高考圆锥曲线典型例题(必考)

1、 9.1椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例 1】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和4 53，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.2 53【解析】故所求方程为1 或1.x253y2103x210y25【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2ny21(m0，n0 且 mn)；(2)在求椭圆中的 a、b、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练 1】已知椭圆 C1的中心在原点、焦点在 x 轴上，抛物线 C2的顶点在原点、焦点在 x 轴

2、上.小明从曲线 C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆 C1上，也不在抛物线 C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆 C1的方程为. 1.x212y26题型二椭圆的几何性质的运用【例 2】已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是 ，1).(2)21FPFS mnsin 60b2，121233【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的

3、使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|PF2|()2，|PF1|ac. |PF1|PF2|2【变式训练 2】已知 P 是椭圆1 上的一点，Q，R 分别是圆(x4)2y2 和圆x225y2914(x4)2y2 上的点，则|PQ|PR|的最小值是.【解析】最小值为 9.14 题型三有关椭圆的综合问题 【例 3】(2010 全国新课标)设 F1，F2分别是椭圆 E：1(ab0)的左、右焦点，过 F1斜率x2a2y2b2为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满

4、足|PA|PB|，求 E 的方程.(1) .(2)为1.22x218y29【变式训练 3】已知椭圆1(ab0)的离心率为 e，两焦点为 F1，F2，抛物线以 F1为顶点，x2a2y2b2F2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若e，则 e 的值是()|PF1|PF2|A.B.C.D.【解析】选 B32332263题型思有关椭圆与直线综合问题【例 4】 【2012 高考浙江理 21】如图，椭圆 C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点 P(2，1)的2222+1xyab 12距离为不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分10()求椭圆 C 的方程；()

5、求ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【变式训练 4】 【2012 高考广东理 20】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：的离心率 e=，且椭圆 C 上的点到22221(0)xyabab23Q（0，2）的距离的最大值为 3.（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上，是否存在点 M（m,n）使得直线 ：mx+ny=1 与圆 O：x2+y2=1 相交于不同的两点lA、B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要

6、三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定 a、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009 全国卷理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB ,则|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3 选 A .2（2

7、009 浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2APPB ，则椭圆的离心率是（ ） A32 B22 C13 D12 【答案】D3.（2009 江西卷理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为 A22 B33 C12 D13 【答案】B4.【2012 高考新课标理 4】设12FF是椭圆的左、右焦点，为直线32ax 上2222:1(0)xyEababP一点，是底角为30的等腰三角形，则的离心率为（ ）12PFFE 【答案】C( )A12

8、( )B23( )C()D5【2012 高考四川理 15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当22143xyFxmAB的周长最大时，的面积是_。 【答案】3FABFAB6【2012 高考江西理 13】椭圆 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是)0( 12222babyaxF1，F2。若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】1AF21FFBF155【例 4】 【解析】()：22+143xy ()易得直线 OP 的方程：yx，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中 y0 x01212220220+12333434422+143AAABABABABABBBxy

9、xyyxxkxxyyyxy 设直线 AB 的方程为 l：y(m0)，入椭圆：显然32xm 2222+143333032xyxmxmyxm -m且 m0由上又有：m，222(3 )4 3(3)3(12)0mmm 1212ABxx AByy 233m |AB|1ABk ABxx 1ABk 2()4ABABxxx x 1ABk 243m 点 P(2，1)到直线 l 的距离表示为：3 1211ABABmmdkk SABPd|AB|m2|，当|m2|，即 m3 或 m0(舍去)时，(SABP)max1212243m 243m 12此时直线 l 的方程 y3122x 【变式训练 4】 【解析】 （1）设2

10、2cab 由222233cecaa，所以222213baca设( , )P x y是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb2222222|(2)3(2)2(1)6PQxyayyya 当1b 时，当1y 时，|PQ有最大值263a ，可得3a ，所以1,2bc 当1b 时，226363PQab 不合题意故椭圆C的方程为：2213xy （2）AOB中，1OAOB，11sin22AOBSOAOBAOB 当且仅当90AOB时，AOBS有最大值12， 90AOB时，点O到直线AB的距离为22d 2222212222dmnmn 又22223133,22mnmn，此时点

11、62(,)22M 。 9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例 1】已知动圆 E 与圆 A：(x4)2y22 外切，与圆 B：(x4)2y22 内切，求动圆圆心 E 的轨迹方程.【解析】1(x).x22y2142【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练 1】P 为双曲线1 的右支上一点，M，N 分别是圆(x5)2y24 和x29y216(x5)2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9 【解析】选 D.题型二双曲线几何性质的运用【例 2】双曲线 C：1(a

12、0，b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上存在一点x2a2y2b2P，使PQAP0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，).62【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，x2a2y2b2且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】 ，故选 C.题型三有关双曲线的综合问题【例 3】(2010 广东)已知双曲线y21 的左、右

