解决圆周运动问题的解题步骤

1、物理 解决圆周运动问题的解题步骤1 明确研究对象，分析运动状态：若有某个固定点或固定轴，开始运动瞬间速度与外力垂直，且某个外力为变力，物体将做圆周运动。（关键是看是否有初速度与外力是否垂直，速度与外力是否变化。）若切线方向有加速度，则物体做非匀速圆周运动。若切线方向无加速度，则物体做匀速圆周运动。例题:如下图所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L=0.8 m的细绳悬于以v=4 ms向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FBFA为(g=10 ms2)（ C ）A.11 B.12 C.13 D.14答案：C （A球以v=4 ms的速度做匀

2、速圆周运动，B球静止）2确定圆心与轨道半径：例题:如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径R=20cm，在环上套有一个质量为m的小球，若圆环以w=10 rad/s的角速度转动（取g=10m/s2），则角的大小为（ C ）A30B45C60D90答案：C （质点与转轴的垂点为圆心，垂线为半径）3受力分析，确定向心力的来源：例题:创新P21 跟踪2如图1所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴oo转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为，现要使小物块不下落，圆筒转动的角速度至少为：（ C ） 00/a图4-21 答案：C如图4-21所示,半径为r的圆形转筒,绕其竖直中心轴OO转动,小物块

3、a靠在圆筒的内壁上,它与圆筒间的动摩擦因数为,现要使小物块不下落,圆筒转动的角速度至少为 答案：几种常见的匀速圆周运动的实例图表图形受力分析以向心加速度方向建立坐标系利用向心力公式4列式求解典型实例一、 临界条件：1， 竖直平面内：考点: 在竖直平面内做圆周运动的临界条件竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态.（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即

4、mg= 上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界=.能过最高点的条件：vv临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力不能过最高点的条件：vv临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）.（2）、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0.图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0vN0.当v=时，N=0；当v时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.图（b）所示的小球

5、过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.当0vN0.当v=时，N=0.当v时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v临界=.当v时，小球将脱离轨道做平抛运动.在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况R绳图1v0vR图2vOR杆图3临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界能过最高点的条件：v，当v时， 绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最

6、高点的条件：vv临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点v临界0，此时支持力Nmg当0v时，N为支持力，有0Nmg，且N随v的增大而减小当v时，N0当v，N为拉力，有N0，N随v的增大而增大例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；保持问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受

7、力的情况？请计算说明。解析：A端恰好不受力，则，B球：由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力，竖直向下。杆对B球无作用力，对A球由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力，竖直向下。 若B球在上端A球在下端，对B球：，对A球：，联系得。若A球在上端，B球在下端，对A球：，对B球： ，联系得显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时。2， 水平面内：3045ABC图6在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。说明：一般求解“在什么范围内”这一

8、类的问题就是要分析两个临界状态。小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。（1） 拉力：假设法：假设两绳均受拉力作用，所得值为正，证明绳子拉紧；所得值为负，证明绳子松弛。例题:如右下图所示，直角架ABC的AB边为竖直杆，BC边为水平杆，B点和C点各系一细绳，共同吊着一个质量为1kg的小球于D点，且BDCD，ABD= 30,BD=40cm,当直角架以AB为轴，以10rad/s的角速度转动时，求细绳BD、CD所受拉力各为多少？（g=9.8m/s2）如图所示，直角

9、架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点，且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴，以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为_牛，绳CD的张力为_牛。解析1：（假设法） CD绳已松弛，解析2：（分析法）临界条件： CD绳已松弛极限法：分别求出一绳拉紧，与一绳松弛的临界条件。例题:（开放题）如下图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30与45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？解析当角速度很小时，AC和BC与轴

10、的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为，则有将已知条件代入上式解得当角速度继续增大时减小，增大。设角速度达到时，（这又是一个临界状态），则有将已知条件代入上式解得所以当满足时，AC、BC两绳始终张紧。本题所给条件，此时两绳拉力、都存在。将数据代入上面两式解得，注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果时，则AC与轴的夹角小于。如果，则BC与轴的夹角大于45。例题2.如下图所示，两绳系一个质量为m0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30和45。问球的

11、角速度在什么范围内，两绳始终张紧？解析：两绳张紧时，小球受的力如上图所示，当由0逐渐增大时，可能出现两个临界值。(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为1，则有FxF1sin30m12Lsin30FyF1cos30mg0代入已知解得，12.40 rad/s.(2) AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为2，则有FxF2sin45m22Lsin30FyF2cos45mg0代入已知解得23.16 rad/s.可见，要使两绳始终张紧，必须满足2.40 rad/s3.16 rad/s.两绳系一个的小球，两绳另两端分别固定于轴上两处，上面绳长，两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是

