切线的判定与性质

1、 知识回顾知识回顾相离相离相切相切相交相交drld rldrldr没有没有公共点公共点唯一唯一的公共点的公共点两两个公共点个公共点位置关系位置关系交点个数交点个数数量关系数量关系直线和圆的位置关系有几种？直线和圆的位置关系有几种？ 用数量关系如何来判断？用数量关系如何来判断？ 知识回顾知识回顾相切相切d=rldr唯一唯一的公共点的公共点1、 和圆有且只和圆有且只有一个公共点的直线有一个公共点的直线是圆的切线。是圆的切线。2、 圆心到圆心到直线的距离等于半径的直线的距离等于半径的直线是圆的切线。直线是圆的切线。、切线和圆只有一个、切线和圆只有一个公共点。公共点。、圆心到圆心到切线的距离切线的距离

2、等于半径。等于半径。切线具有什么性质？切线具有什么性质？定义法：定义法：数量法（数量法（d=r ）： 问题问题: :如图，在如图，在OO中，经过半径中，经过半径OAOA的外端点的外端点A A作作直直线线l OAOA ，则直线，则直线l与与OO的位置关系怎样？为什么？的位置关系怎样？为什么？lA AO Odr条件一：直线条件一：直线l 经过半径经过半径OAOA 的外端点的外端点A A条件二：直线条件二：直线l 垂直于半径垂直于半径OAOAd = r相切相切 判 断1. 过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线

3、（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）1 1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。是圆的切线。2 2、数量法（、数量法（d=rd=r）：）：圆心到直线的距离等圆心到直线的距离等于于半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。3 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。 下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出打磨工件飞出

4、的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1. 当你在下雨天快速转动雨伞时当你在下雨天快速转动雨伞时, ,水水滴滴顺着伞的什么方向飞出去的？顺着伞的什么方向飞出去的？ 2. 2. 砂轮打磨零件时砂轮打磨零件时, ,溅出火星沿着砂溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的轮的什么方向飞出去的? ?生活中的数学生活中的数学改变切线判定定理的题设与结论改变切线判定定理的题设与结论 如果直线如果直线l是是OO的切线，切点为的切线，切点为A,A,那么半径那么半径OAOA与直线与直线l是不是一定垂直是不是一定垂直呢？呢？切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。圆的切线垂直于过切点的半径。OlA直线l切

5、、圆的圆的切线和圆只有一个公共点。切线和圆只有一个公共点。、圆心到圆心到切线的距离等于半径。切线的距离等于半径。、圆的圆的切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。 如图，如图，ABAB是是OO的直径，直线的直径，直线l1、l2是是OO的切线，的切线，A A、B B是切点是切点, ,直线直线l1、l2有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？OABl1l2l1l2证明证明: l1是是 O切线，切线，l2是是 O切线，切线， l1OA，l2OB. l1l2 .小试牛刀：小试牛刀：例1已知：直线已知：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并且OA=OB， CA=CB。 求证：直线求证：直线AB

6、是是 O的切线。的切线。分析：由于分析：由于ABAB过过OO上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只，只要证明要证明ABOCABOC即可。即可。 证明：证明：连接连接OC(OC(如图如图) )。 OA OAOB,CAOB,CACB, CB, OC OC是等腰三角形是等腰三角形OABOAB底边底边ABAB上的中线。上的中线。 ABOC ABOC。 AB AB是是OO的切线。的切线。例2证明：证明：过过O O作作OEACOEAC于于E E。 AO AO平分平分BACBAC，ODAB, OEACODAB, OEAC OE OEODOD OD OD是是OO的半径的半径 AC AC是是OO的切

7、线。的切线。小 结例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1) (1)如果已知直线与圆有公共点如果已知直线与圆有公共点, ,则连接这点和则连接这点和圆心圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂直。再证所作半径与这直线垂直。简记为：简记为：有交点有交点, ,连半径连半径, ,证垂直证垂直。用用判定定理证。判定定理证。(2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, ,则过则过圆心作直线的垂线段为辅助线圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线段长等于再证垂线段长等于半径长。简记为：半径长。简记为：无交点无交点,

8、,作垂直作垂直, ,证半径证半径。用用数量数量法（法（d=r）证。）证。连接连接OC（交点（交点C已给出）已给出）过过O作作OEAC于于E（交点（交点E未给出）未给出）E无交点无交点,作垂直作垂直,证半径证半径。有交点有交点,连半径连半径,证垂直证垂直 练一练练一练无交点无交点,作垂直作垂直,证半径。证半径。 练一练练一练证明：证明：过过O作作OCAB于于C , OCAB 。 在在RtA OC=5。 又又 PE为为 0的切线。的切线。21AOC= AOB AOC= AOB 。证明：证明：连接连接OPOP。 AB=AC,B=CAB=AC,B=C。 OB=OPOB=OP，B=OPBB=OPB， O

9、BP=COBP=C。 OPACOPAC。 PEACPEAC， PEOPPEOP。 PEPE为为00的切线。的切线。 练一练练一练有交点有交点,连半径连半径,证垂直证垂直 如图如图CB是是 O的切线的切线,C是切点是切点,OB交交 O于于D, B30, OB =6cm,求求BCCOBD解：连接连接OCOC CBCB切切OO于于C,C, OC BCOC BC。在在RtRtBB OC=3OC=3。 BC= =22OCOB 33注注：在已知圆的切线时，常在已知圆的切线时，常 连接过切点的半径连接过切点的半径 如图，在直角梯形如图，在直角梯形ABCD中，中，B=90，ADBC, C= 30 ，AD=1，AB=2. 试猜想在试猜想在BC是否存在一点是否存在一点P，使得使得 P与线段与线段CD、AB都相切。如存在，请确定都相切。如存在，请确定 P的的半径半径;如不存在，请说明理由。如不存在，请说明理由。挑战自我！挑战自我！30DCBAE EBP 点拨： 这是一道这