13、顶点分别为 A1、A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，y1)是x22双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程；(2)若过点 H(0，h)(h1)的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点，且 l1l2，求 h 的值.【解析】(1)轨迹 E 的方程为y21，x0 且 x.(2)符合条件的 h 的值为或.x22232【变式训练 3】双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过 F2的直线与x2a2y2b2双曲线的右支交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2等于() A.12B.32 C

14、.42 D.52 【解析】故选 D2222总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c 的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹是双曲线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹是以 F1或 F2为端点的射线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线 y x，可将双曲线方

15、程设为(0)，bax2a2y2b2再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法.练习练习1、 【2012 高考山东理 10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐2222:1(0)xyCabab32221xy近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆的方程为CC（A） （B） （C） （D）22182xy221126xy221164xy221205xy【答案】D2直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同两点，则 k 的取值范围是 A(，) B(0，)153153153C(，0) D(，1)1531533.【2012 高考湖北理 14】如图，双曲线22221

16、 ( ,0)xya bab的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F. 若以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，切点分别为,A B C D. 则（）双曲线的离心率e ；（）菱形1122FB F B的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12SS .【答案】;215 e25221SS【例 3】由题意知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线 A1P 的方程为 y(x)，直线 A2Q 的方程为 y(x).方法222y1x1 22y1x1 22一：联立解得交点坐标为 x，y，即 x1 ，y1，则 x0，|x|.2x12y1x12x2yx2 而点 P(x1，

17、y1)在双曲线y21 上，所以y 1.x22x2 122 1将代入上式，整理得所求轨迹 E 的方程为y21，x0 且 x.x222方法二：设点 M(x，y)是 A1P 与 A2Q 的交点，得 y2(x22).y2 1x2 12又点 P(x1，y1)在双曲线上，因此y 1，即 y 1.x2 122 12 1x2 12代入式整理得y21.x22因为点 P，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点 A1，A2均不重合.故点 A1和 A2均不在轨迹 E 上.过点(0,1)及 A2(，0)的直线 l 的方程为2xy0.22解方程组12, 02222yxyx得 x，y0.所以直线 l 与双曲线只有唯一交点

18、A2.2故轨迹 E 不过点(0,1).同理轨迹 E 也不过点(0，1).综上分析，轨迹 E 的方程为y21，x0 且 x.x222(2)设过点 H(0，h)的直线为 ykxh(h1)，联立y21 得(12k2)x24khx2h220.x22令 16k2h24(12k2)(2h22)0，得 h212k20，解得 k1，k2.由于 l1l2，则 k1k21，故 h.h212h212h2123过点 A1，A2分别引直线 l1，l2通过 y 轴上的点 H(0，h)，且使 l1l2，因此 A1HA2H，由()1，得 h.h2h22此时，l1，l2的方程分别为 yx与 yx，22它们与轨迹 E 分别仅有一

19、个交点(，)与(，).232 23232 23所以，符合条件的 h 的值为或.32【变式训练 3】据题意设|AF1|x，则|AB|x，|BF1|x.2由双曲线定义有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)(1)xx4a，即 x2a|AF1|.22故在 RtAF1F2中可求得|AF2|.|F1F2|2|AF1|24c28a2又由定义可得|AF2|AF1|2a2a2a，即22a，两边平方整理得 c2a2(52)e252，.24c28a222c2a22 9.3抛物线典例精析题型一抛物线定义的运用【例 1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线

20、过点 P(2，4)；(2)抛物线焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5.【解析】(1)y28x 或 x2y.(2)方程为 y22x 或 y218x. 【变式训练 1】已知 P 是抛物线 y22x 上的一点，另一点 A(a,0) (a0)满足|PA|d，试求 d 的最小值.【解析】dmin.2a1题型二直线与抛物线位置讨论 【例 2】(2010 湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右侧，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线

21、，都有FBFA0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)y24x(x0).(2)32m32.22由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB0，且 m 的取值范围是(32，32).22【变式训练 2】已知抛物线 y24x 的一条弦 AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 所在直线与 y 轴的交点坐标为(0,2)，则.【解析】 . 1y11y212题型三有关抛物线的综合问题【例 3】已知抛物线 C：y2x2，直线 ykx2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x轴的垂线交C

22、 于点 N.(1)求证：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； (2)是否存在实数 k 使NANB0？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由.【解析】【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须使用弦长公式.【变式训练 3】已知 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，过点 P 作圆(x3)2y21 的切线，切点分别为 M、N，则|MN|的最小值是.【解析】.4 55总结提高1.在抛物线定义中，焦点 F 不在准线 l 上，这是一个重要的隐含条件，若 F 在 l

23、上，则抛物线退化为一条直线. 2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为 p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为 2p.3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为 1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1

24、x2p 或|AB|( 为 AB 的倾斜角)，2psin2y1y2p2，x1x2等.p24练习1.【2012 高考全国卷理 8】已知 F1、F2为双曲线 C：x-y=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cosF1PF2=(A) （B） (C) (D) 【答案】C143534452.【2012 高考安徽理 9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若24yxF,A BO，则的面积为（ ）3AF AOB 【答案】C( )A22( )B2( )C3 22()D2 2【例 3】证明：如图，设 A(x1,2x )，B(x2,2x )，把 ykx2 代入 y2x2，得

