项目三多元函数微积分学

1、附录 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验1 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.基本命令1.求偏导数的命令D命令D既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如:求对x的偏导数, 则输入Dfx,y,z,x求对y的偏导数, 则输入Dfx,y,z,y求对x的二阶偏导数, 则输入Dfx,y,z,x,2求对的混合偏导数, 则输入Dfx,y,z,x,y 2.求全微分的命令

2、Dt该命令只用于求二元函数的全微分时, 其基本格式为Dtfx,y其输出的表达式中含有Dtx,Dty, 它们分别表示自变量的微分dx,dy. 若函数的表达式中还含有其它用字符表示的常数, 例如a, 则Dtfx,y的输出中还会有Dta, 若采用选项Constants-a, 就可以得到正确结果, 即只要输入Dtfx,y,Constants-a3.在平面上作二元函数的等高线的命令ContourPlot命令的基本格式为ContourPlotfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2例如,输入ContourPlotx2-y2,x,-2,2,y,-2,2则输出函数的等高线图(图1.1). 该命令的选项比较多(

3、详细的内容参见光盘中的实验案例库). 如选项Contours-15表示作15条等高线, 选项Contours-0表示只作函数值为0的等高线.75 / 24图1.1实验举例求多元函数的偏导数与全微分例1.1 (教材 例1.1) 设求输入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y则输出所求结果.例1.2 设求和全微分dz.输入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y则有输出再输入Dtz则得到输出例1.3 (教材 例1.2) 设其中a是常数, 求dz.输入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants-a/Simpl

4、ify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants-a+ Dty,Constants-a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants-a就是dx, Dty,Constants-a就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们换掉. 输入wf/.Dtx,Constants-a-dx,Dty,Constants-a-dy输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 设,求输入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v(*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数

5、*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v(*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants-u,v,Dv,x,NonConstants-u,v/Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出 其中Du,x,NonConstants-u,v表示u对x的偏导数, 而Dv,x,NonCosnstants-u,v表示v对x的偏导数. 类似地可求得u,v对y的偏导数.微分学的几何应用例1.5 求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.解(1) 画出曲面的图形. 曲

6、面的参数方程为输入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2则输出相应图形(图1.2).图1.2 (2) 画出切平面的图形. 输入命令a=Dfx,y,x/.x-1,y-1;b=Dfx,y,y/.x-1,y-1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;则输出切平面方程为及相应图形(图1.3).图1.3 (3) 画出法线的图形. 输入命令lyx_=1+b(x-

7、1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio-Automatic,ViewPoint-2.530,-1.025,2.000;则输出相应图形(图1.4).图1.4例1.6 (教材 例1.4) 求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.输入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定义函数k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对x的偏导数, 并代入在指定点的值*)ky=Dkx,y,y/.x-

8、1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对y的偏导数, 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定义在指定点的切平面函数*)再输入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1,PlotPoints-30,DisplayFunction-Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction-Identity;Showqm,qpm,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出所求曲面与切平面的图形（图1.

9、5）.图1.5多元函数的极值例1.7 (教材 例1.5) 求的极值.输入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0则分别输出所求偏导数和驻点:x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-2再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2输出为判别式函数的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormd

10、ata,TableHeadings-None, x , y , fxx , disc , f 最后我们得到了四个驻点处的判别式与的值并以表格形式列出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易见,当时判别式disc=72, 函数有极大值31;当时判别式disc=72, 函数有极小值-5;当和时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值.最后,把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入d2=x,y/.critpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle-PointSize0.02,DisplayFunction-Ide

11、ntity;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours-40,PlotPoints-60,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;Showg4,g5,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出图1.6.图1.6从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在非极值点附近, 等高线不封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法.注:在项目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum来求

12、一元函数的极值, 实际上,也可以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1则输出-5.,x-1.,y-2.3660310-8从中看到在的附近函数有极小值-5, 但y的精度不够好.例1.8 求函数在条件下的极值.输入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,Dlax,y,r,r=0得到输出再输入fx,y/.extpts/Simplify得到两

13、个可能是条件极值的函数值但是否真的取到条件极值呢? 可利用等高线作图来判断.输入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle-PointSize0.03,DisplayFunction-Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours-20,PlotPoints-60,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;cp2=ContourP

14、lotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-60,Contours-0,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,ContourStyle-Dashing0.01,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio-1,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为及图1.7. 从图可见，在极值可疑点处, 函数的等高线与曲线(虚线)相切. 函数的等高线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增大, 在的附近观察, 可

15、以得出取条件极大的结论. 在 的附近观察, 可以得出取条件极小的结论.图1.7梯度场例1.9 画出函数的梯度向量.解 输入命令GraphicsContourPlot3DGraphicsPlotField3D1.0,Axes-True,AxesLabel-x,y,z;vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints-3,VectorHeads-True;Showvecplot3d, cp3d;则输出相应图形(图1.8)图1.8例1.10 在同一坐标面上作出 和 的等高线图(), 并给出它们之间的关系.解

16、输入命令CalculusVectorAnalysisIdentity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle-GrayLevel0,ContourShading-False,DisplayFunction-Identity,Contours-40,PlotPoints-40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;vgradplot=PlotGradientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction-Identity;vplot=Contou

17、rPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle-GrayLevel0.7,ContourShading-False,DisplayFunction-Identity,Contours-40,PlotPoints-40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;g4=Showugradplot,vgradplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;则输出相应图形(图1.9)

18、，其中(a) 的梯度与等高线图;(b) 的梯度与等高线图;(c) 与的等高线图;(d) 与的梯度图. (a) (b) (c) (d)图1.9从上述图中可以看出它们的等高线为一族正交曲线. 事实上, 有且它们满足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 设作出的图形和等高线, 再作出它的梯度向量gradf的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系.输入调用作向量场图形的软件包命令60, Contours-25,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,AxesOrigin-0,0td=PlotGradientFi

