角的相关概念教师

1、角的相关概念知识回顾角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关这是因为角的边是射线而不是线段定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.注意：由角的定义可知：角的组成部分为：两条边和一个顶点；顶点是这两条边的交点；角的两条边是射线，是无限延伸的.射线旋转时经过的平面部分称

2、为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。知识讲解一、 角的表示方法 利用三个大写字母来表示，如图1.1注意：顶点一定要写在中间也可记为，但不能写成或等 利用一个大写字母来表示，如图1.2注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个 用数字来表示角，如图2.1 用希腊字母来表示角，如图2.2二、 单位换算1度60分() 1分=60秒()三、 角的度量（1） 度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）读数（读出角

3、的另一边所在线的度数）（2） 角的度量单位及其换算角的度量单位是度分秒把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做把一度的角等分，每一份叫做分的角，记做把一分的角等分，每一份叫做秒的角，记做角度之间的关系周角= 平角 直角周角平角 平角直角（3） 角的分类：锐角（），直角（），钝角（）四、 两角的和差倍分（1） 两角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：用量角器用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是PQR的平分线.说

4、说为什么这条线平分PQR？五、 用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点；（2）分别以AB两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点；（3）过C点作射线OC。所以，射线OC就是所求作的。六、 余角补角（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.（2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.（3） 补角余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.七、 方位角方位角一般以正北正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”“北偏西度”“南偏东度”“南偏西度”，方位角的取值范围.“北偏东45度

5、”为东北方向“北偏西45度”西北方向“南偏东45度”为东南方向“南偏西45度”为西南方向.八、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。同步练习【例1】 角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 【解析】略【答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形【例2】 下列语句正确的是（ ）角的大小与边的长短无关。如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个。两条射线组成的图形叫做角A B C D

6、 【解析】略【答案】A【例3】 如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 【解析】略【答案】；，；，【巩固1】 在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A B C D【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角，本题选B【答案】B【巩固2】 如图，以为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以为顶点的角呢?【解析】略【答案】以为顶点的角有3个：，以为顶点的角有4个：，【例4】 下图中，以为顶点的角是_。有一边与射线在同一条直线上的角有_个。【解析】按照约定，我们讨论的角都是小于平角的角。【答案】以为顶点的角有：；一边与射线在同一条直线上的角有10个【例5】 判断（ ）一条射线绕它的端点旋转一周所

7、成的角是平角（ ）用倍的放大镜看的角，这个角就变成了（ ）由两条射线组成的图形叫做角（ ）延长一个角的两边（ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线【解析】略【答案】×；×；×；×；×一、 角的分类【例6】 下列语句正确的是（）A平角就是一条直线 B周角就是一条射线C小于平角的角是钝角D一周角等于四个直角【解析】答题时首先理解角的概念，然后对各选项进行判断【答案】平角是一个点和两条射线组成，故A错误，角度和射线不是同一个概念，故B错误，小于平角的角不一定是钝角，故C错误，一周角等于360°，一直角等于90°，故D正确，故选D【

8、点评】本题主要考查角的概念，不是很难【例7】 如图，图中包含小于平角的角的个数有（）A4个B5个C6个D7个【解析】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答【答案】图中角除BDC为平角外，BCBADBACDACBDACDA均为小于180°的角共七个故选D【点评】先利用三角形的性质，确定三角形的每个内角都小于180°，再根据角的定义数出角的个数即可但要注意顶点为A的角有3个【例8】 如图，AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A4个B7个C9个D10个【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角【答案】小于平角的角

9、为：AOCAODAOECODCOECOBDOEDOBEOB共9个，故选C【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角【例9】 如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A10个B15个 C20个D25个【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示【答案】在该题中，以A、B、D、E为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用一个大写字母表示；以F、G、H、M、N为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示故选C【点评】此题不仅考查了对角

10、的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所有角，做到不漏数不多数【例10】 如图，CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个A4，3B3，2C6，3D4，2【解析】根据直角锐角钝角的概念来解CAE=90°，通过角的运算，得出结果【答案】CAE=90°，FAB+BAC=90°，CAD+DAE=90°，FAB90°，BAC90°，CAD90°，DAE90°，锐角有四个，FAD90°，BAE90°，故钝角至少有两个，BAD不能确定故选D【点评】本题关键是要做到不重

