量空间的列紧性与紧性

1、1.4 度量空间的列紧性与紧性 度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：的紧性，即有界数列必有收敛子列但这一事实在度量空间中却未必成立例 设，对于，定义，令，那么是有界的发散点列证明 由于所以为有界点列对于任意的，有因此不是基本列，当然不是收敛列定义 列紧集、紧集与紧空间Sequentially compact set, Compact set, Compact space设是度量空间，(1) 如果中任何点列都有收敛于的子列，则称为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2) 如果是列紧集，也是闭集，则称为紧

2、集；(3) 如果本身是列紧集(必是闭集)，则称为紧空间注1：若是的列紧集，且，那么？若是的紧集，？定理1.4.1 设是度量空间，下列各命题成立：(1) 的任何有限集必是紧集；(2) 列紧集的子集是列紧集；(3) 列紧集必是有界集，反之不真证明 (1)、(2)易证下面仅证(3)假设是列紧集，但无界取固定，则存在，使得对于，必存在，使得、由于是无界集，可依此类推得到的点列满足：只要，就有显然点列无收敛子列，从而不是列紧集导致矛盾，故是有界集反过来，是有界集，未必列紧反例：空间上的闭球有界，而不是列紧集(见例1.1)注2：中的开区间是列紧集，却不是紧集(由于中的有界数列必有收敛子列，所以中的数列必有

3、收敛子列，但不是闭集，故列紧不紧)注3：自然数不是列紧集(无界)推论1.4.1 (1) 紧空间是有界空间；(2) 紧空间是完备空间证明 (1) 若为紧空间，那么本身为列紧集，而列紧集有界，故为有界空间(2) 若为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得中的基本列收敛，因此为完备的空间关于维殴氏空间中的列紧集、紧集的特性有如下定理定理1.4.2 设，是维殴氏空间，那么(1) 是列紧集当且仅当是有界集；(2) 是紧集当且仅当是有界闭集证明 (1) 必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果是有

4、界的无限集，则具有极限点，从而可证充分性 (2) 由(1)易得注4：由于中的非空紧集就是有界闭集，定义上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立首先说明连续映射将紧集映射为紧集引理1.4.1 设是从度量空间到上的连续映射(称为算子)，是中的紧集，那么是中的紧集证明 设，首先证明是中的列紧集，使得，由于是紧集，所以点列存在收敛的子列，且，又知是上的连续映射，于是即有收敛于的子列，因此为中的列紧集再证是闭集设，根据的紧性和连续映射可得，对应的点列()存在收敛的子列，从而，即是闭集定理1.4.3 最值定理设是度量空间中的紧集，是定义在上的实值连续函数(泛函)，即，那么在上取得

5、最大值与最小值证明 设，由上述引理知是中的紧集所以是中的有界集，于是上、下确界存在，设，下证是在上取得的最大值，同理可证是在上取得的最小值由确界性的定义知，使得，即可得再由为紧集知存在，使得(), 于是令，有，因此是在上取得的最大值 度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价定义1.4.2 网设是度量空间，给定如果对于中任何点，必存在中点，使得，则称是的一个网即图4.1 是的一个网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是的0.8网图4.2 整数集

6、是全体有理数的0.6网示意图定义1.4.3 全有界集设是度量空间，如果对于任给的，总存在有限的网,则称是中的全有界集注5：根据定义可知是中的全有界集等价于，,使得，其中表示以中心，以为半径的开邻域引理1.4.2 是度量空间的全有界集当且仅当，,使得证明 当是全有界集时，,使得不妨设有，选取，显然以及，因此注6：在中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系定理1.4.4 全有界集的特性设是度量空间，若是全有界集，则(1) 是有界集；(2) 是可分集证明 (1) 设是全有界集，取，由定义知，及,使得现令，则

7、易知，可见是有界集(2) 设是全有界集，下证有可列的稠密子集由引理知对于()，存在，使得，下面证明是的稠密子集，存在，使得，由于是的网，故，使，从而，即在中稠密，显然是可列集，故可分注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集例如全体实数对应的离散度量空间中的子集是有界集，却不是全有界集定理1.4.5 全有界的充要条件设是度量空间，则是全有界集当且仅当中的任何点列必有基本子列证明 (1)充分性：反证法若不是全有界集，则存在，没有有限的网，取，再取，使，(这样的存在，否则为的网)再取，使，(这样的存在，否则为的网)以此类推，可得，而没有基本子列，产生矛盾，故是全有界集(2

8、)必要性：设是的任一点列，取，因为是全有界集，故存在有限网，记为以有限集的各点为中心，以为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了，从而覆盖了，于是至少有一个开球(记为)中含有的一个子列同样以有限集的各点为中心，以为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了，于是至少有一个开球(记为)中含有的一个子列依次可得一系列点列：且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为的子列，即是的子列下证是基本列，取，使得，那么当时，不妨设，则有，记开球的中心为，那么有，故是的基本子列推论1.4.2 豪斯道夫(Hausdorff)定理 设是度量空间，(1) 若是列紧集，则是全有界集；(2) 若是完备的度量空间，则是列紧集当

9、且仅当是全有界集证明 (1) 因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理知是全有界集；(2) 必要性：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集充分性：，因为是全有界集，所以含有基本子列，又知完备，于是在中收敛，可见的任何点列都有收敛的子列，即是列紧集注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集例如：让表示上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于，所以不是完备的度量空间、不是列紧集由于，存在正整数，使得，那么是的网，所以是全有界综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：紧集列紧集全有界

10、集紧集列紧集全有界集定理1.4.6 中点集列紧的的充要条件设，则是列紧集的充要条件为以下两条成立(1) 一致有界：，对任何有成立；(2) 等度连续：，(与及无关)，当及时，有注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念推论1.4.3 阿尔采拉(Arzela)引理 设是的一致有界且等度连续的函数族，则从中必可选出在上一致连续的子序列定理1.4.7 设，则是列紧集的充要条件为以下两条成立(1) 一致有界：，有；(2) 等度连续：，有例1.4.2 设为离散的度量空间，证明：是紧集的充要条件为是有限点集(2-18)证明 (1)充分性：设是有限点集，则必为闭集，又无点列，故为紧集(2)必要性：反证法假设为无限点集，则必有可列子集，且种元素各不相同，不妨设为，当时，根据离散度量空间中距离的定义知，从而无收敛子列，这与的紧性矛盾，故必为有限集例1.4.3 设为紧的度量空间，是的闭子集，证明是紧集(2-21)证明1 由于是闭子集，所以只需证明是列紧