磁场边界问题

1、(1)模型概述带电粒子在有界磁场中的偏转问题一直是高考的热点，此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积、最长、最短时间等问题(2)模型分类.单直线边界型当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图8211(甲)中带负电粒子的运动为例图8211规律要点最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于圆周且与边界相切时(如图中a点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于圆周时，直径与边界相交的点(如图8211

2、(甲)中的b点)为带电粒子射出边界的最远点(距O最远).双直线边界型当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图8211(乙)中带负电粒子的运动为例规律要点最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切如图8211(乙)所示对称性：过粒子源S的垂线为ab的中垂线在如图(乙)中，a、b之间有带电粒子射出，可求得ab2最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.圆形边界(1)圆形磁场区域规律要点相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图8212(甲)直径最小：带电粒子从直径的一个端点射

3、入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小如图8212(乙)所示(2)环状磁场区域规律要点径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度vm而磁场有最小磁感应强度B.如图8212(丙)图8212图8213【典例】 如8213所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，

4、要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析(1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1，又qv1Bm得v1.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2rR2)2R22r2可得R2，又qv2Bm，可得v2故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过.答案(1)(2)图82141(2011·海南卷，10改编)如图8214所示空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射这两种粒子

5、带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子不计重力，下列说法正确的是()A入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小解析带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据qvB得轨道半径r，粒子的比荷相同故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同，相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B正确带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T，故所有带电粒子的运动周期均相同若带电粒子从磁场左边界射出磁场，则这

6、些粒子在磁场中运动时间是相同的，但不同速度轨迹不同，故A、C错误根据得t，所以t越长，越大，故D错误答案B2(2011·浙江卷，20改编)利用如图8215所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L.一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是()图8215A粒子带正电B射出粒子的最大速度为C保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D保持d和B不变，增大L，射出粒子的最

7、大速度与最小速度之差增大解析利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A错误利用qvB知r，能射出的粒子满足r，因此对应射出粒子的最大速度vmax，选项B错误最小速度vmin，vvmaxvmin，由此式可判定选项C正确，选项D错误答案C3(2011·广东卷，35)如图8216(a)所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1R0，R23R0.一电荷量为q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小(2)若撤去电场，如图8

8、216(b)，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间(3)在图8216(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？图8216解析(1)根据动能定理，qUmv12mv02，所以v0 .(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由几何知识可知R2R2(R2R1)2，解得RR0.根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律qv2B.解得B.根据公式，2Rv2T，qv2Bm，解得t.(3)考虑临界情况，如图所示qv3B1m，解得B1，qv3B2m

9、，解得B2，综合得：B<.答案(1) (2)(3)图82174(2011·课标全国卷，25)如图8217所示，在区域(0xd)和区域(d<x2d)内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面一质量为m、带电荷量q(q>0)的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域，其速度方向沿x轴正向已知a在离开区域时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域，其速度大小是a的.不计重力和两粒子之间的相互作用力求：(1)粒子a射入区域时速度的大小；(2)当a离开区域时，a、b两粒子

10、的y坐标之差解析(1)设粒子a在内做匀速圆周运动的圆心为C(在y轴上)半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P，如图所示由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvaBm由几何关系得PCPRa1式中，30°，由式得va(2)设粒子a在内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa(图中未画出轨迹)，POaPa.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qva(2B)m由式得Ra2C、P和Oa三点共线，且由式知Oa点必位于xd的平面上由对称性知，Pa点与P点纵坐标相同，即yPaRa1cos h式中，h是C点的y坐标设b在中运动的轨道半径为Rb1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q

11、B2当a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为.如果b没有飞出，则式中，t是a在区域中运动的时间，而Ta2Tb1由式得30°由式可见，b没有飞出.Pb点的y坐标为yPbRb1(2cos )h 由式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为yPayPb(2)d答案(1)(2)(2)d第3讲带电粒子在复合场中的运动复合场复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在从场的复合形式上一般可分为如下四种情况：相邻场；重叠场；交替场；交变场.带电粒子在复合场中的运动分类1.静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动2匀速圆周运动当带

12、电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动3较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线4分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成.电场磁场同区域应用实例装置原理图规律速度选择器若qv0BEq，即v0，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，qqv0B，Uv0Bd电磁流量计qqvB所以

13、v所以QvS2质谱仪、回旋加速器见第2讲温馨提示复合场中重力是否考虑的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等，一般应考虑其重力(2)在题目中明确说明的按说明要求是否考虑重力(3)不能直接判断是否考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否考虑重力图8311如图831是磁流体发电机的原理示意图，金属板M、N正对着平行放置，且板面垂直于纸面，在两板之间接有电阻R.在极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场当等离子束(分别带有等量正、负电荷的离子束)从左向右进入极板时，下列说法中正

14、确的是()N板的电势高于M板的电势M板的电势高于N板的电势R中有由b向a方向的电流R中有由a向b方向的电流A B C D解析本题考查洛伦兹力的方向的判断，电流形成的条件等知识点根据左手定则可知正电荷向上极板偏转，负电荷向下极板偏转，则M板的电势高于N板的电势M板相当于电源的正板，那么R中有由a向b方向的电流答案C图8322如图832所示，有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域和匀强磁场区域，如果这束正离子流在区域中不偏转，进入区域后偏转半径r相同，则它们一定具有相同的()A动能 B质量 C电荷量 D比荷答案D图8333(2012·南昌高三调研)某空间存在水平方向的匀强电场(图中