11、复不遗漏的数出角的数量，同时一定要注意BAD不能确定，故不能计算在内二、 角度的换算及运算【例11】 （1）（2）【解析】（1）首先在第一个空上填上，然后计算，（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，【答案】（1）；（2）【巩固】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）；（2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【例12】 （1）。（2）【解析】（1）原式 （2）先将度分秒的量数都化成3的倍数：【答案】（1）；（2）【巩固】（1）； （2）；（3） ；（4）；（5）； （6） （7）； （8） 【解析】（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7

12、） ； （8）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）【例13】 在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个A4个 B7个 C11个 D16个【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为，而其它角都是的倍数所以在小于平角的范围内，能画出确定度数的角有共11个，故选C【答案】C【例14】 如右图，是直线，求的度数【解析】设，根据题意有，【答案】三、 余角和补角【例15】 如图，于，平分，则图中与互余的角有_个；互补的角有_对；【解析】3；2由题意可知，所以与互余的角必与相等。由题中条件可知=，所以余角有3个；的补角为所以与互补的角必与相等。【

13、答案】3；2【例16】 如下图，在一条直线上，是锐角，则的余角是（ ）A BC D【解析】选C【答案】【例17】 一个角和它的余角的比是，则这个角的补角是 【解析】设这个角为，则根据题意可知有解得，所以它的补角为。【答案】【例18】 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数【解析】设这个锐角为度，根据题意可列方程：，得【答案】【例19】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数【解析】设这个角为，则它的补角和余角分别为和，所以，所以这个角的余角的度数为【答案】【巩固】一个角与角之和的等于角的余角，求【解析】，【答案】【巩固】已知

14、的余角是的补角的，并且，试求的度数【解析】根据题意可得：，且，（度）【答案】【例20】 已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。【解析】略【答案】设两角分别为，则较小角的余角原结论成立。四、 角平分线【例21】 从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线（填“正确”或“错误”）【解析】根据角平分线的定义可知，此话是错误的【答案】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线。答案为错误【点评】主要考查了角平分线的定义定义：从一个角的顶点出发，把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线【例22】 如图，已知直线AB，CD相交于点O，

15、OE平分COB，若EOB=55°，则BOD的度数是（）A35° B55° C70°D110°【解析】利用角平分线的定义和补角的定义求解【答案】OE平分COB，若EOB=55°，BOC=55+55=110°，BOD=180110=70°故选C【点评】本题考查了角平分线和补角的定义【例23】 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分AOD，若BOC=80°，则AOE的度数是（）A40°B50° C80°D100°【解析】根据角平分线的定义计算【答案】BOC=80

16、6;，AOD=BOC=80度OE平分AOD，AOE=12AOD=12×80°=40度故填A【点评】角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查【例24】 如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A处，BC为折痕，如果BD为ABE的平分线，则CBD=（）A80° B90° C100°D70°【解析】利用角平分线的性质和平角的定义计算【答案】因为将顶点A折叠落在A处，所以ABC=ABC，又因为BD为ABE的平分线，所以ABD=DBE，因为ABC+ABC+ABD+DBE=180°，所以CBD=90°故

17、选B【点评】本题是角平分线性质及平角的性质的应用【例25】 如图，BE、CF分别是ABC、ACB的角平分线，A=44°，那么BDC的度数为（）A68° B112° C121° D136°【解析】BE、CF分别是ABC、ACB的角平分线，且A=44°，根据三角形内角和定理结合角平分线定义，即可得出DBC+DCB=12（ABC+ACB），在BDC中，根据三角形内角和定理即可得出BDC【答案】根据题意，BE、CF分别是ABC、ACB的角平分线，A=44°，所以有CAD+DCA=12（ABC+ACB）=68°，在BCD中，

