小学数学应用题解题技巧与思路

1、小学数学应用题解题技巧与思路直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法， 直接找到解题的途径。【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提 出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件， 与其他的已知条件 搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就 是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。例1兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟 250米的速度追赶弟弟，而狗以 每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即 向弟弟追去

2、，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析(按顺向综合思路探索)：(1)根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？ 可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。(2)根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以 求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。(3)通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。(4)狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。（5）已知狗以每

3、分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。例2下面图形（图2.2）中有多少条线段?A B C D E F Gt I 工 I IE2.2y分析（仍可用综合思路考虑）：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。(1)左端点是A的线段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG 共 6 条。(2)左端点是B的线段有哪些？有 BC、BD、BE、BF、BG 共 5 条。(3)左端点是C的线段有哪些？有

4、CD、CE、CF、CG 共 4 条。(4)左端点是D的线段有哪些？有 DE、DF、DG 共 3 条。(5)左端点是E的线段有哪些？有EF、EG共2条。(6)左端点是F的线段有哪些？有FG共1条。然后把这些线段加起来就是所要求的线段。【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需 要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再 找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题 里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。例1两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速 为每分钟30米，两船在静

5、水中的速度都是每分钟 600米，有一天，两船又分别 从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的 2倍，所以两船相遇的地 点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离。分析（用分析思路考虑）：（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。（2）要求两船的速度和，必要什么条件？两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600 ）米，这是因为顺水船 速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船 速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）（3

6、）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就 是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米，仍不会改变相遇时问，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点 60米，由此可知两船相遇的时间为60 -30=2 （小时）。此分析思路可以用下图（图2.3）表示：例2五环图由内径为4,外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图 2.4）,已知五个圆环盖住的总面积是122.5,求每个小曲边四边形的面积（圆周率九取 3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？曲

7、边四边形的面积，没有公式可求，但若知道 8个小曲边四边形的总面积，则只要用8个曲边四边形总面积除以8,就可以得到每个小曲边四边形的面 积了(2)要求8个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要 把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。(3)要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？求出一个圆环的面积，然后乘以 5,就是五个圆环的总面积。(4)要求每个圆环的面积，需要什么条件？已知圆环的内径(4)和外径(5),然后按圆环面积公式求就是了。圆环面积公式为：S圆环=兀(R2-r2)=r (R+r) (Rr)其思路可用下图

8、(图2.5)表示：【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的在解题时，两种思路常常协同运用， 一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题 的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路 简明实用。例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶， 利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份？分析(用一步倒推思路考虑)：(1)逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键 是要找到什么条件？因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩 2千克水，利用3 + 2=5,就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个

9、2千克水。(2)按条件顺推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3 千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3 千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，这时10千克水桶里有水6千克， 把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，这时7千克水桶里剩水1千克，3 千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，这时10 千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，这时7千克桶里 无水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶 里，10千克水桶里剩下2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里(原有1千 克水)，只倒出

10、2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然 后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因为原有2千克水，这时也正好是 5千克水了。其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示:问题:怎样把10千克水分为5千克而两杯利用3+2=5逆推第一步先倒出一个2千克水条件（单位：千克）10从条件顺推02. T例2今有长度分别为1、2、39厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长

11、有几种组成方法。（2）从条件顺推。因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了 9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一 种组成方法。当边长为8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有 一种组成方法。当边长为9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9; 1+8、2 + 7、 4+5 及 9; 2 + 7、3 + 6、4+5 及 9; 1 + 8、3+6、4+5 及 9; 1+8、2+7、3 + 6 及4 + 5共5种组成方法。当边长为10厘米时，各边分别由1+9、2+

12、8、3+7及4+6组成， 也只有一种组成方法。当边长为11厘米时，各边分别由2+9、3 + 8、4 + 7及5+6组成， 也只有一种组成方法。将上述各种组成法相加，就是所求问题了。此题的思路图如下（图2.8）:问题：能用多少种不同方法从中选用若干条筑段组成正方龙正方龙边长的始度范围第一种边长各有多少种组成法逆推第一步边长的范围 (1+2+T)+4(1+2+9)0 7-11厘米边长为7厘米8厘米9厘米10厘米11厘米正方理,1蛆成数11【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理,直到解决问题，这种解题思路叫还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原 来加的用减、原来减的用加

13、，原来乘的用除，原来除的用乘。运用还原思路解题 的方法叫“还原法”。例1 一个数加上2,减去3,乘以4,除以5等于12,你猜这个数是多少？分析（用还原思路考虑）：从运算结果12逐步逆推，这个数没除以5时应等于多少？没乘以4时 应等于多少？不减去3时应等于多少？不加上2时又是多少？这里分别利用了加 与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案。其思路图如下（图2.9）:条件：一个数一加2 -叵减3 一乘以4 除以5等于国还原 问题，鬲一减2 -叵加3 -叵除以4 -叵乘以502 9例2李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花,喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？分析

14、（用还原思路探索）：李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒 1斗。这样他遇店、见花经过3次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多少？下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。见花前一一有1斗酒。第三次：见花后一一壶中酒全喝光。第三次：遇店前一一壶中有酒半斗。第一次：见花前一一壶中有7S为第二次遇店前的再加 1斗。遇店前一一壶中有酒为第一次见花前的一半。其思路图如下原.酒？一遇店后，X2一遇店前+2一遇花后-14二遇X2二遇 花后三遇r?店后

15、一X2二谓斤1二遇百三曼叵1二避 化刖店前+2.花前iT店前【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解 题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法 去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、 证实的解题思路，叫假设思路。例1中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元。问：损坏了花瓶多少只？分析(用假设思路考虑)：(1)假设在运输过程

