总体特征数的估计(均值、方差、标准差)

1、立发中学立发中学 高二数学备课组高二数学备课组中位数：中位数：把一组数据按照从小到大（或从大到小）的把一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于最中间位置的一个数据（或最中间顺序排列后，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）两个数据的平均数）众数：众数：一组数据中出现次数最多的数据一组数据中出现次数最多的数据情境一情境一: 某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取了某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取了1010株，分别测得它们的株高如下（单位：厘米）：株，分别测得它们的株高如下（单位：厘米）： 甲：甲： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙

2、：乙： 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：问：哪种玉米苗长得高？哪种玉米苗长得高？分析：分析： 欲比较哪种玉米苗长得高，可以比较一下它们的欲比较哪种玉米苗长得高，可以比较一下它们的平平均高均高 ！反映了总体的反映了总体的某种特征某种特征总体特征数总体特征数3031总体特征数：总体特征数：通常把能反映总体某种特征的量称为通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数总体特征数如何反映总体的特征数？如何反映总体的特征数？用用样本样本的特征数估计的特征数估计总体总体的特征数！的特征数！情境二情境二: 在利用单摆检验重力加速度的实验中，全班同学在在利用单摆检验重力加速度的实验中

3、，全班同学在相同的条件下进行测试，得到下列数据（单位：相同的条件下进行测试，得到下列数据（单位：m/s)m/s)9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.329.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.949.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？平均数平均数问题转化为：问题转化为：实验结果测得一组数据为实验结果测得一组数据为用用 作为重力加速度作为重力加速度“最理想的最理想的”近似近似值，依据是什么呢？值，

4、依据是什么呢？12 ,naaa算术平均数算术平均数11niian=12naaan=a读作：读作： 平均平均 a 处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差（偏差）最小、设近似值为据之间的离差（偏差）最小、设近似值为x，则它与则它与n个实验值个实验值 ai（i1，2，3，n）的的离差分别为离差分别为 x-a1,x-a2,x-an平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小。也就是说它与样本数据的离差最小。称为这称为这n n个数的个数的 平均数或者均值平均数或者均值例1 某校高一年级的甲

5、乙两个班级（均为某校高一年级的甲乙两个班级（均为50人）的人）的数学成绩如下（总分数学成绩如下（总分150），试确定这次考试中，哪），试确定这次考试中，哪个班的数学成绩更好一些个班的数学成绩更好一些 .甲班甲班 乙班乙班 甲班均分甲班均分 乙班均分乙班均分1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114116951099610698108991101039498105101115104112

6、101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110 思考思考某公司内部结构以及工资分布：某公司内部结构以及工资分布：人员经理管理人员技工工人 学徒 合计月工资11000125011001000500人数165101023 某公司有经理某公司有经理1人，另有人，另有6名管理人员，名管理人员，5名高级名高级技工，技工，10名工人和名工人和10名学徒，现需要增加一名新工人。名学徒，现需要增加一名新工人。小张前来应聘，经理说：小张前来应聘，经理说：“我公司报酬不错，平

7、均工我公司报酬不错，平均工资每月资每月1695元。元。”小张工作几天后找到经理说：小张工作几天后找到经理说：“你你欺骗了我，我问过其他工人，每月一个人的工资不超欺骗了我，我问过其他工人，每月一个人的工资不超过过1500元，平均月工资怎么能是元，平均月工资怎么能是1695元呢？元呢？”经理拿经理拿出如下表所示的工资表说：出如下表所示的工资表说：“你看，平均月工资就是你看，平均月工资就是1695元。元。” 在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗？为什么？月工资水平吗？为什么？ 在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的在这个问题中，总

8、体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗？为什么？月工资水平吗？为什么？例例2 2：由下表计算学生日睡眠时间：由下表计算学生日睡眠时间6,6.5)50.056.5,7)170.177,7.5)330.337.5,8)370.378,8.5)60.068.5,920.02合合 计计1001例例3 3 高一（高一（1）班学生年龄统计：）班学生年龄统计：（班级共有班级共有43人）其中有人）其中有20人人18岁，岁，13人人17岁，岁，7人人16岁，岁，3人人15岁，求该班级的平均年龄。岁，求该班级的平均年龄。分析分析在班级年龄序列中在班级年龄序列中18出现了出现了20次，次， 17出现了出现了13次

