高等数学上总结

1、 大学课程教学总结课程名称：高等数学（Advanced Mathematics）教学单位： 课程代码：微积分学（上）-概括与总结第一、 二章 函数的极限与连续一、函数1、理解函数的概念(要求：会求定义域、对应法则、函数值)-函数的定义、分段函数、显函数：，隐函数：，参数式函数、反函数（求法）、复合函数、 基本初等函数与初等函数 2、掌握函数的几何性质1）有界性：（利用-定义、或闭区间上连续的有界性、或存在极限必有界-判别）2）奇偶性： 若，则为奇函数 若， 则为偶函数（注意：奇偶的结合律） 单调增：3）单调性： 单调减：（注意利用-若则在上为单调增加（减少）4）周期性：若，则称最小正数为的周期

2、，为周期函数。 二、 极限（重点-极限、无穷大量与无穷小量的概念、求极限的方法）1、 极限的概念与性质1) 函数与数列极限的定义 （略）2）左右极限、极限存在的充要条件即-极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。3）极限的性质-有界性、唯一性、保号性。2、无穷大量与无穷小量1) 定义： 若时，f(x)为无穷小量若，则称，时，g（x）是无穷大量。2) 无穷大与无穷小的关系：3）、极限与无穷小量的关系： 无穷小量的性质-主要的：4）无穷小的阶的比较定义：设是同一种变化趋势下的无穷小,即则：（1）如果,就说是比高阶的无穷小,记作；（2）如果,就说是比低阶的无穷小；（3）如果,就说与是同阶无穷小；（4

3、）如果,就说是关于的阶无穷小；（5）如果,就说与是等价无穷小,记作.常见的等阶无穷小：时，sinxx, ln(1+x)x, ，。3、求极限的主要方法1） 极限运算法则2） 左右极限存在且相等3） 极限存在的准则（两边夹Th.（准则）、单调有界 Th. （准则）4） 无穷大与无穷小的关系、无穷小量的性质5） 两个重要极限 （ 、）6） 洛必塔法则 （） = =A(或)。三、 连续1、函数连续的概念1）函数y=f（x）在点连续的定义（设y=f(x)在点的某个邻域内有定义）若则称f(x)在点连续，称为连续点。2） 连续函数的定义-若f(x)在(a,b)上点点都连续，则称f（x）是（a，b）上的连续函

4、数。(a,b)称为f(x)的连续区间。若f(x)在上连续，则还要求：3） 间断点的分类第一类间断点（左、右极限存在的间断点）第二类间断点（左、右极限至少一个不存在的间断点）2、连续函数的主要性质1）一切初等函数在其定义域对应的区间内连续2）连续与极限的关系：连续极限存在3）闭区间上连续函数的性质若 在 上连续，则（1）、一定有界： （有界性Th.）。 （2）、一定存在最大值和最小值 （最大和最小值Th.）。 （3）、对于任一个：，存在使（介值Th.）。（4）、如果=0 （零点Th.）。第三章 导数与微分一、导数与微分的概念1、 导数定义1) 2）导数定义的几种等价形式：3）导数存在的充要条件是

5、：左、右导数存在且相等，即（左导数）（右导数）2、 导数的几何意义=曲线在点处的切线的斜率因此, 曲线在点的切线方程为：法线方程为：3、 微分的定义增量 微分 dy= =4、 连续、导数与微分的关系：可导可微 二、导数与微分基本公式）（导数） （微分）三、导数与微分法则1、四则运算法则设均可导、可微，则也可导、可微且 2、复合函数的微分法则（导数）若y=f(u),u=均可导，则或 (微分)微分形式不变性：3、隐函数的求导方法方法一：复合求导法-方程两边对x求导，再解出方法二：微分法求导法-方程两边微分先出微分，再求导数4、 对数求导法-先取对数后求导的方法5、高阶求导法-一阶、一阶地求导，再找

6、规律6、参数方程确定的函数y=f(x)求导法- 第四章 微分中值定理与导数应用一、 微分中值定理-费马Th.、罗尔Th.、拉格朗日Th.、柯西Th.、泰勒Th.1、若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则2、 2个推论3、 泰勒Th.若在含有的某个区间内存在直到阶导数，则对该区间内任意点都有：其中：，（在与之间的数）称为拉格朗日型余项，且当时，泰勒公式称为麦克劳林公式： ,二、洛必塔法则（） = =A(或)。 （其他未定型极限要先化为后才用该法则）三、函数单调性曲线的凹凸性及拐点的判别方法1、 （）函数为单调增加的（减少的）2、 >0 (<0) ，曲线曲线在上为凹（凸）的；

