，=8sD ，= 0s与r = 4s3 .函数小)=2/-3/+的极大值为6 ,那么。的值是()A . 5B . 0C. 6 D . I4 .直线k是曲线y=+inx的一条切线，则实数。的值为A . -1 B . eC . ln2D . 15 .由直线I/ = 2 ,曲线.一汲魂

2、所围图形的面积为()71A . 3B . 7C .。；JJ6 .设为正整数，/() = 1+J + : + - + L经计算得/(2) = ；,4)>2,/(8)今 乙 J/1乙乙/(16)>3,/(32)>| ,观察上述结果，可推测出一般结论()A /(2)> ”B ./(2后- C. "2") > 厚 D. 2") > F乙乙乙乙7 .用数学归纳法证明 "(n +1)(zz + 2) - - (n + n) = 2n - 1 - 2(2-1)( n e N+ )时，从n =攵至 = k + " 时，左边应

3、增添的式子是()A.2A + 1B.2(2A + 1)C 甘D.昔k+k+8 .函数/。)= 3 +只办的单调递减区间是()A . d，e)B . (0-)C . (8,3d .(L+s) eeee9 .设广是函数/的导函数，尸尸的图象如图所示，则=/的6/1010 .已知数列而满足一。，%=君弓(6),则/=()A . 0 B . GC / D g211 .已知函数,贝卜(弓)、/、/(令的大小关系1J()A .B . /(-7)>/(1)>/()3443C . 7(1) > /(V)> /(-j) D . <) > / > /(-f)12 .已知定

4、义在R上的奇函数/，设其导函数为/'(X),当代(-8刈 时，恒有十(x)/(t),令/*) = 4"),则满足尸(3)"(2'-1)的实数X 的取值范围是()D . (-2,1)(1A . (T2) B .七 Z第口卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4题，每小题5分，共20分)13 .若" +为=/，其中。、丘R , i是虚数单位，则 +)= .14 . J： J - dx - J； cos xdx = ,15 .对于函数 f(x) = (2x-x2)ex(1 )(-五.是/的单调递减区间；(2 ) /(-向是/“)的极小值，/(是/*)

5、的极大值；(3 ) /有最大值，没有最小值；(4 ) /没有最大值，也没有最小值.其中判断正确的是.16 ,函数/“)= ln(x +1)一仆在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围 是.三、解答题(17题10分，1822题每题12分)17 已知复数(2 +源-鲁-2(1).当实数?取什么值时，复数z是: (1)虚数；(2 )纯虚数；(3 )复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.18 .已知函数/（*）= 3x3-9x + 5.（I ）求函数/*）的单调递增区间；（n ）求国数/在2,2上的最大值和最小值.19 .设x）= alnx+； + +l,其中aeR,曲线片/在点（"

6、;（D）处的切 线垂直于y轴.（D求。的值；（口）求函数/*）的极值.20 .数列也中,卬=1 ,=悬（'）.（I ）求,，%，%的值；（n）归纳口的通项公式，并用数学归纳法证明.21 .把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正形评 形容器（不计接缝），设容器的高为x ,容积为小）/（I ）写出函数”）的解析式，并求出函数的M安域；立（口）求当X为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.22 .已知函数（I ）求八用的最小值；（n）若对所有g者隋,求实数。的取值范围.参考答案一、选择题1-5CCCDC 6-10DBBCB 11 B12

7、A二、填空题 13.-114,15. (2) 16.(一43三、解答题17.(1)； (2)"? = -，； (3)加=0或加=2. 2解析：Z = 2m2 -36-2 + (，-3? + 2)，(1) Z为虚数，则nr - 3"? + 2Ho ,贝(J W 1 , ，工 2 .(2 ) z为纯虚数，则产:32 = 0 ,贝h=. nr - 3? + 2 002(3 ) 2m2 - 3m - 2 + (;?z2 - 3m + 2)= 0 ,贝！Jm = 0 或m=218.(本小题共12分)解：/'(a) = 9x2-92分令9小-904分解此不等式,得x<-l

8、或¥>1.因此，函数/的单调增区间为（一8.一1）和（1,内）.6分（2） 令9x2-9 = 0, 得a = 1或x=-.8 分当X变化时，/，/（幻变化状态如下表：2(-2,-1)1（一J)(1、2).4/'(X）/ +(-4/(r)1?14*1?110分从表中可以看出，当2期=1时，函数/取得最小值-L当x = -l昵=2时，函数/（x）取得最大值11.12 分19解:因/（刀）=41g+；+，+1,故/”）=巴-上+。2x 2x 2 厂 2由于曲线），=）在点（"）处的切线垂直于）,轴,故该切线斜率 为0,即/（1）=0,从而。-：+：=°，解

9、得”=-12 2(2)由(1)知/(、) = I”1 (x > 0),X 113 3/-21J(')=-K+5=F-,r(v) = (3.v+l)(A-l)2.x令r（x）=o,解得玉=1,±=-!（因=-!不在定义域内，舍去）,当问0,1）时,，（x） vo,故/（%）在（0,1）上为减函数;当工1-）时,广（力0,故/（X）在（1*）上为增函数;故/（“在X = 1处取得极小值1） = 3.20 .解：(I )计算得 a2 =|, 6/3 =1=|, a4 =|.（口）根据计算结果，可以归纳出，白当=1时，广11rL与已知相符，归纳出的公式成立.假设当=攵（丘N“）

10、时，公式成立，即/27+T2. 2那么 _ 2/ _ k + 1 _ 4 _2那Zx 川- - 2-2攵+4一(k + 1) + 1所以，当=八1时公式也成立.综上， = 2对于任何"Z都 H + 成立.21 .解:（I ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为（4-2底） 1分.贝心（幻=冬一2瓜）”. 3分函数的定义域为（。巨0.4分O（n）实际问题归结为求函数心）在区间。g-上的最大值点. 6先求心）的极值点.在 开 区 间 （。，右） 内 ，V ,（X）= 9斤 一 6” +与26 分4令修“）=o ,即令975A二-6"+史=0 /解得$ =上&quo

11、t;占=走。（舍去）* 418-6因为寸S在区间（0.g4）内 可能是极值点.当。C"时， 186V,（x）>0 ；当X < X < a时,V ,（x） < 0.68分因此*是极大值点，且在区间（。淳“）内，玉是唯一的极值点, O所以,=3是小）的最大值点，并且最大值 1 o1 o34即当正三棱柱形容器高为噂”时，容器的容积最大为1九 185410分22.（1 ）解：/的定义域为9, +8）,/（X）的导数 f'（x） = + nx.令/'（外>0 ,解得X/；令/'（x）v0 /解得0<x<L ee从而了在（。口单调递减，在+s）单调递增.所以，当“1时,小）取得最小值.ee10/10(II )依题意,得/(x)Nal在l，+ 8)上恒成立