19、eldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame-FalseShowdgx,td输出为图1.10. 从图可以看到平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函数值增大的方向.图1.10例1.12 求出函数的极值, 并画出函数的等高线、驻点以及的梯度向量的图形.输入命令False,PlotPoints-100,Contours-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=PlotGradientField-f,x,-2,2,y,-3,3,ScaleFunction-(Tanh#/5&);critptplot=ListPlot-Sqrt2,-2*Sqrt2,0,0

20、,Sqrt2,2*Sqrt2,PlotStyle-PointSize0.03;Showconplot,fieldplot,critptplot;则得到的最小值以及函数的图形(图1.11).图1.11实验习题1.设求2.设求3.设求4.试用例1.5的方法求的极值.5.求在条件下的极值.6.作出函数的等高线和梯度线的图形, 并观察梯度线与等高线的关系. 实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力. 基本命令 1. 计算重积分的命令lntegrat

21、e和NIntegrate 例如,计算, 输入 Integratex*y2,x,0,1,y,0,x则输出 又如,计算的近似值, 输入 NIntegrateSinx*y2,x,0,1,y,0,1则输出 0.160839 注: Integrate命令先对后边的变量积分.计算三重积分时,命令Integrate的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用Mathematica计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限. 2. 柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlot3D 使用命令Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 GraphicsParametri

22、cPlot3D执行成功后便可继续下面的工作.使用命令Cylindricalplot3D时,一定要把表示成,的函数. 例如,在直角坐标系中方程是一旋转抛物面, 在柱坐标系中它的方程为. 因此,输入 CylindricalPlot3Dr2,r,0,2,t,0,2Pi则在柱坐标系中作出了该旋转抛物面的图形. 3. 球面坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3D 使用命令SphericalPlot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 40则在球面坐标系中作出了该球面的图形. 4. 向量的内积 用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入 vecl=al,bl,cl vec2=a2,b2,c2则定

23、义了两个三维向量, 再输入 vec1. vec2则得到它们的内积 a1a2+b1b2+c1c2实验举例 计算重积分 例2.1 (教材 例2.1) 计算 其中为由 所围成的有界区域.先作出区域的草图, 易直接确定积分限,且应先对积分, 因此, 输入 Integratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty则输出所求二重积分的计算结果 例2.2 (教材 例2.2) 计算 其中为 如果用直角坐标计算, 输入Clearf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2则输出为 其中Erf是误差函数. 显然积分遇到了困难.

24、如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入 Integrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出所求二重积分的计算结果 如果输入 NIntegrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出积分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3) 计算, 其中由曲面与围成. 先作出区域的图形. 输入 g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2

25、=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint-1.3,-2.4,1.0则分别输出三个图形（图2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 图2.1考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrategx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入 Integrate(g

26、x,y,z/.x-r*Coss,y-r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2-r2则输出 如果用球面坐标计算,输入Integrate(gx,y,z/.x-r*Sinfi*Cost,y-r*Sinfi*Sint,z-r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,0,Sqrt2则输出 这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用 例2.4 求由曲面与所围成的空间区域的体积. 输入Clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2S

27、how%,%一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.图2.2首先观察到的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到平面上输入 jx=Solvefx,y=gx,y,y得到输出 为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2输出为 再输入tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotStyle-Dashing0.02,DisplayFunction-Identity;tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunction-Identity;Showtu1,tu2,AspectRatio-1, DisplayFunction-$DisplayFunct

28、ion输出为图2.2, 由此可见,是下半圆(虚线),是上半圆,因此投影区域是一个圆.图2.2设的解为与,则为的积分限. 输入 xvals=Solvey1=y2,x输出为 为了取出, 输入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2输出为 这时可以作最后的计算了. 输入Volume=Integrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/Simplify输出结果为 例2.5 (教材 例2.4) 求旋转抛物面在平面上部的面积 先调用软件包, 输入 r*Cost,y-r*Sint;Integratez1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify则输出所求曲面的面积

29、例2.6 在平面内有一个半径为2的圆, 它与轴在原点相切, 求它绕轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是它绕轴旋转所得的圆环面的方程为, 所以圆环面的球坐标方程是 输入 SphericalPlot3D4 Sint,t,0,Pi,s,0,2 Pi,PlotPoints-30,ViewPoint-4.0,0.54,2.0输出为图2.4. 图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入Integrater2*Sint,s,0,2 Pi,t,0,Pi,r,0,4 Sint得到这个旋转体的体积为计算曲线积分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中积分

30、路径为: 注意到,弧长微元, 将曲线积分化为定积分,输入 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;Dluj,t则输出对的导数 再输入 ds=SqrtDluj,t.Dluj,t;Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x-t, y-t2,z-3t2)*ds,t,0,2则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 输入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*Cost,Sint;Integrate(vecf.Dvecr,t)/.x-2Cost,y-Sint, t,0,2 Pi则输出所求积分的结果12 例2.9 求锥面与柱面

31、的交线的长度. 先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv, Sinu*Sinv,Sinu, u,0,Pi,v,0,2Pi,DisplayFunction-Identity;g2=ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,z,t,0,2Pi,z,0,1.2, DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,ViewPoint-1,-1,2,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为图2.5.图2.5输入直接作曲线的命令ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,Cost,t,-Pi/2,Pi/2, ViewPoint-1,-1,2,Ticks-False输出为图2.6.图2.6为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为, 它可以化成,再代入锥面方程, 得 因为空间曲线的弧长的计算公式是, 因