第十一章常微分方程

1、第十一章 常微分方程一基本要求1了解微分方程及其解、通解、特解和初始条件、初值问题等概念。2掌握变量可分离方程和一阶线性微分方程的求解方法。3能熟练识别2中两 类方程及齐次微分方程、伯努利方程。在掌握它们的求解方法的基础上领会用变量代换的方法将待解方程化为可分离变量的方程，然后积分求解的思想。4掌握全微分方程的概念及判别全微分方程的条件，学会用曲线积分的方法和分项组合的方法求解全微分方程。5了解积分因子的概念，并能观察出一些简单的微分方程的积分因子，学会用积分因子求一些简单的微分方程的解。6会用降阶法解如下类型的高阶微分方程：。7理解二阶齐次、非齐次线性微分方程解的性质及通解的结构，并能了解阶

2、线性微分方程的通解也有类似的结构。8熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法（特征根法），并会求某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程的解。9掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当右端函数为，时的解法（待定系数法）。其中为实数，分别为次多项式。并会运用叠加原理求右端自由项的二阶常系数非齐次线性微分方程的解。10知道欧拉方程的解法和两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法。11掌握用微分方程解决实际问题的步骤，即：分析题意建立微分方程；确定初始条件（或边值条件）；根据方程类型求解微分方程。二问题解析1所有的微分方程是否都有通解？不一定！微分方程的通解是指含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数

3、相同。例如考虑下列两个微分方程： 此方程显然无解， 此方程仅有一个解由此可见，不是所有的微分方程都有通解。2微分方程的通解是否能包含它的所有解？不一定！例如微分方程因为由得，故所以是的解，又因解中含有一个任意常数，与方程的阶数相同，所以它是通解。但是显然也是微分方程的解，但它不包含在通解中，也就是说在通解中无论C取什么值，都不可能有。这里称作原方程的奇解。奇解的曲线和积分曲线都是相切的。课本中对微分方程的奇解未进行讨论。同学们只要知道这一概念即可。3在求解微分方程的过程中，是否会发生“丢解”和“增解”的现象？应怎样处理？会的。我们通过具体例子来说明这一问题。例如：这是一个可分离变量的微分方程，

4、将方程两边同除分离变量，得假定，两边积分得通解为 但是，事实上也是原方程的解，在分离变量两边同除时“丢失”了。我们可以这样处理，将 变型为 当时，通解 包括了特解，于是原方程的通解可“完整”地表示为 .又例如：求方程满足的特解.将方程分离变量后得两边积分得 代入得故所求微分方程的特解为特解中隐含两个不同的可导函数与，而方程满足的解是，那么在中含有“增解” ，严格地讲“增解”理应舍去。但我们一般不作此要求，而仍将含有“增解”的等式称为微分方程的解。对于解微分方程时，出现的“丢解”和“增解”现象，如果求的是微分方程的通解，我们可以不必计较“丢解”和“增解”现象。而如果是求所给问题的初值问题（一般应

5、是某个应用问题的数学模型），此时，要注意在解方程的过程中是否有丢失的解，并验证这个丢失的解是否适合初值问题。这样问题的答案将是更加准确。4怎样认识微分方程中未知函数和自变量的关系？常微分方程中一般反映的是两个变量之间函数关系的等式。根据隐函数存在定理，方程中两个变量，哪个是自变量，哪个是因变量，这是相对的。微分方程中的，则可以理解为两个微分与之商，根据所给问题，灵活地来确定哪 个做为自变量，哪个做为因变量，这样，往往可使问题迎忍而解。例如：求方程的通解。此题若视为自变量，为因变量 ，便很难处理。反之若将看作自变量，作为因变量，原方程化为：这是一阶线性微分方程。利用公式得 .5一阶微分方程有哪些

6、最基本的类型？基本解题方法和思路是怎样的？一阶微分方程中最基本、最常见的有三种类型，即可分离变量方程、线性方程和全微分方程。其它某些方程往往可以通过变量代换，转化为上述三种最基本的类型。（1）可分离变量及可化为分离变量的方程可分离变量的微分方程形如的方程称为可分离变量的微分方程，两边同除或以达到分离变量的目的。齐次方程形如的方程称为齐次方程。对此类方程；引入代换，则代入原方程，化为，转化为可分离变量的微分方程，其通解为。注：课本里，我们还介绍了一些微分方程可通过变量代换，化为可分离变量的微分方程。（2）线性方程及可化为线性方程的方程线性方程对于未知函数及未知函数的导数为一次的一阶方程称为一阶线