12、问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度为时，上下两绳的拉力分别为多少？（解析：半径不变时，临界条件是刚好拉直，张力为零，上的张力的分力提供向心力，最小；刚好拉直，张力为零，上的张力的分力提供向心力，最大。）练习1：如图所示，OO/为竖直转轴，MN为固定在OO上的水平光滑杆。有两个质量相同的有孔金属球A、B套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO/上。当线拉直时，A、B两球到转轴距离之比为21，当转轴角速度逐渐增大时（ A ）OO/MNABCAAC线先断 BBC线先断 C两线同时断 D不能确定哪段先断答案：A练习2：有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入

13、一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如图6-25）.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？图6-25解析该题用定恒观点和转化观点分别解答如下：解法一（守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v0，根据牛顿第二定律有 当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物

14、体m1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m1上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有再选小球M、物体m1与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒.选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m1到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有：以上三式联立解得：.解法二（转化观点）与解法一相同，首先列出两式，然后再选小球、物体m1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于系统的机械能守恒

15、，所以小球M动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量.即： 式联立解得：.评价比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦；如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简捷.注：角速度不同，绳子与转轴的夹角不同。（2） 弹力：例题 :如图所示，一根水平轻质硬杆以恒定的角速度绕竖直OO转动，两个质量均为m的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k的弹簧连接，弹簧原长为l0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。 分析和解答：当两球绕轴OO做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用

16、l、L表示A、B两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程： 由、联解得练习： 图6156ROA有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图6156所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，开始时弹簧未发生形变，长度为R。求：盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？当转速缓慢增大到2n0时，弹簧的伸长量x是多少？解析： 有一水平放置的圆盘，上面放一根劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴O上，另一端系着质量为m的物体A，物体A与盘面间最大静摩擦力为fm，弹簧原长为R0，如图5所示，求：盘的转速n0达到多大时，

17、A开始相对于盘滑动？当转速达到2n0时，弹簧的伸长量x是多少？（未离开盘面）答案：注：(3)支持力（压力）：例题 :一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角，如图所示，一条长为L的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（视作质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（小球和绳在图中都未画出） （1）当时，求绳子对小球的拉力； （2）当时，求绳子对小球的拉力。图115 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为30，如图115所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V

18、做匀速圆周运动，求（1）当V时绳对物体的拉力；（2）当V时绳对物体的拉力。解：本题涉及临界条件是：物体对锥面压力为零时，物体的速度值。如图115，物体受重力mg、锥面的支持力N、绳的拉力T三个力作用，将三力沿水平方向和竖直方向分解，由牛顿第二定律得：TsinNcosm TcosNsinmg 由两式得：Nmgsinm 可见，一定，V越大，N越小，当V增大到某值V0时，N0时，即V0 因N为支持力，不能为负值，故当VV0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值。（1） 当V时VV0物体飞离锥面，此时物体只受重力mg和拉力T作用，设绳与轴线的夹角为: Tsin Tcosmg 将V代入两式消去可

19、得 2T23mgTm2g2T0 解取合理值 T2mg【评注】本题涉及到物体随速度增大将要飘离锥面的临界问题，故要用临界分析法来解题。临界分析法，就是找出问题的临界条件，算出关键物理量的值进行分析比较，得出在不同条件下物体不同的状态，从而求出结果。本题关键在求出N0时的速度值即临界条件。练习：如图6139所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？mrO图6139解析:电动机受力平衡,当铁块在最低点A时向心加速度竖直向上铁块超重最多,则系统对地面的压力最大(设系

20、统重力为G)FA=G+mR,同理当铁块在最高点时B,向心加速度竖直向下铁块失重最多,则系统对地面压力最小FB=G- mR则FAB=FA-FB=2mR如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，铁块分别在最高点时和最低点时电动机对地面的压力差是多大？解析：铁块在最高点时（2分）此时电动机（1分）联立得（1分）铁块在最低点时（2分）此时电动机（1分）联立得（1分）（4）摩擦力：例题 :如图所示的水平转台上M=2.0Kg的木块放在离转台中心0.4米处，与转台间动摩擦因数=0.15，m用线穿过光滑小孔与M相

21、连,m=0.5kg,要保持M与转台相对静止,转台的最大转速不能超过多大?最小转速不能小于多少?（ ）解析：（最小值）有向心运动趋势，向外， （最大值）有向心运动趋势，向内。 例1 如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？【分析与解答】：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小为：运动中，小球受到竖直向下的重力G，竖直向上的水平面支持力N和沿绳指向圆心的绳的拉力F，如图所示，这三个力的合力提供了小球做匀速圆周运动所需的向心力，由于其中重力G和支