18、即有CAD+DCA=68°，所以BDC=180°68°=112°故选B【点评】本题主要考查的是三角形的内角和定理和三角形的角平分线定理【例26】 下列说法正确的是（）A两点之间直线最短B用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D直线l经过点A，那么点A在直线l上【解析】分别判断每个选项的正确性，注意直线是没有长度的【答案】（1）对于A选项，直线没长度，故A错误（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误（4）直线过A点，则A一定在直

19、线上综上可得只有D正确故选D【点评】本题考查线段和直线的知识，属于基础题，关键在于掌握直线和线段的定义五、 方位角【例27】 下面图形中，表示北偏东的是（ ） 【解析】略【答案】C【例1】 下列说法不正确的是（ ） A方向是北偏东 B方向是北偏西 C方向是南偏西 D方向是东南方向【解析】略【答案】A【例28】 如图，平面内有两点（1）分别画出点处北偏东的方向和点处北偏西的方向（2）点位于的什么方向（精确到）【解析】略【答案】（1）如图，射线表示点处北偏东的方向，射线表示点处北偏西方向。（2）如图，连接，测得，所以点位于点南偏西方向【例29】 如图，、是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题为

20、了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点的位置）建立了位置指示图，直线相交于，请按要求完成下列问题：若在图上测得，则可知场馆的位置是北偏西，据中心，可简记为（，北偏西）据此方法，场馆的位置可简记为（_，_）可求得_；在现有的图形中（不增加新的字母），与_是互补的角【解析】略【答案】，北偏东；，六、 共定点角的相关计算【例30】 如图，在直线上取一点，在同侧引射线，使和互余，射线和分别平分和，求证：【解析】略【答案】和互余，所以【巩固】如图，直线，相交于点，作，平分，若，求【解析】，【答案】【例31】 如图所示，是内部的任意一条射线，若平分，平分，试求的度数【解析】因为是的平分线，所以，同

21、理可得所以【答案】【例32】 如图，是一个平角，求的度数【解析】设，则有：，所以，【答案】【例33】 已知：如图，是外的一条射线，平分平分若， 问：若，求的度数并说明理由【解析】略【答案】平分，平分（已知）， （角平分线定义），（已知）， （等量代换）（等量代换）平分（已知）（角平分线定义）（等量代换）平分（已知）（角平分线定义）（等量代换），（已知）（等量代换）即：【例34】 为外的一个锐角，射线分别平分（1），求的度数；（2），求的度数；（3），还能否求出的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由（4）从前三问的结果你发现了什么规律？【解析】略【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【例3

22、5】 已知：是从点引出的三条射线，求.【解析】注意分情况讨论，容易的到答案：或.【答案】或【例2】 已知一条射线，若从点再引两条射线与，使，求的度数.【解析】 注意分类讨论，为或.【答案】或【例36】 已知都是钝角，计算，正确的结果只可能是（ ）A B C D【解析】根据题意， ，选B【答案】B【巩固】中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了这三个不同的结果其中确有一个是正确的答案，求的值【解析】 所以答案正确【答案】【例37】 在同一平面内有射线平分，的3倍比的2倍多，求的度数.【解析】因为的3倍比的2倍多，所以小于；（1）射线在的外部，如图（1），设 ，根

23、据题意有，解得：，即（2）射线在的内部，如图（2），设，根据题意有，解得：，即【答案】或【例38】 以的顶点为端点引射线，使得，且，均小于，若，求的度数.【解析】如图（1），； 如图（2）， 如图（3），舍去【答案】或七、 钟表角度问题【例39】 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）A30B60°C90°D120°【解析】时针1小时走1大格，1大格为30°【答案】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（63）×30°=90°，故选C【点评】解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数【例40】 下午2点30分时（如图），时

24、钟的分针与时针所成角的度数为（）A90°B105°C120°D135°【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30度【答案】1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°，3.5个小时的角度为30°×3.5=105°故选B【点评】本题主要考查角度的基本概念在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形【例41】 由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）A30°B45°C60°D90°【解析】出图形，利用钟表表盘的特征解答【答案】点15分，分针指在数字3上，分针水平，当2点30分时，分针指在数字6上，分针垂直于水平时的分针，故分针转的角度是90°；解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，从2点15分到2点30分分针转过了三份，转过的角度为3×30°=90°故选D【点评】所转过