7、性微分方程。其形式为： ， （11-3） （11-4）称为对应于方程（11-3）的线性齐次微分方程，方程（11-3）称为线性非齐次微分方程。方程（11-4）是可分离变量的微分方程，先求出其通解再利用常数变易法，令是方程（11-3）的解，代入（11-3）后求出得可化为线性方程的方程伯努利方程：形如的方程称为伯努利方程。将方程改写为，作变换，化为线性微分方程，其通解为：。（3）全微分方程如果方程的左端是某一函数的全微分，即则称方程为全微分方程，课本上介绍了三种求全微分方程解的方法。即偏积分法、线积分法和分项组合法。同学们可根据方法的特点，选定上述方法求解。求解一阶线性微分方程，判断方程的类型是解题

8、的关键，一般地我们可以选择下面的方法和思路：对于方程先判定是否为可分离变量的微分方程，即是否有，否则可转入下一步。判断是否为全微分方程。若，则为全微分方程；若，继续判别。解出，为一阶线性方程；若为贝努利方程。根据以上思路，判别下面给出的一阶微分方程所属类型：（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）为可分离变量的方程；（2）为齐次方程；（3）为全微分方程；（4）将视为未知函数，而视为自变量，将方程改写为，这是一个线性方程；（5）为线性方程；（6）为伯努利方程。6利用初等积分法解微分方程，是否要注意解的定义区间？应该注意的。我们考察例子这是一个可分离变量的微分方程。分离变量有若x(0, )

9、，取于是有从而得到 即 。注意到也是方程的一个解，通解为： 。如果是在区间（，0）上考虑上述方程的解，那么应当是，同样可以得到上面的通解形式。因此，一般求微分方程的通解，且没有指明要求在哪一区间上求微分方程的通解，上例我们可直接将积分写成，即可一般在求特解时，则要注意到的取值范围。7对于可降阶的高阶微分方程，方程的特点是不显含自变量，令则用=而不用，为什么？因为中不显含，用代换，则=,代入原方程，可将方程化为一个含有关于与的一阶方程： =，从而达到降阶求解的目的。但是若用代换，将得到方程：=，出现三个变元不易积分。8二阶线性齐次微分方程解的结构定理中，如果是的两个线性无关的特解，那么(为任意常

10、数)为该线性齐次方程的通解。这里“线性无关”能否可去掉？为什么？不能去掉。是方程的解，这一性质称为线性齐次方程的叠加原理。但不一定是该方程的通解，这里虽然两个任意常数，但当与线性相关时，两常数就会合并为一个任意常数，因而不是该方程的通解；只有当和线性无关时，是该方程的通解。9对于方程，为什么特解仍设为），而不设为呢？这是因为方程右端虽然仅含，没有，但实际上的多项式因式是0，可以视为0次多项式，根据设特解的规则仍设为）。反之，若设就会导致错误，而求不出正确的解。10在建立微分方程，解决应用问题时要注意什么？用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程、确定定解条件，从而确定出初值问题，最后求解方程这

11、几个主要步骤。由于问题的广泛性在建立微分方程时要涉及多方面的科学知识。因而，有一定的难度。但是在建立数学模型时的基本原则和方法是有共同之处的。即在建立方程时，都首先要从问题中分析出哪些是已知量，哪些是未知量，然后可用以下两种方法建立方程。方法一 从任一瞬时状态寻求未知量的变化率与各个变量和已知量的关系，把变量间应该服从的规律用数学式子表示出来，即表为未知函数的微分方程。方法二 从局部的微小改变中寻求微分与各个变量和已知量的关系，利用微分概念并依据变量间应服从的规律列出方程，这种方法又称为微元法。在建立微分方程时，经常涉及几何、物理、力学、热学、电学及生物、医学、生态、经济等方面的问题。我们经常

12、要注意把握以下几点：（1）把握导数在各个实际问题中的意义由于微分方程中所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率。因此需要注意熟悉用导数表示各种变化率。例如：切线的斜率为=，曲线的曲率为=；速度；电流，另外还经常考虑放射中的衰变率、人口问题中的增长率；经济问题中的边际收入、边际成本与边际利润等。（2）熟悉与问题有关的各种定律、原理、原则等，这里不再一一列举了。（3）按照用微分方程解应用问题的一般方法步骤解决问题。这里值得注意的是，一般来说，我们按照“三步曲”求出微分方程的解之后，还应检查解的合理性，做到所求的解与实际问题的情况相吻合。三习题提示或简解习题 11-1（P230） 3. 证明：因为