9、，次，16出现了出现了7次，次，15出现了出现了3次次解：解：2013181717133465x “加权平均数加权平均数”17201373434318413131647815加权平均值加权平均值（用（用频率频率计算平均值）计算平均值） 一般地，若取值为一般地，若取值为 ， 出现的次数分别出现的次数分别为为 ，设频率为，设频率为 12,nx xx12,nfff12,nppp则其加权平均数为则其加权平均数为1122nnx px px p其中其中12(1)nppp收入范围收入范围所占百分所占百分比比1000010000 至至 150001500010%10%1500015000 至至 2000020

10、00015%15%2000020000 至至 250002500020%20%2500025000 至至 300003000025%25%3000030000 至至 350003500015%15%3500035000 至至 400004000010%10%4000040000 至至 50000500005%5%例例4 4：由某单位年收入表试估计该单位职工：由某单位年收入表试估计该单位职工 的平均年收入的平均年收入情境一情境一: 某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取了了1010株，分别测得它们的株高如下：株，分别测得它们的株高如下： 甲：甲： 31

11、32 35 37 33 30 32 31 30 29 乙：乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62问问：哪种玉米苗长得哪种玉米苗长得高高？哪种玉米苗长得哪种玉米苗长得齐齐？x= 32乙x=32甲怎么办呢？怎么办呢？甲甲37（最大值）（最大值）29（最小值）（最小值）8乙乙66（最大值）（最大值）11（最小值）（最小值）55极极 差差 甲甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29 乙乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62甲甲32372937321166乙乙一组数据的最大值与最小值的差一组数据的最大值与最小值的差 如果甲乙两组

12、数据的集中程度差异不大时，怎如果甲乙两组数据的集中程度差异不大时，怎么办呢？么办呢？ 我们可以考虑每一株的高度与平均高度的离差离差的平方和越小，长的越齐离差的平方和越小，长的越齐 设一组样本数据设一组样本数据 ，其平均数为，其平均数为 ，则，则12,nx xxx称称s2为这个样本的为这个样本的方差，方差，11()niisxxn称为这个样本的称为这个样本的标准差标准差，分别称为，分别称为样本方差、样本标准差样本方差、样本标准差2222121()()()nsxxxxxxn2211()niisxxn 即即它的算术平方根它的算术平方根 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平样本中各数据与样本平均数的

13、差的平方和的平均数叫做均数叫做样本方差样本方差； 样本方差的算术平方根叫做样本方差的算术平方根叫做样本标准差样本标准差。 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们用标准差来刻画一组数据的稳定大了离差的程度，我们用标准差来刻画一组数据的稳定 程度更好一些程度更好一些 描述一个样本和总体的波动（离散程度）大小的描述一个样本和总体的波动（离散程度）大小的特征数，标准差大说明波动大特征数，标准差大说明波动大. . 极差、方差与标准差的区别和联系：极差、方差与标准差的区别和联系：例例1 1：从高一（：从高一（1 1）班的一次数学测验抽取

14、一小组）班的一次数学测验抽取一小组成绩如下（保留整数）：成绩如下（保留整数）：85 90 80 80 85 75 100 计算这组样本数据的计算这组样本数据的极差极差、方差方差和和标准差标准差.例例2 2甲、乙两种水稻试验品种连续甲、乙两种水稻试验品种连续5 5年的平均单位年的平均单位面积产量如下（单位：面积产量如下（单位：t/hmt/hm2 2），试根据这组数据），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。品种品种第第1 1年年第第2 2年年第第3 3年年第第4 4年年第第5 5年年甲甲9.89.89.99.910.110.1101010.210.2乙

15、乙9.49.410.310.310.810.89.79.79.89.8例例3 3为了保护学生的视力，教室内的日光灯在为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。这种日光灯的平均使用寿命和标准差。天数天数151151180180181181210210211211240240241241270270271271300300301301330330331331360360361361390390灯泡灯泡数数1 1111118182020252516167 72 21 1、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：如下：9.49.4，8.48.4，9.49.4，9.99.9，9.69.6，