微积分(导数与微分2)ppt课件

1、第三章第三章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则第三节第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则反函数的导数、复合函数的求导法则第四节第四节 高阶导数高阶导数第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数隐函数、参数方程确定的函数的导数第六节第六节 函数的微分函数的微分第七节第七节 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 1;.2第一节第一节 导数的概念导数的概念一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、由定义求导数三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理

2、意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系3一、问题的提出一、问题的提出1.1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求 t,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt 第一节第一节 导数的概念导数的概念4oxy)(xfy CT 0 xxNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限旋转而趋向极限位置位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切

3、线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第一节第一节 导数的概念导数的概念5二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记记为为处处的的导导数数在在点点数数并并称称这这个个极极限限为为函函处处可可导导在在点点

4、则则称称函函数数时时的的极极限限存存在在之之比比当当与与如如果果得得增增量量取取相相应应地地函函数数时时仍仍在在该该邻邻域域内内点点处处取取得得增增量量在在当当自自变变量量有有定定义义的的某某个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数定义定义第一节第一节 导数的概念导数的概念6.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000,)()(000 xxxxdxxdfdxdyxf 或或或或即即第一节第一节 导数的概念导数的概念7.)(,0000快快慢慢程程度度自自变变量量的的变变化

5、化而而变变化化的的率率，它它反反映映了了因因变变量量随随处处的的变变化化因因变变量量在在则则是是而而的的平平均均变变化化率率为为端端点点的的区区间间上上和和因因变变量量在在以以xxfxxxxy .)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：第一节第一节 导数的概念导数的概念8.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一

6、xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或第一节第一节 导数的概念导数的概念9步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第一节第一节 导数的概念导数的概念10例例2 2.)(的导数的导数求函数求函数 Nnxyn解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nn

7、x.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第一节第一节 导数的概念导数的概念11例例3 3.)(sin)(sin,sin)(3 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh xcos xcos)x(sin 即即33cos)(sin xxxx21 第一节第一节 导数的概念导数的概念12例例4 4.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 alnax a

8、lna)a(xx 即即xxe)e ( 第一节第一节 导数的概念导数的概念13例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 第一节第一节 导数的概念导数的概念142.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函

9、函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.第一节第一节 导数的概念导数的概念15第一节第一节 导数的概念导数的概念例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyoxxlimx)0( f)x0( flim0 x0 x , 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy. 1 xxlimx)0( f)x0( flim0 x0 x 如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间

10、 ba,上上可可导导.16第一节第一节 导数的概念导数的概念)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 存在且不等于零时，存在且不等于零时，当当)()1(0 xf 17第一节第一节 导数的概念导数的概念切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为0yy 0 xx 时时，当当0)()2(0 xf时时，当当 )()3(0 xf切线方程为切线方程为0

11、 xx 法线方程为法线方程为0yy 18例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解根据导数的几何意义知根据导数的几何意义知, 所求切线的斜率为所求切线的斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即第一节第一节 导数的概念导数的概念19第一节第一节 导数的概念导数的概念四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系即即可导

12、可导在点在点设函数设函数,)(0 xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 必必连连续续。点点在在则则函函数数可可导导在在点点即即函函数数00)(,)(xxfxxf20 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例如例如,|,|)(xxf .0处连续，但不可导处连续，但不可导在在 xxyxy 0 xy 第一节第一节 导数的概念导数的概念21第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则一、和、差、

13、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式22一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、

14、差、积、商的求导法则23证证(3)(3)hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. . )()(xvxu第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则24hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导

15、法则25第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 26第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x

16、x22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得27例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则28第三节第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则反函数的

17、导数、复合函数的求导法则一、反函数的导数一、反函数的导数二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则29第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则.1)(1 )(,),(|)(,0)()(11dydxdxdyyfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 或或且有且有内也可导内也可导在区间在区间那么它的反函数那么它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.30第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数

18、的求导法则求导法则证证内内单单调调、连连续续。且且在在区区间间存存在在由由已已知知条条件件可可得得x1I)x(fy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(1连连续续xf ),0(0 xy0)( yf又又知知xyxfx 01lim )(yxy 1lim0)(1y .)(1 )(1yfxf 即即,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给), 0(xIxxx 31第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则例例7 7.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)

19、1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc32例例8 8.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则33二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理dxdududydx