25、 2x2kx20， 2 12 2由韦达定理得 x1x2 ，x1x21，所以 xNxM ，所以点 N 的坐标为( ，).k2x1x22k4k4k28设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 ym(x )，将 y2x2代入上式，得 2x2mx0，k28k4mk4k28因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 m28()m22mkk2(mk)20，所以 mk，即 lAB.mk4k28(2)假设存在实数 k，使NANB0，则 NANB， 又因为 M 是 AB 的中点，所以|MN|21|AB|.由(1)知 yM (y1y2) (kx12kx22) k(x1x2)4 (4)2.因为 MNx 轴，所以|MN|

26、yMyN|2.12121212k22k24k24k28k2168又|AB|x1x2|.1k21k2(x1x2)24x1x21k2(f(k,2)24 (1)12 k21k216所以，解得 k2.即存在 k2，使NANB0.k216814 k21k2169.4直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一直线与圆锥曲线交点问题【例 1】若曲线 y2ax 与直线 y(a1)x1 恰有一个公共点，求实数 a 的值. 【解析】综上所述，a0 或 a1 或 a .45【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为 a0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数aa10，即 a1 的可能性，从而漏掉两解.本题用代数

27、方法解完后，应从几何上验证一下：当 a0时，曲线 y2ax，即直线 y0，此时与已知直线 yx1 恰有交点(1,0)；当 a1 时，直线 y1 与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；当 a时直线与抛物线相切.45【变式训练 1】若直线 ykx1 与双曲线 x2y24 有且只有一个公共点，则实数 k 的取值范围为()A.1，1， ，B.(，)52525252C.(，11，)D.(，1)，)52【解析】答案为 A.题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题【例 2】(2010 辽宁)设椭圆 C：1(ab0)的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相

28、交于x2a2y2b2A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，AF2FB.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)如果|AB|，求椭圆 C 的方程.154 【解析】(1)e .(2)1.ca23x29y25【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.【变式训练 2】椭圆 ax2by21 与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为，则 的值为.【解析】 .32ababy0 x032题型三对称问题 【例 3】在抛物线 y24x 上存在两个不同的点关于直线 l：ykx3 对称，求 k 的取值范围.【解析】故 k 的取值范围为(1,0).

29、【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线 l 对称，则满足直线 l 与 AB 垂直，且线段 AB 的中点坐标满足 l 的方程；(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围. 【变式训练 3】已知抛物线 yx23 上存在关于 xy0 对称的两点 A，B，则|AB|等于()A.3B.4C.3D.422【解析】设 AB 方程：yxb，代入 yx23，得 x2xb30，所以 xAxB1，故

30、AB 中点为( ， b).1212它又在 xy0 上，所以 b1，所以|AB|3，故选 C.2总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组, 0),(, 0yxfCByAx 通过消去 y(也可以消去 x)得到 x 的方程 ax2bxc0 进行讨论.这时要注意考虑 a0和 a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除 a0，0 外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线

31、只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交9.5圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程【例 1】已知抛物线的方程为 x22y，F 是抛物线的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 l1和 l2，记 l1和 l2交于点 M.(1)求证：l1l2；(2)求点 M 的轨迹方程. 【解析】(1)所以 l1l2.(2)M 的轨迹方程是 y .12【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概

32、念， “求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练 1】已知ABC 的顶点为 A(5,0)，B(5,0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点C 的轨迹方程是()A.1B.1x29y216x216y29C.1(x3)D.1(x4)x29y216x216y29【解析】 ，方程为1(x3)，故选 C.x29y216 题型二圆锥曲线的有关最值【例 2】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x23y24 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1.当ABC60时，求菱形 ABCD 面积的最大值.【解析】因为

33、四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.于是可设直线 AC 的方程为 yxn.由nxyyx, 4322得 4x26nx3n240.因为 A，C 在椭圆上，所以 12n2640，解得n.4 334 33设 A，C 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x2，x1x2，3n23n244y1x1n，y2x2n. 所以 y1y2 .n2因为四边形 ABCD 为菱形，且ABC60，所以|AB|BC|CA|.所以菱形 ABCD 的面积 S|AC|2.32又|AC|2(x1x2)2(y1y2)2，所以 S(3n216) (n).3n2162344 334 33所以当 n0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4.3【点拨】建立“目标函数” ，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出 n 的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.【变式训练 2】已知抛物线 yx21 上有一定点 B(1,0)和两个动点 P、Q，若 BPPQ，则点 Q 横坐标的取值范围是.【解析】如图，B(1,0)，设 P(xP，x 1)，Q(xQ，x 1)，2 P2 Q由 kBPkPQ1，得1.x2 P1xP1x2 Qx2 PxQxP所以 xQxP(xP1)1.1xP11xP1因为|xP1|2，所以 xQ1 或 xQ3.1xP1题型三求参数的取值范围及最值的综合