16、中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？0.4X1000=400 (元)。(2)而实际只有383.5元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失 5.1元，这就是说损坏一只花瓶比 不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？0.4 + 5.1=5.5 (元)(3)总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶，含有几个 5.5元, 就是损坏了几只花瓶。由此便可求得本题的答案。例2有100名学生在车站准备乘车去离车站 600米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆 45分钟以后，再去离纪念馆900米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟300米

17、和150米，而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？分析(用假设思路思索)； 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为(600 + 900)米。把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟，假设为在公园停留45分钟，则问题将大 大简化。(1)从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时问？中巴：( 600+900 ) +300X2=10 (分钟)大巴：( 600+900 ) +150X2=20 (分钟)(2)中巴和大巴在20分钟内共可运多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分钟，故20分钟可运20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分钟，故20

18、分钟可运25人。所以在20分钟内中巴、大巴共运45人。(3)中巴和大巴20分钟可运45人，那么40分钟就可运45X2=90(人)，100人运走90人还剩下10人，还需中巴再花10分钟运一次就够了。(4)最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运 90人所需的时间，运10人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题， 我们可以想办法将其中一个未知 数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路， 运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路 考虑的。例1师徒两人合做一批零件，徒弟做了 6小时，师傅做

19、了 8小时，一 共做了 312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小 时各做多少个零件？分析（用消去思路考虑）：这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替， 那么师傅8小时的工作量 相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量， 那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换 成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了徒 弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍

20、数关系，也就能求出师傅的工作量了。例2小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4 本练习本、3枝铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5本练习本、4枝铅笔、 2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？分析（用消去法思考）：这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数， 只留下一个未知数就好了。如何消去一个未知数或两个未知数？ 一般能直接消去的就直接消去，不 能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购

21、买的物品排列如下：小明2本2枝2块0.36元小军4本3枝2块0.60元小庆5本4枝2块0.75元现在把小明的各数分别除以2,可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡 皮共0.18元。接着用小庆的各数减去小军的各数，得 1本练习本、1枝铅笔为0.15 元。再把小明各数除以2所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问题， 这就是转化思路。运用转化思路解题 就叫转化法。例1姐妹两养兔100只，姐姐养的？比妹妹养的5多16只

22、，求姐妹两各养兔多少只？分析（用转化思路思索）：题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-16 M=52 （只）根据上面的假设，此题就转化为“姐妹两人共养兔52只.姐姐养的! 等于妹妹养的余，两人各养兔多少只？“这时问题就解i夬了.例2计鼻z1 +_ +11 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3+100.分析（用转化思路分析）：本题求和，题中每个分数的分子都是 1,分母是几个连续自然数的和， 好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数。但是只要我们按 等差数列求和公式，求

23、出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续 自然数积的形式。1 _1_ 2iTT " (1 + 2)X2 " 2X321121 + 2 + 3- (1 + 3)X 3 - 3X4 21 _1_21 + 2 + 3+100- (1 + 100)X100 100X101所以例题可以转化为：+1+ - '1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3+1002 22 、/2"仃？- 213 + 3X4+ 100X101111 1'1X 2 2X3 3X4100X 101，111111 1 1, 2 2 3 3 4 4100 101然后再相加，抵

24、消中间的各个分数即可【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等； 类比 是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。例1有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲 6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒敲完？分析（用类比思路探讨）：有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为 10秒钟敲完，那就完全错了。其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了： 一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点，共需植树（n+1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间

25、看作棵 距，此题就迎刃而解了。例2从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。分析（用类比思路讨论）：本题可以与行程问题进行类比。如图2.11 ,如果用时针1小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。 4为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上 的时间。【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问 题，从而使问题得到解决，这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中 经常用到。例1如图2.12,共有多少个三角形？分析（用分类思路考

26、虑）：这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。本题根据条件，可以分为五类（如图 2.13） o例2如图2.14,象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？分析（运用分类思路分析）：小卒过河后，首先到达A点，因此，题目实际上是问：从 A点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路因为“将”直接相通的注点和K点，所以要求从A点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从 A到P和从A到K各有多少种走法分类。一种走法：A到B、C、D、

27、E、F、G都是各有一种走法。二种走法：从A到H有两种走法。三种走法：从A到M及从A至ij I各有三种走法。其他各类的走法：因为从 A到M、到I各有3种走法，所以从A到N 就有3 + 3 = 6种走法了，因为从A至ij I有3种走法，从A到D有1种走法，所 以从A到J就有3+1=4种走法了； P与N、J相邻，而A到N有6种走法，A 至ij J有4种走法，所以从A到P就有6+4=10种走法了；同理K与J、E相邻， 而A到J有4种走法，到E有1种走法，所以A到K就有4+1=5种走法。再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了。【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出

28、数量之间的内在联系，求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。例1如图2.15的正方形边长是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大 6平方厘米，求CE长多少厘米？分析（用等量代换思路思考）：按一般思路，要求CE的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个 条件都不知道，似乎无法入手。用等量代换思路，我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为内：已知乙二甲+6丙 + 甲=6 >6=36用甲+6代换乙，可得丙+乙=丙+甲

29、+6=36+6=42即三角形ABE的面积等于42平方厘米，这样，再来求CE的长就简单 了。例2有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一 这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？分析（用等量代换的思路来探讨）：这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子 对换一下，那么这个问题就简单多了。出现了下面这个等式。第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（这里指的棋子数）份，则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份，3堆棋 子的总份数自然就出来了。而第三堆黑子占了 2份，白子自然就只有32=1份 了。第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占 全部棋子的几分之几就非常容易了。【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就 是一个数量相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫做对应关系。找对应关系的 思路，我们把它叫做对应思路。例1有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的