20、dyxgufdxdyxxgfyxguufyxxgu 或或且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数)()(,)(,)()(,)(即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自变量求乘以中间变量对自变量求导导.(.(链式法则链式法则) )第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则34证证,)(可可导导在在点点uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(则则xyx 0lim)(lim0

21、xuxuufx xuxuufxxx 000limlimlim)()()(xguf 第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则35第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 36第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法

22、则例例1010.)1(sin102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1(sin)1(sin10292 xxdxdyxxx2cos)1(sin10292 .cos)1(sin20292xxx 例例1111.)(arcsin2122的导数的导数求函数求函数xaaxxy 解解)()arcsin21(22 xaaxxy2222212arcsin21xaxxaxax .arcsin21ax )0( a37第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则例例1212.)2(21sinln32的的导导数数求求函函数数 xxxxy解解),2ln(31)1ln(sin212 xx

23、xy)2(311sin122cos2122 xxxxxxy例例1313.3cos1sin的导数的导数求函数求函数 xey解解)3(cos)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx )2(311sin1cos121222 xxxxxxx38第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式axeeaaanxxxxcxaxxxxnnln1)(log.6)(.5ln).(4).(3).(2,0).111 （22211).(arcsin14).(13sec).(sec12)

24、.(11sec).(10sin).(cos9cos).(sin81).(ln7xxcsexctgxcsexxtgxxxcsectgxxtgxxxxxxx 39第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则xxxxxarcctgxxarctgxxx21)(.191)1.(1811)(.1711).(16.11).(arccos152222 40第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则: :41第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定

25、义引例引例 变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(atfs求求加加速速度度，其其位位移移函函数数为为一一物物体体做做变变速速直直线线运运动动设设 )()(,),(tftvtfs 瞬瞬时时速速度度由由导导数数的的物物理理意意义义知知位位移移函函数数为为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 42记作记作.)(,),(2222dxxf

26、ddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf第四节第四节 高阶导数高阶导数43二、高阶导数求法举例二、高阶导数求

27、法举例例例1 1).0(),0(,11)(2ffxxf 求求设设解解)11()(2 xxf22)1(2xx )1(2()(22 xxxf322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 第四节第四节 高阶导数高阶导数44例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x32)2)(1()1( xxy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 第四节第四节 高阶导数高阶导数45例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设

28、 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn第四节第四节 高阶导数高阶导数46例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得第四节第四节 高阶导数高阶导数47则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1

29、()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则:第四节第四节 高阶导数高阶导数48例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第四节第四节 高阶导数高阶导数49第五节第五节 隐函数

30、、参数方程确定的函数的导数隐函数、参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数50一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数51第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,

31、求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 52第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例2 2.)323, 2(, 191622处的切线方程处的切线方程在点在点求椭圆求椭圆 yx解解,求求导导方方程程两两边边对对 x0928 yyx43169)323,2()323,2( yxy所求切线方程为所求切线方程为)2(43323 xy. 03843 yx即即53第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数

32、的导数例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy54第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导

33、方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu55第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 56第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例4 4解解242)1(3111

34、)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy2)4ln(2)1ln(31)1ln(ln 求导得求导得上式两边对上式两边对 x242)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(223yexxxyx 求求设设57例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数58第五节第五节 隐函数、参

35、数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可导导设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即59,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()

36、()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数60例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数61.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参

37、数方程确定的函数的导数的导数62例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt63)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴

38、方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 64例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 65第六节第六节

39、函数的微分函数的微分一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用六、小结六、小结66一、微分的定义一、微分的定义实例实例: :正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽

40、略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(20 xA 0 x0 xx x 2)( x xx 0 xx 0第六节第六节 函数的微分函数的微分67定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量

41、量微微分分ydy 第六节第六节 函数的微分函数的微分68).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数第六节第六节 函数的微分函数的微分69(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0

42、 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数第六节第六节 函数的微分函数的微分70例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫

43、叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy第六节第六节 函数的微分函数的微分71第六节第六节 函数的微分函数的微分二、微分的几何意义二、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对对应应的的增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标坐坐标标增增量量时时是是曲曲线线的的纵纵当当dyy .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 )(xfy 0 xMNTdy)( xo ）xyo x xx0 P Q00)(tanxxdyxfxMQQP 72三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

44、三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 第六节第六节 函数的微分函数的微分733. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则dxxgxgfdxxgufdxydyx)()()()( 第六节第六节 函数的微分函数的微分74例例2 2解解.),ln(sin2dyexyx求求设设 ,sin2cos22xxexx