15、未画出)，带电小球沿如图833所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动，此空间同时存在由A指向B的匀强磁场，则下列说法正确的是()A小球一定带正电B小球可能做匀速直线运动C带电小球一定做匀加速直线运动D运动过程中，小球的机械能减少解析本题考查带电体在复合场中的运动问题由于重力方向竖直向下，空间存在磁场，且直线运动方向斜向下，与磁场方向相同，故不受磁场力作用，电场力必水平向右，但电场具体方向未知，故不能判断带电小球的电性，选项A错误；重力和电场力的合力不为零，故不是匀速直线运动，所以选项B错误；因为重力与电场力的合力方向与运动方向相同，故小球一定做匀加速运动，选项C正确；运动过程中由于电场力做正功

16、，故机械能增大，选项D错误答案C4如图834所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB，CD的宽度为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场现有质量为m、带电量为q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45°射入磁场若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板(1)请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；(2)求匀强磁场的磁感应强度B；(3)求金属板间的电压U的最小值图834解析(1)轨迹如图所示vv0(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动设其轨

17、道半径R，由几何关系可知RdqvBm解得B(3)粒子进入板间电场至速度减为零的过程，由动能定理有qU0mv2解得U.答案(1)轨迹见解析图v0(2)(3)考点一带电粒子在分离复合场中的运动“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力FBqv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力FEqE，FE大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r，T类平抛运动vxv0，vyt xv0t，yt2续表运动时间tTt，具有等时性动能不变变化【典例1】 在竖直平面内，图835以虚线为界分布着如图835所示的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向下，大小为E；

18、匀强磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B.虚线与水平线之间的夹角为45°，一个带负电荷的粒子在O点以速度v0水平射入匀强磁场，已知带电粒子所带的电荷量为q，质量为m(重力忽略不计，电场、磁场区域足够大)求：(1)带电粒子第1次通过虚线时距O点的距离；(2)带电粒子从O点开始到第3次通过虚线时所经历的时间；(3)带电粒子第4次通过虚线时距O点的距离解析带电粒子运动的轨迹如图所示(1)据qv0Bm得r，又由几何知识可知：d1r，解得d1.(2)在磁场中运动时间为t1在电场中a运动时间为t2再一次在磁场中运动t3，所以总时间t.(3)再次进入电场中从C到D做类平抛运动(如图所示)xv

19、0t4，y，xy，得x所以距O点距离为d2d1x.答案(1)(2)(3)解决带电粒子在分离复合场中运动问题的思路方法【变式1】 在如图836所示的空图836间坐标系中，y轴的左侧有一匀强电场，场强大小为E，场强方向与y轴负方向成30°，y轴的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B(未画出)现有一质子在x轴上坐标为x010 cm处的A点，以一定的初速度v0第一次沿x轴正方向射入磁场，第二次沿x轴负方向射入磁场，回旋后都垂直于电场方向射入电场，最后又进入磁场求：(1)质子在匀强磁场中的轨迹半径R；(2)质子两次在磁场中运动时间之比；(3)若第一次射入磁场的质子经电场偏转后，恰好从

20、第二次射入磁场的质子进入电场的位置再次进入磁场，试求初速度v0和电场强度E、磁感应强度B之间需要满足的条件解析(1)质子两次运动的轨迹如图所示，由几何关系可知x0Rsin 30°解得R2x020 cm.(2)第一次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为1210°第二次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为230°故质子两次在磁场中运动时间之比为t1t21271.(3)质子在磁场中做匀速圆周运动时，由ev0Bm得R设第一次射入磁场的质子，从y轴上的P点进入电场做类平抛运动，从y轴上的Q点进入磁场，由几何关系得，质子沿y轴的位移为y2R质子的加速度a沿电场方向ycos 30&

21、#176;at2垂直电场方向ysin 30°v0t解得v0.答案(1)20 cm(2)71(3)v0考点二带电粒子在叠加复合场中的运动带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点(1)受力分析是基础在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件(2)运动过程分析是关键在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的条件(3)构建物理模型是难点根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解【典例2】 如图837所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，M

22、N的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C点处于MN边界上)一质量为0.4 kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为vC m/s，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度vF4 m/s(不计空气阻力，g10 m/s2，cos 37°0.8)求：图837(1)小球带何种电荷？(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；(3)小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与直线AC(或延长线)的交点为(G点未标出)，求G点到D点的距离解析(1)正电荷(2)依题意可知小球在CD间做匀速直线运动在D点速度为vDvCm/s在CD段受重力、电场

