将军饮马问题的11个模型及例题

1、将军饮马问题问题概述班出二.路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题fI-、/ 二 I -【-l-l I I月.有 cs aflasa 和 c-j jes eles 一一 一一一二一一 一 一 44 *1 弓 & A. ” 一一 一 - - 二三 si-' - >41'= 彳 U' 一 一 一 刀依办理1.两点之间，线段最短；2,三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线 l上找一点P,使PA+PB的值最小解：连接A

2、B交直线l于点P,点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段 AB的长度理由：在l上任取异于点 P的一点P',连接AP，、BP，在 ABP中，AP' +BP' >AB,即 AP' +BP ' >AP+BP. P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. flu qhAa2,2.已知：如图，定点 A和定点B在定直线l的同侧I Hi一1 要求：在直线 l上找一点 P,使得 PA+PB值最小（或 ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点 A',连接A' B交l于P,/点P即为所求；/1人 /卜、/ 理由：根据轴对称的性质知直线

3、l为线段AA'的中垂线，:产由中垂线的性质得：PA=PA ',要使PA+PB最小，则需PA ' +PB值最小，从而转化为模型1.3.g已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等） 要求：在直线 l上找一点 P,使I PA-PB |的值最大解：连接BA弁延长,交直线l于点P,点P即为所求；理由:此时PA-PB连接AP'、BP在l上任取异于点P的一点P ',由三角形的三边关系知<AB,即P ' A-P ' BPA-PB4.已知：如图，定点 A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l

4、上找一点P,使I PA-PB |的值最大解：作点B关于直线l的对称点B',连接B' A弁延长交于点P,点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB'的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB ',要使| PA-PB |最大，则需I PA-PB ' |值最大，从而转化为模型 3.别为线段 AB、OB的中点， 点P为OA上一动点， 当PC+PD最小时,点P的坐标为 ,止匕时 PC+PD的最小值为 .典型例题1-1如图，直线 y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分接CD'交x轴于点P,此时PC+PD 值最小，由条件知 CD为 BAO的中

5、位线，OP为 CDD'的中位线，易求 OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算【分析符合基本模型2的特征，作点 D关于x轴的对称点D',连【解答】连接CD ,作点D关于x轴的对称点 D',连接 CD'交x轴于点P,止匕时 PC+PD值最小.令 y= x+4中x=0,贝U y=4,点B坐标0, 4);令 y= x+4 中 y=0 ,则 x+4=0 ,解得:x= 6, 点A的坐标为（-6, 0）.二.点C、D分别为线段 AB、OB的中点,CD为乙BAO的中位线, .CD / x 轴，且 CD=

6、12 AO=3 ,点D'和点D关于x轴对称，O为DD '的中点,D' ( 0, -1 ) ,. OP 为乙 CDD 的中位线，_ OP=1n CD=32 ,.，点P的坐标为（- 二,0） .在Rt CDD '中,CD' =v'CD 2+D D 2 =V32 +42 =5,即 PC+PD 的最小值为 5.【小结）还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线 CD '的解析 式，再求其与x轴的交点P的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0, 1 ）,点B的坐标为（-2

7、）,点P在直线y= - x上运动，当|PA - PB|最大时点 P的坐标为 , |PA - PB|的最大值是 .【分析】符合基本模型 4的特征，作 A关于直线y= - x对称点C ,连接BC ,可得直线BC的方程；求得BC与直线y= - x的交 点P的坐标；此时|PA - PB|=|PC - PB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值【解答】作A关于直线y=- x对称点C,易得C的坐标为（-1, 0）;连接BC,可得直线BC的方程为y= - 54 x- 54 ,与直线y= - x联立解得交点坐标 P为（4, - 4）;此,时|PA-PB|=|PC - PB|=BC 取得最大值，最

8、大值BC=（23+1）2 + 7 2）2=的；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点，连线得交点变式训练1-1已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A （ 5, 0）,OB=4 ，点P是对角线 OB上的一个动点，D （ 0, 1）,当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A. (0, 0)（1尸）C.D .(一, 一)Ad1变式训练1-2如图，菱形 ABCD中，对角线 AC和BD交于点O, AC=2 ,BD=2 ,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则 PE+PB的最 .变式训练1-3如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y= x