13、，所以 ；把，代入微分方程中，可得所以 是方程的解。 又因为微分方程是一阶的，且解含有一个任意常数所以是方程的通解。 解： 把 代入 中有 ，所以， 即特解为。4. 证明：因为 ，所以 ，代入方程 中，可得左边，右边，所以 左边 右边，所以 是方程的解。 又因为方程是一阶的，且解中含有一个任意常数，所以是方程的通解。解： 把 代入 中，有 ，所以 ，所以特解为 。5. 解： 设曲线方程为，则在点 P(x, y) 处的法线方程为。令Y = 0 ，则 ，所以即 。所以曲线所满足的微分方程为。6.解：因为在时间t时的加速度为，所以 ，对上式两边积分得 对上式两边再积分得因为 t0 时，x0；t1时，

14、所以 ，解得 所以位移x与时间t得函数关系为。习题 11-2 （P247） 1-8题从略 9. 证明：令，则 ， 因为，所以将代入可得整理得 即化为变量可分离方程，方程两边积分可得 即把 v=x y代入上式可得原方程通解为 10. 证明： 因为，则 ，并且，代入中，可得 即可变成可分离变量的方程。解：令，则，并且，代入中可得，对最后一个式子两边积分可得 将代入得通解为 11.证明：因为，则，把及代入方程，得即 得证。 解：两边同乘以得，整理得令，则 代入上式得 式对应的齐次方程为 即 两边积分 所以齐次方程的通解为用常数变易法求的通解，令代入中可得 得故的通解为代会 ，得原方程的通解为 解：令

15、，则 代入上式可得 进而有，并且有 ，两边积分得所以，即 将代入得原方程得通解为12. 解： 设，则，即，解之得. 设，则，即，解之得. 设，则，解之得. 设，则，解之得. 设，则，解之得. 设，则，即， （1）这是一个非齐次线性方程，其对应得齐次方程为，即，两边积分得，所以齐次方程的通解为用常数变易法求方程（1）的通解，设，代入方程（1）得，所以故方程（1）的解是代回得原方程的解 .13.解： 由知 ，上式两边对x求导得，整理可得，等价于，这是一阶非线性方程，解得，由得，所以. 16. 证明：要证的积分因子是，设， 即证 是全微分方程，即证满足条件，因为所以，因此得证。解：在方程两边乘，得

16、由于所给方程为全微分方程，所以存在函数，且，由此式两边对x积分得 ，将上式对y求偏导，可得，从而可得 .即 ，解之得 .17.证明：即证是全微分方程。设，因为所以 ，从而得证。18.解：要使曲线积分与路径无关，只需 成立，解之可得 因为曲线积分与路径无关，所以可得 习题 11-4 （P265）9. 解：对 ，关于x求导得：再对x求导得 ，整理得 故原问题转化为求解 解得 。习题 11-6 （P270） 1. 解：由，解得，代入条件t0时，R；t1600时，R，从而。所以镭量与时间t的函数关系为 . 2. 解：设质量为m，速度为v，由题意可得 ，解之得，代入初始条件：t0时，v0，得，所以降落伞

17、下落速度与时间的函数关系为.3. 解：由题意得 解得 .代入初始条件：t0时，v，得，所以滑行速度与时间t的函数关系为 . 4. 解：设离地高度为r则由题意列出方程组利用代换可得 ，则 . 于是方程组转化为 解得 当r0时， . 5. 解：设曲线的方程为，由题意得两端对x求导数，并化简，可得解得 ，代入条件：x2时，得，故曲线的方程为 .6. 解：由，可得 ，所以 ，由曲线在点的切线斜率为，得，所以解得 ，又曲线过点，代入可得，所以 .又处处可导，且曲线过点，故曲线方程为 . 7. 解：设曲线的方程为，由题意得初始问题 ，再由条件可将方程化简为 .解得 . 8. 解：设曲线偏离平衡位置以下得距

18、离为x，则由题意可列方程， 解得 9. 解： 设t时刻链条滑下得距离为s，则，即 令，则，于是问题转化为， 其中 ，从而解得 ，当时，。 设t时刻链条滑下的距离为s，则， 即 令，则，于是问题转化为， 其中 。从而，当时，。第十一章 总习题（P284）1 选择题（1）解 （I）、（II）显然是可分离变量的微分方程，而方程（III）可变形为，古方程（III）是线性微分方程。故正确选择（C）。（2）解 由题意，所求曲线上任一点处切线的斜率为 积分得 ，所以原方程的通解为又因为该曲线过原点，故可得，所以该曲线的方程是 。故正确选择（A）。(3) 解 已知函数y(x)满足微分方程 是一个齐次微分方程，