7、3、 若=0，且点左、右边二阶导数变号，则为曲线的拐点。四、函数的极值与最大、最小值及其求法1、可微的在点取得极值的必要条件为：2、极值的判别方法：1）若 （或点左边，右边） 2）若 （或点左边,右边） 3、函数的最大、最小值求法-求出驻点，奇异点和区间端点的函数值加以比较，最大（小）者为最大（小）值若在内有唯一驻点，且是极大值（极小值），那么一定是在上的最大值（最小值），这时在上的最小值（最大值）一定是和的最小者（最大者）.五、求渐近线的方法1、 若 2、 若 3、若作图(略)六 导数与微分在经济中的简单应用1、经济学中常用的函数（1）需求函数 （单调减函数）（2）供给函数（单调增函数）（3

8、）成本函数总成本函数 或 其中为单位可变成本（如需用的劳力、原材料等），为固定成本 总成本函数除以产量称为平均成本函数.记为 .（4）收益函数 .其中为单价，为产品销量.（5）利润函数 总利润函数为总收入减去总成本，即平均利润函数为2 、边际函数与边际分析一个函数的导数在经济上称为边际函数。一般上，函数的导数在经济上称为边际。例如总成本（收益、利润）函数的导数在经济上称为边际成本（收益、利润），利用导数分析解决经济上的问题，称为边际分析。最大利润的原则是： 必要条件：充分条件：3、弹性函数与弹性分析 在经济上，把某一个经济变量对另一个经济变量变化的反映程度称为弹性(或弹性系数)。例如，商品的需

9、求量（商品的供给量）对价格变化的反映程度称为需求的价格弹性(供给的价格弹性)，简称需求弹性（供给弹性）。且在经济上， 弹性函数=。 设某商品的需求函数为，则该商品的需求弹性定义为 。当价格上升（下降）百分之一时，需求量减少（增加）百分之。在经济中，一般上当第五章 不 定 积 分一、不定积分的概念与性质1、概念：若F(x)=f(x),，则称F(x)是f(x) （）的一个原函数. F（x）+c称为f(x) 的不定积分，记为，即， 2、不定积分的性质1）积分与微分的关系：2) 积分的运算性质：3) 积分的形式与积分变量选择无关若=F(x)+c则。二、积分基本公式1、 2、3、 4、 5、 6、7、

10、8、9、 10、11、 12、 13、（或）14、15、 16、17、 18、19、 20、21、 等。三、掌握主要的积分方法与技巧1、第一换元积分法（凑微分法）若,可微则 （对比积分公式-）2、 第二换元积分法（变量代换法） （对x 难积分）（） （变形后对t易积分）一般上，若f(x)含有因子：1）2）积分3）. 4）.积分3、分部积分法（或部分积分法）4、有理函数、三角函数有理式的积分法（用综合除法、 （ 设待定系数法） 或 等）第六章 定 积 分一、定积分的概念与性质1、定积分的概念=积分变量选择无关，即。定积分的几何意义-曲边梯形的面积S2、 定积分的性质1）、2）、（规定）3）、4）

11、、5）、6）、=7）、若f(x)g(x),xa,b，则8）、（积分估值Th.）9）、（积分中值Th.）若f(x)在a,b上连续，则在（a,b）内至少存在一点c，使得10）、（奇偶性）二、可变上、下限积分及其求导Th1 2 3 4=5三、牛顿-莱布尼兹公式Newton-Leibniz公式：若在a,b上连续.且，则四、定积分的换元积分法与分部积分法 1、第一 换元积分法设则有2、第二 换元积分法（变量代换法） （对x难积分） （换元的同时要换限，且换元方法与不定积分的换元法类同）。3、分部积分法给出五、广义积分法（反常积分法）-变上、下限积分的极限法 （x=b为瑕点）。六、定积分在几何学上的应用1、面积公式 2、 旋转体的体积公式七、定积分在经济上的应用1、 由边际函数求原函数