9、2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点 M,使|AM - MC|的值最大，求出点 M的坐标.拓展模型1.要求：在射线的值最小.AP+PQ解:西时，AP+PQ 最小;2.AP+PQ的值最小.已知：如图， A为锐角/ MON内一定点；OM上找一点P ,在射线ON上找一点Q, 要求：在射线 使已知：如图,A为锐角/ MON外一定点；OM上找一点 P ,在射线 ON上找一点 Q ,A作AQ ± ON于点Q , AQ与OM相交于点 P ,此理由：AP+PQ呈AQ,当且仅当A、P、Q三点共线时,A

10、P+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短，当AQ± ON时，AQ最小.解：作点 A关于OM的对称点A',过点 A'作 AQ± ONA3.于点Q, A' Q交OM于点P,此时 AP+PQ最小;理由：由轴对称的性质知 AP=A' P,要使 AP+PQ最小,只需A'P+PQ最小，从而转化为拓展模型1已知：如图,ON上找一点Q ,要求：在射线解：分别作 A点关于直线 OM的对称点Ai,关于ON的对称点A2,连接 A 1A2交OM于点P,交ON于点Q,点i24.B'四点共线时,A为锐角/ MON内一定点; OM上找一点P ,在射线 使AP

11、QB的周长最小点共线时，其值最小 APQ的周长最小P和点Q即为所求，此时 APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=AP, AQ=AQ, APQ的周长 AP+PQ+AQ=A iP+PQ+A 2Q,当 Ai、P、Q、A2 四已知：如图， A、B为锐角/ MON内两个定点;要求：在 OM上找一点P ,在ON上找一点 Q,使四边形解：作点A关于直线OM的对称点A',作点B关于直线ON的对称点 B',连接 A' B'交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值即为线段 AB和A' B'的长

12、度之和;理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA',将QB 转化为 QB ',当 A'、P、Q、PA' +PQ+ QB '的值最小，即 PA+PQ+ QB 的值最小.5.搭桥模型已知:如图，直线m II n,A、B分别为 m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求:分析:PQ为定值，只需 AP+BQ最小,可通过平移，使的方向，向下平移至点A ',使得 AA' =PQ ,连接A' B交直线n于点Q,过点Q作PQ±n,交直线 m于点P,线段PQ即6.AP+BQ最小，PQ长为定值，此时 AP+PQ+BQ最小.分析：

13、PQ为定值，只需 AP+QB的值最小，可通过平移,当B、Q、A'三点共线时， QA' +BQ最小，即要求：确定 PQ的位置，使得 AP+PQ+QB最小为所求，此时 AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA '为平行四边形，则 QA' =PA,解：如图，将点 A沿着平行于 PQ已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为 a（a 为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）P、Q “接头”，转化为基本模型在 m、n之间求作垂线段PQ,使得 AP+PQ+BQ 最小.AA' =PQ=a,连接A' B交直线l于点Q,在l上截取PQ=a （ P在Q左

14、边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB 的最小值为 A' B+PQ，即 A，B+a理由：易知四边形APQA '为平行四边形，则 PA=QA，当A'、Q、PQ长为定值此时 PA+PQ+QB值最小.最小，又7.（a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）使P、Q “接头”，转化为基本模型B三点共线时， QA ' +QB最小，即 PA+QB解：将点 A沿着平行于l的方向，向右移至A使已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度 a要求：确定 PQ的位置，使得 四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需 AP+PQ+QB最小，通过作A点关于l的对称点，转

15、化为上述模型3解：作A点关于l的对称点 A',将点A'沿着平行于 l的方向，向右移至A'',使A' A' ' =PQ=a,连接A' B交l于Q,在l上截取 QP=a （ P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值为A' B+AB+PQ，即 A' ' B+AB+a典型例题2-1如图， 在矩形 ABCD中，AB=10, BC=5,若点M、N分别是线段 AC、OAB上的两个动点，则 BM+MN的最小值为.，埠【分析】符合拓展模型 2的特征，作点 B关于AC的对称点 E,再过/点E作AB的垂线

