第八章数理统计初步

1、第八章数理统计初步8.1.1 总体、样本与统计量引例引例8.1 8.1 某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡的寿命，出厂时随机抽取了的寿命，出厂时随机抽取了10001000只灯泡进行检测只灯泡进行检测. .引例引例 为了统计全国的人均消费，规定每个地区为了统计全国的人均消费，规定每个地区随机抽取千分之一的人口进行统计调查随机抽取千分之一的人口进行统计调查. . 在数理统计中我们把研究对象的全体称为在数理统计中我们把研究对象的全体称为总总体体，组成总体的每一单元称为，组成总体的每一单元称为个体个体，被抽取到的，被抽取到的所有个体的集合称为所有个体的集合称为样本样本

2、. .总体总体样本样本总体总体样本样本 在进行统计抽样时，由于调查具有破坏性（如在进行统计抽样时，由于调查具有破坏性（如检测灯泡寿命、检验炸弹的威力等）或者总体所包检测灯泡寿命、检验炸弹的威力等）或者总体所包含的个体数量非常庞大（如调查全国的人均消费水含的个体数量非常庞大（如调查全国的人均消费水平、股票指数的变化等）等原因，不可能对所有个平、股票指数的变化等）等原因，不可能对所有个体进行观测体进行观测. .而只能抽取其中一部分样本进行观测而只能抽取其中一部分样本进行观测. .从总体中抽取样本时，为了使抽取的样本具有代表从总体中抽取样本时，为了使抽取的样本具有代表性，通常要求：性，通常要求：1.

3、 抽取方法要统一，应使总体中每一个个体被抽抽取方法要统一，应使总体中每一个个体被抽到的机会是均等的到的机会是均等的. .2.每次抽取是独立的，即每次抽样结果不影响其每次抽取是独立的，即每次抽样结果不影响其它各次抽样结果，也不受其它各次抽样结果的它各次抽样结果，也不受其它各次抽样结果的影响影响. .满足以上两点的抽样方法称为满足以上两点的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样，由，由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本简单随机样本，今，今后我们凡提到抽样及样本都是指简单随机抽样和后我们凡提到抽样及样本都是指简单随机抽样和简单随机样本简单随机样本. .我们通常只关心总体的

4、一个或几个指标，这些指我们通常只关心总体的一个或几个指标，这些指标可用随机变量来表示标可用随机变量来表示. .在对样本进行观测时，在对样本进行观测时，每个个体的取值结果都是一个随机变量每个个体的取值结果都是一个随机变量. .12(,)nXXXn个样本个样本12(,)nxxx样本观测值样本观测值表示表示样本样本样本的某种函数样本的某种函数集中样本中我集中样本中我们关心的信息们关心的信息 统计量统计量“加工加工” “提炼提炼” 在在引例引例中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命，中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命，一个简单的方法就是用样本一个简单的方法就是用样本的平均寿命的平均寿命 去估计总体的平均寿

5、命去估计总体的平均寿命.在此过程中，我们将称在此过程中，我们将称为统计量为统计量. 121000,XXX1210001000XXX 1210001000XXX 常用的统计量有：常用的统计量有：样本均值样本均值 (9.1)样本方差样本方差 (9.2)样本均方差样本均方差 (9.3)11 niiXXn2211()1 niiSXXn211()1 niiSXXn8.1.2 统计量的分布 统计量是随机变量，其概率分布又称抽样分布统计量是随机变量，其概率分布又称抽样分布.这些这些分布在统计推断时起重要作用分布在统计推断时起重要作用.下面我们介绍几种常下面我们介绍几种常见分布见分布.设设 是是X X的一个样

6、本，则的一个样本，则 或或 (9.4)(9.4)一、样本均值的分布一、样本均值的分布212(,), (,)nXNXXX 2(,)XNn (0,1) XNn 设设 ，对给定的，对给定的 ，称满足，称满足条件条件 (8.5)或或 (8.6)的点的点 为标准正态分布的上为标准正态分布的上 分位点或上侧分位点或上侧临界值，简称上临界值，简称上 点，点，(8.5)式的几何意义如图式的几何意义如图81所示所示.(0,1)XN(01)aaaP XUa 1aP XUa aUa( )x a 图图81 ： OU xa称满足条件称满足条件的点的点 为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧 分位点或双侧分位点或双侧临

7、界值，简称双临界值，简称双 点，其几何意义见图点，其几何意义见图82所示所示.在统计中，在统计中， 可直接由（）式通过查本书后附表可直接由（）式通过查本书后附表1正态分布表求得正态分布表求得, 可由可由 查表求得查表求得.2aPXUa 2aUa/2a/2a( )x O2aU2aU x 图图82 ：aU2aU22aaPXU a二、 分布2设设 为取自正态总体为取自正态总体 的的样本，则称样本，则称 为服从为服从 个自由度的个自由度的 分布，记作分布，记作 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为注注注注 式中式中 为为 函数：函数：在在 的函数值的函数值.12(,)nXXX(0,1)XN2222