22、持力N为一对平衡力，因此实际由绳的拉力为小球做匀速圆周运动的向心力，为此绳对小球需施拉力的大小为 N练习：（教材变式题）、三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，的质量为，、质量均为，、离轴，离轴2，则当圆台旋转时（设、都没有滑动，、三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，如图所示）（ ） A. 物的向心加速度最大； B. 物的静摩擦力最小；C. 当圆台转速增加时，比先滑动； D. 当圆台转速增加时，比先滑动。解析：比较哪个物体最先打滑，即比较哪个物体角速度最小。A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，A的质量为2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R，当圆台转动时，或A

23、、B、C均没滑动，则：（ ）A、C物体的向心加速度最大B、B物体所受摩擦力最小C、若圆台转速增大时，C比B先滑动D、当圆台转速增大时，B比A先滑动答案：A B C二、 圆周运动与直线运动、平抛运动的综合运用1， 碰钉问题：例题:如图所示，在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是A、0.9s B、1.8s C、1.6s D、0.8s12解析：小球绕A以1m为半径转半圈，小球绕

24、B以为半径转半圈，小球绕A以为半径转半圈， 绳断如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？解析： 设小球恰好断开时，运动半径为， 小球绕第三个半周时半径为，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断开。时间为 练习：如图所示，一小球质量为m，用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度地释放小球，当悬线碰到钉子的瞬

25、时（ A B D ）A.小球的向心加速度突然增大， B.小球的角速度突然增大C.小球的速度突然增大 D.悬线的张力突然增大答案：A B D2， 子弹问题：例题:如图所示，M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。简的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度。转其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而取某一合适的值，则（）A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c处一条

26、与S缝平行的窄条上B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和C处与S缝平行的窄条上D.只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒解：微粒从M到N运动时间t=R/v,对应N筒转过角度=t=R/v, 即1=t=R/v1, 2=t=R/v2, 只要1、2不是相差2的整数倍，则落在两处，C项正确；若相差2的整数倍，则落在一处，可能是a处，也可能是b处。A,B正确。故正确选项为ABC.3， 圆筒（柱）问题：例题:（小综合）如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3m的细绳，绳的下端挂一个质量m为05kg的小球，已知绳能承

27、受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度落在墙角边求这个圆柱形房屋的高度H和半径R(g取10m/s2)如图425所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0.5 kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墙边.求这个圆柱形房屋的高度H和半径R.（g取10 m/s2） 图425解析：设绳与竖直方向夹角为，则cos=,所以=60，小球在绳断时离地高度为：h=H-Lcos 小球做匀速圆周运动的半径为：r=LsinF向=mm

28、gtanmv2=mg(H-mv02联立式求得：H=3.3 m,平抛运动时间为：t=0.6 s,水平距离为：s=v0t=m,圆柱半径为：R=4.8 m.练习1：据报道:我国航天员在俄国训练时曾经“在1.5万米高空,连续飞了10个抛物线.俄方的一个助理教练半途就吐得一塌糊涂,我们的小伙子是第一次做这种实际飞行实验,但一路却神情自若,失重时都纷纷飘起来,还不断做着穿、脱宇航服等操作.”设飞机的运动轨迹是如图所示的一个抛物线接着一段120度的圆弧再接着一个抛物线,飞机的最大速度是900km/h,在圆弧段飞机速率保持不变;被训航天员所能承受的最大示重是8g.求:(1)在这十个连续的动作中被训航天员处于完

29、全失重状态的时间是多少?(2)圆弧的最小半径是多少?(实际上由于飞机在这期间有所调整和休息,所花总时间远大于这个时间,约是一小时)(3)完成这些动作的总时间至少是多少?(4)期间飞机的水平位移是多少?(提示:抛物线部分左右对称,上升阶段和下降阶段时间相等,水平位移相等,加速度相同,飞机在抛物线的顶端时速度在水平方向)(取g=9.75m/s2)1200起点终点解：（1）在飞机沿着抛物线运动时被训人员处于完全失重状态，加速度为g抛物线的后一半是平抛运动在抛物线的末端飞机速度最大，为 v=250m/s竖直方向的分量 vy=250cos300=216.5m/s水平方向的分量 vx=250sin300=125m/s平抛运动的时间 t=vy/g=22.2s水平方向的位移是 s=vxt=2775m被训航天员处于完全失重状态的总时间是t总=102t=444s（2）Tmg=mv2/r 由题意得T=8mg,r=v2/