19、令即y=xu,原方程化为，分离变量 ，两边积分得，即，所以原方程的通解为 当x=-1时，y=-1，因为微分方程，仅在且时，才有意义（即x与y同号时，才有意义），现x=-1<0,所以必有y<0, 故正确选择（A）。（4）解 已知函数满足的微分方程是一个贝努利方程。令，将原方程化为一解线性非齐次微分方程，可利用常数变易法解上式方程，得通解为。于是,原方程的通解为，又由已知，当x=1时，y=1,故得c=0,于是有，在x=e时，有，即可得。故正确选项（B）(5)解 所给方程是一个不显含x的二阶微分方程，利用降解法 令，则，于是原方程化为，这是一阶可分离变量的方程，积分求解得，即有，分离变量

20、，两边积分得，由条件 得于是有 ，则当x=2时，。故正确选择（D）(6)解 因为二阶常系数非齐次方程对应的齐次方程的通解为，又是方程的一个特解，所以通解为，又因为，则故有，于是得即得，即。故正确选择（B）(7)解 因为所给微分方程的特征方程为，所以特征根。所以微分方程的特解为，而微分方程的特解为。故正确选择（D）(8)解 所给微分方程的特征方程是，因此特征根是，从而非齐次线性方程的特解形式，代入微分方程，取出待定的常数。故微分方程的通解为，又由题意 可得出，所以。故正确选择（C）(9)解 因为曲线所满足的微分方程为，这是一个可分离变量的微分方程。分离变量，两边积分得，所以有，即，又由题意当x=

21、0，y=-2。所以c=3。故得到 。故正确选择（C）(10)解 由二阶线性齐次方程解的叠加性知： （为任意常数）是微分方程的解。故正确选择（C）。2 填空题(1)解 因为所给微分方程为所以可将微分方程变形为，这是可分离变量的微分方程。其通解为。(2)解 因为所给微分方程为，将方程中x视为未知函数，而y视为自变量得即这是一个一阶线性非齐次微分方程。其通解为。(3)解 因为所给微分方程可变形为即，令，所以，代入上面的方程，原方程化为，即，分离变量得，两边积分，所以，于是得。(4)解 令y=f(x)得，这是一个全微分方程，因为，此时原方程可写为，所以，这是一个可分离变量的一阶方程，即。分离变量得，两

22、边积分所以，故，即。(5)解： 以为通解的二阶常系数线性齐次方程为，故可设所求方程为，把y=sinx代入得，从而所求方程为。3提示：将原方程直接分离变量，即分求通解。注意y=0是求积分时丢掉的一个解，且不含在通解中。(1) 提示：将原方程化为线性方程的标准形式。(2) 提示：将x是为未知函数，则原方程化为线性方程。(3) 提示：令，将原方程变为这是关于u 的一阶线性微分方程。(4) 提示：令，则，代入原方程得，这是贝努利方程，可令，可化为一阶线性微分方程。(5) 提示：原方程是常系数线性齐次微分方程。(6) 提示：原方程是常系数线性非齐次微分方程。易求得对应的齐次方程的通解为，而右端函数，记，

23、利用待定系数法分别求出特解即可。(7) 提示：原方程为常系数线性非齐次微分方程。4略。5解 由题设可知，当x=0时，有y(0)=0,将积分方程两边对x求导得这是一个一阶线性微分方程，即，解之得，又x=0时，y(0)=0得c=-2，所以。6解 将积分方程，两端对x求导得，且当x=0时，。分离变量并积分得，代入,得c=ln2,所以为所求。7解 将积分方程两边对x求导得，且x=1时，。记有，将y视为自变量，方程化为，这是一个贝努利方程，令则方程化为，解之得即，亦即，由得，故所求是确定的隐函数。8解 由全微分方程的充要条件知，即，这是常系数线性非齐次微分方程。解之得，由，则。从而，于是原方程变为，其通