8、12nxXXX n2 22()xn 12221,0( )2( )20,0nynyeynf yy ( )2n 10( )(0)xtxte dt x 2nx 2 n=10n=4n=1 图图83 ： 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 y ( )f x类似于标准正态分布，我们称满足：类似于标准正态分布，我们称满足： (8.7)的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点或上侧临界分位点或上侧临界值，简称上值，简称上 点，其几何意义如图点，其几何意义如图84所示所示.这这里里 是是 分布的概率密度分布的概率密度. 222( )( )( )( )aaxnPnnf y dya 2( )an 2 a

9、( )f y2 图图84： ( )f y O 2( )axn y a显然，在自由度取定以后，显然，在自由度取定以后， 的值只与的值只与 有关有关.2( )an aa三、三、 分布分布设设 ， 且且X与与Y相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量服从服从 个自由度的个自由度的 分布或学生氏分布，记作分布或学生氏分布，记作 . 分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：其图形如图其图形如图85所示所示t2(0,1),( )XNYn XTYn nt ( )Tt nt1221()2( )(1)()( )2nntf ttnnn -3 -2 -1 0 1 2 3n=14n 10n 图图85： 其形状

10、类似标准正态分布的概率密度的图形其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当当 较大较大 时，时， 分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布.nt对于给定的对于给定的 ，我们也称满足条件：，我们也称满足条件： (8.8) 的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点或上侧临界分位点或上侧临界值，简称上值，简称上 点，其几何意义如图点，其几何意义如图86所示所示 ： (01)aa ( )( )( )( )aatnP t ntnf t dta ( )atnta 图图86： ( )f t( )atntOaa由由 分布的对称性，也称满足条件：分布的对称性，也称满足条件： (8.9)的点的点 为为 分布的

11、双侧分布的双侧 分位点或双侧分位点或双侧临界值，简称双临界值，简称双 点，其几何意义如图点，其几何意义如图87所所示示. 图图87： /2a/2a( )f t/2( )atntO在附表在附表4中给出了中给出了 分布临界值表分布临界值表. 当当 时，时，可以用标准正态分布代替可以用标准正态分布代替 分布查分布查 的的值，值， .t45n ( )atn( )aatnX t2( )( )aPt ntna 2( )atntat/2( )atn a四、四、 F 分布分布 设设 ，且，且 与与 相相互独立，则称随机变量互独立，则称随机变量服从第一自由度为服从第一自由度为 、第二自由度为、第二自由度为 的的

12、 分布，记作分布，记作 F分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为:其中其中221122(),()VnVn 1122V nFVn 1V2V1n2nF12(,)FF n n11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 11212122()2()() ()22nnnnAnnn 其图形如图其图形如图88所示所示. 图图88： 0 1 2 y2120nn 225n 210n 类似于类似于 分布与分布与 分布分布 ,F分布的上分布的上 分位分位点或上侧临界值简称上点或上侧临界值简称上 点是指满足条件：点是指满足条件： (8.10)的点的点 ，其几何意义如图，其几何意义如图89所示，所

13、示，其中其中 为为F分布的概率密度分布的概率密度.a 121212(,)( ,)( ,)( )1aaF n nP F n nF n nf y dyaa （0 0）12(,)aF n n( )f ya2 t 的值可由的值可由F分布表分布表(附表附表5)查得：查得：在附表在附表5中所列的中所列的 值都比较小，当值都比较小，当 较大时，较大时，可用下面公式可用下面公式 (8.11)查查F分布表得到分布表得到12(,)aF n naa112211(,)(,)aaFn nF n n 图图89： 12(,)aF n nOy( )f ya 8.1.3 关于分布的几个性质性质性质 分布具有可加性分布具有可加性

14、.设设 ，且相互独立，则，且相互独立，则性质性质 设设 为来自总体为来自总体 的样本，则：的样本，则：(1)样本均值样本均值 与样本方差与样本方差 相互独立；相互独立；(2) (8.12)2 22221122(),()xnxn 2221212()xxnn 12(,)nXXX2(,)XN X2S222122()(1)(1)niiXXnSxn 性质设性质设 为来自总体为来自总体 的样的样本，则统计量本，则统计量 (8.13) 性质设性质设 和和 分别来自正态总体分别来自正态总体 和和 的样本，且它们相互独立，则统计量的样本，且它们相互独立，则统计量 (8.14) 其中其中 ， ， 分别为两总体的样

15、分别为两总体的样本方差本方差.12(,)nXXX2(,)XN (1)Xt nSn 121(,)nXXX122(,)nY YY21(,)N 22(,)N 121212()(2 )11wXYt nnSnn 22112212(1)(1)2wnSnSSnn 21S22S性质性质 设设 为正态总体为正态总体 的样本容量和的样本容量和样本方差；样本方差； 为正态总体为正态总体 的样本容的样本容量和样本方差，且两个样本相互独立，则统计量量和样本方差，且两个样本相互独立，则统计量 (8.15)21(,)N 222,n S222(,)N 2212122212/(1,1)/SSF nn 211,n S随堂练习随堂练习1、 设样本值如下：设样本值如下： 191，200，212，196，205，220，216，194，20.3.求样本均值求样本均值 ，样本方差，样本方差 。2sx解：按定义，样本均值为按定义，样本均值为111(19.120.0.20.3)1020.25niiXXn 样本方差为：样本方差为：2212221()11(1.150.25.0.05 )91.165niiSXXn 2、 设总体设总体 ，(1)抽取容量为抽取容量为