一元二次方程根与系数的关系

1、12.4 一元二次方程的根与系数的关系 中考考点 1理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。 2会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 3会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 1若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。 2以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a0)。 3对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。反之，以x1,x2

2、为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。 4一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。x1+x2=，x1·x2=，x1

3、2+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×= （4）验根、求根、确定根的符号。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。 （6）已知两数和与积，求这两个数。 （7）解特殊的方程或方程组。 考题评析 1(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（ ） （A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2 考点：一元二次方程的根与系数关系。 评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1,x2,满足x1+x2=，x1x2=可直接计算，答案为B。 2(杭州

4、市)若是方程的两个根，则的值为（ ） （A）7（B）1（C）（D） 答案：A 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析思路：由韦达定理知，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。 3（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（ ） （A）（B）（C）（D） 答案：B 考点：一元二次方程 根与系数的关系 评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x1·x2=q，即可确定正确答案为B。 4（辽宁省）已知，是方程的两个实数根，则的值为。 考点：一元二次方程根与系数的关系 评

5、析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a·b= -5。而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原式值为0。 答案：0 5（河南省）关于x的方程，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。 答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得 x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2. 又，=4， =4. 4k2-5k-9=0. 解这个方程，得k1=-1，k2=（不合题意，舍去）. 当k=-1时，原方程的判别式 =b2-4ac=-(5k+1)2-4

6、(k2-2) =(-4)2-4(1-2)=20>0. 所以存在满足条件的负数k，k=-1. 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。 评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意>0。 6（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（ ）. （A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0 答案：B 考点：一元二次方程根与系数关系。 评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：直接计算即得答案。 7（广州市）已知2是关于

7、x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m= . 考点：一元二次方程的根与系数关系 评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。 答案：1 8（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且=2，则m= . 考点：一元二次方程根与系数关系 评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根x1、x2与系数的关系，得x1+x2=2 x1x2=，求的值，代入已知的等式求出。 答案：1 9（河北省）在RtABC中，C=900，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是（ ） （A） （B）（C）5 （

8、D）2 考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系 评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，有a+b=7a·b=c+7，由勾股定理知c2=a2+b2，联立组成方程组求得c=5，斜边上的中线为斜边的一半，故选B。 10（北京市海淀区）已知：关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程有实数根且k为正整数，求代数式的值。 考点：根的判别式，根与系数的关系。 评析：先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。 答案：0 说明学生往往忽略k=1的这种情况：认为一

9、元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑的范围。 11.（河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2, x1·x2的值，然后将求的代数式变形为，最后将x1+x2=-，x1·x2=-代入即可，故选C。 12（哈尔滨市）已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. （1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形.

10、 （2）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求出ABC的周长. 考点：Rt三边关系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系 评析： （1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=(AB+AC)22AB·AC可实现。 答案： k=2或k= -5 注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。 （2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根

11、，三角形的周长可求。 答案：14或16. 注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。 13（安徽）已知方程x2+(1-)x-=0的两根为x1、x2，求x+x的值。 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2、x1·x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变为以上形式，再将x1+x2=-1，x1·x2=-代入即可。 解：由根与系数关系， x1+x2=-1+, x1x2=-, x+x=(x1+x2)2-2x1x2 =(-1)2+2 =3-2+2 =3. 说明：如果先解出根x1、x2，再求出x+x的正确值可以。 14（北京市东城区

12、）已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：先设方程二根为x1、x2，分别求出x1+x2，x1·x2的值，再根据两根的平方和是4，求出k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证0才能确定k的值，此题一些考生忽略0的隐含条件的。 解：设方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x1, x2，那么 x1+x2=k-1, x1·x2=k+1. 由 x+x=4, 得 (x1+x2)2-2x1x2=4. 即 (k-1)2-2(k+1)=4 k2-4k-5=0 解这个方程，得 k=5或k=

13、-1. 当k=5时, =(5-1)2-4(5+1)<0, 原方程无实数根，故x=5舍去. 当k=-1时,=(-1-1)2-4(-1+1)>0, 因此，k=-1为所求。 真题实战 1（常州市）已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根是2，则另一个根是 ，m= 。 答案：-3；1 2（天门市）若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是 。 答案：6 3已知x1、x2是方程x2x1=0的两个根，则的值是（ ） A、1 B、1 C、±1 D、0 答案：B 4（石家庄市）设方程的两根为x1和x2，且，则m等于（ ） A8 B4 C8 D4 答案：C 5（潍坊市）下列方程中，两实数根的

14、和等于2的方程是（ ） A2x24x+3=0 B2x22x3=0 C2x2+4x3=0 D2x24x3=0 答案：D 6（山西省）若方程x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则代数式的值是（ ） A6 B4 C2 D-2 答案：A 7(南昌市)已知方程2x2+kx10=0的一个根是2，求它的另一根及k的值。 解：设方程的另一根为x1，那么 -2x1=-5， 又， k=-1。 答：方程的另一根是，k的值是-1。 8（苏州市）已知关于x的方程x2+(m2)x+m3=0。 （1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1,x2满足2x1+x2=m+1

15、,求m的值。 (1)证明: 无论m取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根. (2)解x1,x2是这个方程的两个实数根, 又2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得x1=2m-1(4) 把(4)代入(1),得 x2=3-3m(5) 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3-3m)=. . 9（南通市）设x1、x2是关于x的方程x2(k+2)+2k+1=0的两个实数根，且x12+x22=11. （1）求k的值； （2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。 解：（1）由题意得x1+x2=k+2，x1·x2=2k+1 ， 又，解得k=±3。 又=-(k+2)2-4(2k+1)=k2-4k， 当k=3时，=-30，原方程无实数解； 当k=-3时，=210，原方程有实数解。 故