直角三角形的存在性问题

1、 直角三角形的存在性问题1.（2008年卢湾区第24题）在坐标平面xOy中（如图1），已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点C，且OC2OA（1）求这个抛物线的函数解析式；（2）求点A到直线BC的距离；（3）将ABC沿直线AC翻折，使点B落到点B，连结BB，点Q是BB的中点，在抛物线上是否存在一点P，使QCP是以QC为直角边的直角三角形，如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由2.（2010年浦东新区第24题）如图2，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图像上的一点，且ABP是直角三角形（1）求点P的坐标；（2）如果二次函

2、数的图像经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y轴交于点C，过该函数图像上的点C、点P的直线与x轴交于点D，试比较BPD与BAP的大小，并说明理由图1 图2【满分攻略】上海中考很少考到直角三角形的存在性问题，偶有区县在模拟考中训练一下借第1题（2008年卢湾区第24题），我讲一个重要的策略，就是数形结合思想的典型应用：我们可以用函数的解析式表示图像上点的坐标，用点的坐标可以表示点到坐标轴的距离如图4，图5，二次函数的解析式为，那么抛物线上点P的坐标可以设为在图4中，点P到x轴的距离可以表示为，在图5中，点P到x轴的距离可以表示为，点P到y轴的距

3、离可以用x表示我们先解完这道题，再点拨满分攻略解：（1）由，知.因为，所以，因此，解得.所以抛物线的解析式为.（2）如图3，过点作,垂足为点.在RtBOC中，所以，.在RtBAD中，所以.图3（3），且，OCABCA，点落在轴上,.由于，所以.设点P的坐标为.如图4，当时，过点P作PM轴于点M，则即当时，P与B重合,；当时，解得, 如图5，当时，过点P作PNy轴于点N，则AOCCNP，所以解得（P与C重合，不符合题意）综上所述，满足条件的点的坐标为或或. 图4 图5我们从这道题的解题过程可以看到：1抛物线与x轴的交点A、B的坐标与a(a0)的取值无关由OC2OA，数形结合可以确定点C的坐标，从

4、而确定抛物线的解析式2原题中只给了一个没有刻度的直角坐标系，因此解这道题目的第一障碍是画图3第（2）题求A到直线BC的距离有什么意义呢？由点A的坐标及点A到直线BC的距离，可以判定点A在OCB的平分线上，所以点B落在 y 轴上，OQ垂直平分线段BB，垂足为Q4在抛物线上求点P，抛物线是画不准确的，但是你必须明确这么几点：准确画出A、B、C、B、Q五个点；抛物线开口向下，过A、B、C三点，顶点在第一象限，抛物线与BB的交点在CQ的右侧5分类讨论直角PQC的存在性，按直角顶点分和两种情况6求点P的坐标，关键是构造相似三角形构造的一般策略是过点P向坐标轴画垂线，这样通过数形结合就可以把线段的长用点的

5、坐标表示出来我们来看第2题（2010年浦东新区第24题）第（1）题，如果ABP是直角三角形，第一意识是要分类，凭借直觉和经验，PAB不可能为直角如图6，ABP为直角是显然的，点P与点B的横坐标相同APB为直角真的存在吗？要分三步走：假如存在，列方程，根据方程的解判断是否真的存在当APB90°时，OP是RtAPB的斜边上的中线，OP2设点P的坐标为，由OP24，得解得如图7，此时点P的坐标为（，）第（2）题，又要凭借直觉和经验，当ABP为直角时，经过A、B、P三点的抛物线显然不存在图6 图7第（3）题，直觉和经验更重要，点C在抛物线的对称轴上，如图8，由点C和点P的坐标，可以判断OPC

6、是等腰直角三角形，那么在图9中， 1与2是同角的余角， 而2与3是等腰三角形OAP的两个底角，经过等量代换，得到1等于与3可能初三的同学更容易想到用相似三角形的判定定理2证明DAP与DPB相似(如图9)，计算虽然麻烦，但是好不容易抓住思路了，就不要怕麻烦，仔细一些图8 图9 直角三角形的存在性问题1如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当以C、D、E

7、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标图12如图2，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，b)(b0)P是直线AB上的一个动点，作PCx轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），联结PP、PA、PC设点P的横坐标为a是否同时存在a、b，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由 图23如图3，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直

8、线l的解析式 图3 4在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2x1)的图像交于点A(1,k)和点B(1,k)设二次函数的图像的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值 直角三角形的存在性问题答案1（1）抛物线为（2）直线BC为（3），图1 图2求点P的坐标的步骤是：如图1，图2，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标2如图3，当PAC90°时，四边形PACP是正方形点P的坐标为(4，8)，此时a4，b4如图4，当PCA90°时，B、P、P三点重合，与点P不在y轴上矛盾，故此情况舍去如图5，当APC90°时，PPC是等腰直角三角形，AC2PP4OC所以4OC4OC此时，b2图3 图4 图53（1）A(4, 0)、B(2, 0)（2）如图6，过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了联结GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在