立体几何证明及体积计算

1、立体几何常见证明方法与体积计算张振荣 2016.3.22整理1、线线平行利用相似三角形或平行四边形利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行aabl线面平行Þ线线平行即面面平行Þ线线平行即垂直于同一平面的两条直线平行即2、线线垂直两条直线所成角为90°（勾股定理）；线面垂直Þ线线垂直即三垂线定理及其逆定理 三垂线定理： 三垂线逆定理：两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。3、线面平行定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；线线平行Þ线面平行若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。即 面

2、面平行Þ线面平行若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。即 4、线面垂直线线垂直Þ线面垂直若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。即面面垂直Þ线面垂直abla两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。即两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面。即两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。 即5、面面平行线面平行Þ面面平行若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。即平行于同一平面的两个平面平行即垂直

3、于同一条直线的两个平面平行 即6、面面垂直abaab依定义，二面角的平面角为90°； 练习：1、设a,b,c是空间三条不同的直线，a，b，g是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若是在内的射影，则.其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 45. 已知直线、与平面、，下列命题正确的是 （ ）A且，则 B且，则C且，则D且，则3. 已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A B C D （4）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是，则正方体的表面积是 （A）8 （B）6 （C）4 （D）35已知直线m,n和平面满足,则

4、( ) 或 或61.(2009年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 7设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则5. 三视图侧视与正视 高相等 正视与俯视长相等 侧视与俯视宽相等1如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱底面ABC，其正（主）视图是边长

5、为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）ABC2. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是 俯视图44正视图侧视图434 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A） （B） （C） （D） 立体几何证明1、（将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：平面；5、（将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面；9、如图，在长方体中，、分别为、的中点（）求证：平面；（）求证：平面10、如图所示，四棱锥P-

6、ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E为PC的中点。PAADAB1。（1）证明：（2）证明：（3）求三棱锥B-PDC的体积V。11如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（）求证：/平面；（）求证：；（）求三棱锥的体积12ABCDEP如图，四棱锥PABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB，E为PC中点 (I) 求证：平面PDC平面PAD； (II) 求证：BE/平面PAD 立体几何大题中有关体积的求法角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法1正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和

7、4的矩形，则它的体积为 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）A BC D练习3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为_.4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 来二、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积5例在边长为的正方体中，分别是

8、棱上的点，且满足，（如图1），试求三棱锥的体积6练习（2013年高考江西卷（文）如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=2,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.求点B1 到平面EA1C1 的距离三、割补法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法7例已知三棱锥，其中,求：三棱锥的体积。8练习如图2，在三棱柱中，分别为的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分，已知，求几何体的体积。10四面体的三组对棱分别相等，且依次为

9、，求四面体的体积。巩固练习11. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。(1) 求四棱锥的体积；（2）求截面的面积。12. 如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点. 求多面体的体积. 图313. 如图3，直四棱柱的底面是菱形，其侧面展开图是边长为的正方形。、分别是侧棱、上的动点，问多面体的体积是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求的取值范围 14. 如图，已知中，平面，、分别是、上的动点，且(1)求证：不论为何值，总有EF平面；(2)若，求三棱锥的体积15. 如图，已知是底面为正方形的长方体，点是上的动点试求四棱锥体积的最大值；16. 如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，求专题一：立体几何大题中有关体积的求法1-4略5解：67解：作的中点，连接、，过作，垂足易证即为三棱锥的高，由棱锥体积公式 即得