24、解为，(c为任意常数)。9解 当x<1时，有，其通解为(x<1),由得，所以。当时，有，其通解为,由于y(x)在x=1连续，从而得，故，即，于是补充定义函数值，则得在上连续的函数。10解 由已知，令y=0得，即，既有。固定x，在等式两边关于y求导，得令y=0,得，于是问题转化为求解。令即，分离变量，两边积分得，由得c=0，所以，即为所求。11解 由题设，两边对x求导得，又，即得初值问题，令即有，分离变量，两边积分得，由得c=0，故，即。12解 设M的坐标为(x,y),则切线MA的方程为 ，令则，故点A的坐标为，由，则有，化简得，这是贝努利方程。令，则方程化为，求解得，即，由y>

25、;0,故。又因为L过，故由得，所以L的方程为。13解 设所求曲线方程为，由题意得积分方程：两边对a求导得，这是一个关于y, a的可分离变量的微分方程，分离变量得，所以，即 ，又因为y(3)=2, 既有c=-3，所以。故所求的曲线方程为。14解 设曲线方程为 ，其上点处的切线方程为：，令x=0，得y轴上的截距，由题意有，即，两边对x求导得整理得，从而，积分得（为任意常数 ）。15解 依题意建立初值问题 ，解方程，积分后得。16解 设所求曲线方程为，由题意得 ，方程两边求导得，整理得，这是可分离变量的微分方程。分离变量后两边积分得，由y(1)=1得c=1,故所求曲线为。17解 设船行驶的航线为，航

26、线与水流线在点P的切线与x轴的交角分别为，则，由得，而，由得，这是一个齐次方程，解得航线为所求。18解 根据题意，建立初值问题 （*）方程（*）为常系数线性微分方程。解之得 ，由得，所以 。四提高训练题1.填空题：（1）微分方程的通解为_. (2)微分方程的通解为_. (3) 设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_.（4）微分方程满足初始条件的特解是_. 2选择题：（1）设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限（A）不存在 （B）等于1 （C）等于2 （D）等于3（2）已知是微分方程的解，则的表达式为（A） （B） （C） （D） 3（96，6分

27、）求微分方程的通解. 4.（97，5分）已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程. 5（95，8分）设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解. 6（96，8分）（1）求初值问题的解，其中为正常数； （2）若，证明当时有. 7（95，6分）已知连续函数满足条件，求. 8（02，7分）（1）验证函数满足微分方程； （2）利用（1）的结果求幂级数的和函数. 9（03，12分）设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解.10.（03，9分）设，其中函数在内满足以下条件：，且 （1）求所满足的微分方程

28、； （2）求出的表达式.11设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线的方程，并求函数的极值.12（99，6分）设函数二阶可导且.过曲线上任一点作曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积为，区间上以为曲边的曲边梯形的面积为，并设恒为1，求此曲线的方程.13（01，9分）设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点.（1） 试求曲线的方程；（2） 求位于第一象限部分的一条切线，是该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小.14（03，9分）设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，点为

29、在轴上的投影，为坐标原点. 若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，求的表达式.15（03，12分）设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长.16设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数，且对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有=0，求函数的表达式. 17（03，10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆半径为2. 根据设计要求，当以3的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无

30、液体）.（1）根据时刻液面的面积，写出与之间的关系式；（2）求曲线的方程.（注：表示长度单位米，表示时间单位分）提高训练题解答1 填空题：（1）解：应填因为原方程对应的齐次方程的特征方程为,的通解为.设齐次方程的特解代入原方程得比较两端的同次幂系数得于是，所求方程的通解为（2）解：应填为.因为原方程对应的齐次方程的特征方程为的通解为.不是特征方程的特征根，故设非齐次方程的特解于是代入方程得，所以，于是得，所求方程的通解为.（3）解：应填为.因为分析通解的形式知为特征值，据此故所求的二阶常系数线性齐次微分方程是.（4）解：应填为.因为所给方程属于不显含的可降阶的高阶微分方程，令代入原方程化为，即

31、. （）所以，两边积分得，即 .所以，分离变量两边积分得由得，再由得，所以所给问题的特解为或.2 选择题：（1）解：是二阶常系数微分方程满足初始条件的解，即有，所以正确的选择是（C）.（2） 解：因为是微分方程的解，所以，故，而，.正确的选择是（A）.3解：令，则.当时，原方程化为其通解为，换回原变量得 当时，原方程的解与相同.4解：由题设与是相应齐次方程两个线性无关的解，且是非齐次方程的一个特解，故此方程是.将代入上式得，所以，所求方程是.5解：将代入原方程得，解出，代入原方程得.解其对应的齐次方程，有，得齐次方程的通解为. 所以原方程的通解为.由得，得.所以所求的特解为.6解：（1）原方程的通解为,其中是的任一