23、力、洛伦兹力且合力为0，设重力与电场力的合力为FqvCB又F5 N解得qB在F处由牛顿第二定律可得qvFBF把qB代入得R1 m小球在DF段克服摩擦力做功Wf，由动能定理可得Wf2FRWf27.6 J(3)小球离开F点后做类平抛运动，其加速度为a由2R得t s交点G与D点的距离GDvFt1.6 m2.26 m.答案见解析【变式2】 (2011·广东六校联合体联考)图838如图838所示，竖直平面内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E12 500 N/C，方向竖直向上；磁感应强度B103 T，方向垂直纸面向外；有一质量m1×102kg、电荷量q4×105C的带

24、正电小球自O点沿与水平线成45°角以v04 m/s的速度射入复合场中，之后小球恰好从P点进入电场强度E22 500 N/C，方向水平向左的第二个匀强电场中不计空气阻力，g取10 m/s2.求：(1)O点到P点的距离s1；(2)带电小球经过P点的正下方Q点时与P点的距离s2.解析(1)带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到的重力Gmg0.1 N电场力F1qE10.1 N即GF1，故带电小球在正交的电磁场中由O到P做匀速圆周运动根据牛顿第二定律得qv0Bm解得：Rm1 m由几何关系得：s1R m.(2)带电小球在P点的速度大小仍为v04 m/s，方向与水平方向成45°.由于电

25、场力F2qE20.1 N，与重力大小相等，方向相互垂直，则合力的大小为F N，方向与初速度方向垂直，故带电小球在第二个电场中做类平抛运动建立如图所示的x、y坐标系，沿y轴方向上，带电小球的加速度a10m/s2，位移yat2沿x轴方向上，带电小球的位移xv0t由几何关系有：yx即：at2v0t，解得：t sQ点到P点的距离s2x×4× m3.2 m.答案(1) m(2)3.2 m11.带电粒子“在复合场中运动的轨迹”模型(1)模型概述当带电粒子沿不同方向进入电场或磁场时，粒子做各种各样的运动，形成了异彩纷呈的轨迹图形对带电粒子而言“受力决定运动，运动描绘轨迹，轨迹涵盖方程”究

26、竟如何构建轨迹模型，至关重要首先应根据电场力和洛伦兹力的性质找出带电粒子所受到的合力，再由物体做曲线运动的条件确定曲线形式(2)模型分类“拱桥”型图839【典例1】 如图839所示，在x轴上方有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，一质量为m、电荷量为q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程(重力不计)解析画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥”图形由题可知粒子轨道半径R.由牛顿运动定律知粒子运动速率为v设粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大路程为y，由动

27、能定理知mv2qEy，得y所以粒子运动的总路程为xL.“心连心”型图8310【典例2】 如图8310所示，一理想磁场以x轴为界，下方磁场的磁感应强度是上方磁感应强度B的两倍今有一质量为m、电荷量为q的粒子，从原点O沿y轴正方向以速度v0射入磁场中，求此粒子从开始进入磁场到第四次通过x轴的位置和时间(重力不计)解析由r知粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径r2，所以r12r2现作出带电粒子的运动的轨迹如图所示，形成“心连心”图形，所以粒子第四次经过x轴的位置和时间分别为x2r1tT1T2“葡萄串”型【典例3】 如图8311甲所示 ，互相平行且水平放置的金属板，板

28、长L1.2 m，两板距离d0.6 m，两板间加上U0.12 V恒定电压及随时间变化的磁场，磁场变化规律如图8311乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正当t0时，有一质量为m2.0×106kg、电荷量q1.0×104C的粒子从极板左侧以v04.0×103m/s沿与两板平行的中线OO射入，取g10 m/s2、3.14.求：图8311(1)粒子在01.0×104s内位移的大小x；(2)粒子离开中线OO的最大距离h；(3)粒子在板间运动的时间t；(4)画出粒子在板间运动的轨迹图解析(1)由题意知：Eqq2.0×105N而mg2.0×105N显

29、然Eqmg故粒子在01.0×104s时间内做匀速直线运动，因为t1.0×104s，所以xv0t0.4 m(2)在1.0×1042.0×104s时间内，电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，因为T1.0×104s故粒子在1.0×1042.0×104s时间内恰好完成一个周期圆周运动由牛顿第二定律得：qv0BR0.064 mh2R0.128 m<.所以粒子离开中线OO的最大距离h0.128 m(3)板长L1.2 m3 xt2T3t5.0×104s(4)轨迹如图图83121(2011·大纲全国卷，25)如图

30、8312所示，与水平面成45°角的平面MN将空间分成和两个区域一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入区粒子在区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里求粒子首次从区离开时到出发点P0的距离粒子的重力可以忽略解析带电粒子进入电场后，在电场力的作用下做类平抛运动，其加速度方向竖直向下，设其大小为a，由牛顿运动定律得qEma设经过时间t0粒子从平面MN上的点P1进入磁场，由运动学公式和几何关系得v0t0at02粒子速度大小v1设速度方向与竖直方向的夹角为，则tan 此时粒子到出发点P0的距离为s0v0t0此后，粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为r1设粒子首次离开磁场的点为P2，弧所对的圆心角为2，则点P1到点P2的距离为s12r1sin 由几何关系得45°联立式得s1点P2与点P0相距ls0s1联系解得l答案图83132(2011·安徽卷，23)如图8313所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y