重积分的计算方法

1、论二重积分的计算方法摘要二重积分在高等数学中占有非常重要的地位，几乎触及到数学的各个范围。因此学会二重积分的计算方法特别重要。本文主要讨论了化累次积分法、换元计算法、极坐标计算法。关键字：二重积分;计算方法;积分法;换元;坐标计算法Discussion On The Calculation Method Of Double IntegralAbstractDouble integrals in higher mathematics plays a very important role in mathematics, almost touch each range. So learn to t

2、he double integral calculation method is particularly important. This paper mainly discusses the method of repeated integral, change element calculation method, calculation method of polar coordinates.Keywords: Double integral; Calculation method of ; Integral method For element; Coordinate ;Calcula

3、tion method1 / 13第一章 重积分的概念重积分的计算主要是把二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值。第二章 累次积分法2.1累次积分法其主要步骤；累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域的草图；第二步：按区域和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。要注意的是，累次积分要选择适当的积分次序积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的。2.2 二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：一是先积y后积

4、x的累次积分，即：若在矩形区域上可积，且对每个，积分其存在，则累次积分也存在，且：其二是先积后积的累次积分，即：若在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且：特别当在矩形区域上连续时，则有：选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。例题2.2。1 计算，是由 围成的区域解：先画出区域的图形，如图2先对后对积分，则由知如果先对后对积分，由于不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”。更换积分次序的理论依据是什么呢？对于给定一个二重积分，若分别把它化为积分次序不同的二次积分而得下列等式： 则

5、显然有如果首先给出式中的一个二次积分（例如左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。例题2.2.2试更换的积分次序解：把先对积分更换为先对积分由原累次积分的上、下限可得，即由的联立双边不等式可画出域的图形，如图3再由图形写出先对的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于轴的箭头穿区域，知先对后对积分必须将分为和，其中如图4， 则对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：由原累次积分的上、下限列出表示积分域的联立双边不等式，例如根据上列联立双边不等式画出区域的图形按新的累次积分次序，列出与之相应的区域的联立双

6、边不等式.按中的不等式组写出新的累次积分的表达式。关于这方面的应用我们再看一个例子。例题1.23（华中理工大学,2000年）设在上连续，证明证：改变积分顺序得：第三章 换元计算法计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得.适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式.下面以定理时间给出.定理：设在有界闭区域上可积，变换将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一一地映成平面上的闭区域，且满足：、函数在内分别具有一阶连续偏导数.、在上有雅可比行列式则.在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方

7、面。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 例题3.1（湖北大学2002年，中南矿治学院）求，其中解：令，即则变成了选择适当的变换这种方法才有效，选择变换的基本要求是：变换后定限简便，求积容易.第四章 极坐标计算法 当一些二重积分的积分区域用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题.例如:等.用极坐标计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的草图; (2)将转化为,根据积分区域的草图确定和的积分范围; (3)将转化为二次定积分,并计算得出结果.例4.1画出积分区域,把二重积分表示为极坐标形式的二次积分,其中区域是:(

8、1);(2). 解:(1)积分区域的草图如图所示:图15其边界为半径为1,圆心在点的圆周.由代入 得它的极坐标方程为,则可表示为: .任意取定,作极角为的射线,在这条射线上,运动变化着的从穿入从穿出积分区域,所以为里层积分即对的积分区间.故 (2)的草图如图:图16 由代入得其极坐标方程为,的极坐标分别为,这时可以表示为:,故: . 例4.2.计算下列二重积分: (1),其中为: (2) ,其中为: . 解:(1)积分区域的草图如图所示:图17 从草图来看选用极坐标比较方便(若选用直角坐标,则无论选取为型区域还是型区域都要分块).将代入分别得它们的极坐标方程为,它们交点的极坐标为.的夹在之间,

9、即的变化范围为,由极点O引射线(其极角)穿过内,它由穿入由穿出,则可表示为:故: . (2) 积分区域草图如图所示:图18 根据积分区域边界曲线及被积函数是的特点,选取极坐标比较方便,的边界曲线,将代入得极坐标方程分别为,夹杂及之间,即在射线之间.由极点引射线(极角),它由边界穿入,由边界穿出,即用极坐标可表示为.故 例4.3计算下列二重积分 (1)其中为闭区域:; (2)其中为闭区域:. 解:(1)积分区域为上半圆域且被积函数中含,用极坐标较简便,的极坐标可表示为: . 故 =. (2)积分区域为半径为1的右半圆域,被积函数是属于类型的函数,用极坐标计算比较方便,又关于是偶函数,积分区域关于

10、轴对称,故原积分是的第一象限部分上的积分的2倍,其中的极坐标表示为.故: 对被积函数为或积分区域为圆域，扇形域，圆环域时，可考虑利用极坐标系计算.此时可以设广义极坐标变换将平面上的有界闭区域一一地变成平面上有界闭区域，在上连续，则：.特别当： 时，公式变为极坐标公式： 二重积分计算方法总结计算二重积分应该注意以下几点: 首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分. 其次,化二重积分为二次积分.根据区域形状和类型确定积分次序,从而穿线确定内限,夹线确定外限. 最后,计算二重积分.

11、由内向外逐层计算,内层积分计算时,外层积分变量看做常量.参考文献1 宫莉. 分部积分法在重积分计算中的巧用J. 高等函授学报(自然科学版), 2011, (02) 2 邢同海. 质量概念与重积分的计算公式J. 内蒙古教育学院学报, 1999, (04) 3 曾云辉. 较强条件下三重积分换元公式的一种证法J. 巢湖学院学报, 2006, (03) 4 张鑫, 崔永强. 求物体质量要准确把握积分概念J. 株洲师范高等专科学校学报, 2007, (02) 5 郭欣红. 划线法在解重积分中的作用J. 河南教育学院学报(自然科学版), 2008, (04) 6 陈慧琴, 李秀兰. 论积分的可减性J. 山西大同大学学报(自然科学版), 2009, (05) 7 隋云云. 分部积分法的推广J. 民营科技, 2008, (12) 8 张劲. 关于积分解法的一点思考J. 科技信息(学术研究), 2008, (06) 9 林国广. 一道二重积分题的教学处理J. 云南大学学报(自然科学版), 2008, (S2) 致 谢本课题在选题及研究过程中得到陈裕先老师的悉心指导和不懈支持。陈裕先老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。陈裕先老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，给以终生受益无穷之道。陈裕先老师渊