16、段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借,助等面积法和相似可求其长度【解答】作点B关于AC的对称点 E,再过点 E作EN± AB于N,则BM+MN=EM+MN ,其最小值即 EN长；: AB=10, BC=5, AC= JAB2 , BC2 =5 广，V *V等面积法求得AC边上的高为 =5=215",BE=4 g,5-5易知 ABCA ENB ,代入数据解得EN=8 .即BM+MN的最小值为 8 .【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-

17、2如图，/ AOB=60，点P是/ AOB内的定点且OP=J5，点M、N分别/不，是射线OA、OB上异于点。的动点，则/PMN周长的最小值CH=*OH=么CD=2CH=3 .即 PMN周长的最小值是 3;故选：D.【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB M、N,此时 PMN周长最小，其值 CD长；根据对称性连接OC、OD,于为分析条件知OCD是顶角 120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.为【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图，贝U MP=MC , NP=ND , OP=

18、OD=OC= , / BOP= / BOD , / AOP= / AOC ,. PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC , / COD= / BOP+ / BOD+ / AOP+ / AOC=2 /AOB=120 °，.二此时 PMN周长最小，作 OHLCD于H, 1【小结】根据对称的性质，发现OCD是顶角为120 的等腰三角形，是解题的关键，也是难点典型例题2-3如图， 已知平行四边形 ABCO ,以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D, AD=2 , OC=6 ,/ A=60 ° ,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线， 点P为 线段EF

19、上的动点，PM ± x轴于点M点，点E与E'关于x轴对 称，连接BP、E' M.(1)请直接写出点 A坐标为，点B坐标为；(2)当BP+PM+ME '的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】(1)解直角三角形求出 OD, BD的长即可解决;(2)符合“搭桥模型” 的特征；首先证明四边形OPME 是平行四边形，可得OP=EM , PM是定值，PB+ME ' =OP+PB的值最小时，BP+PM+ME '的长度最小，此时 P点为【解答直线 OBEF的交点，结合 OB的解析式可P与得(1)在 Rt ADO '得./ A=60, AD=2 ,V-

20、3|W O. OD=2?tan60 =2 , A (- 2, 2),二.四边形 ABCO是平行四边归AB=OC=6 ,If 口DB=6 2=4 B 4 2(2)如图，连接OP. 丁 EF垂直平分线段 OD, PM± OC,点坐标;./ PEO=%Z：EOM= / PMO=90 ° , 四边形 OMPE 是矩形，PM=OE= , = OE=OE ' ,PM=OE ' , PM /OE' , 四边形OPME'是平行四边形则 CH=DH ,/ OCH=30 , . OH= OC=. OP=EM , 丁 PM是定值，PB+ME ' =OP+P

21、B的值最小时， BP+PM+ME '的长度最小,x,当O、P、B共线时，BP+PM+ME '的长度最小，二直线 OB的解析式为 y=J 3. P (2,【小结1求没有公共端点的两条线段之和的最小值,般通过作对称和平移(构造平行四边形)的方法，转化为基本模型典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt AOB的顶点坐标分别为为A( 2, 0),O( 0, 0), B ( 0,4),把 AOB 绕点 O按顺时针方向旋转90° ,得到 COD .JfV 0(1)求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；/f"一 '(3)在(2)中

22、抛物线的对称轴上取两点E、F (点E在点F 孤 0门的上方)，且EF=1 ,使四边形ACEF的周长最小，求出E、 F两点的坐标.【分析】符合拓展模型 7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】(1)由旋转的性质可知：OC=OA=2 , OD=OB=4,，C点的坐标是(0, 2) , D点的坐标是(4, 0) ,j(2)设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,5f 、4a-2b+c=0 rI '由题意，得16a+4b+c=0由c=4I一 | j解得 a=- -，b=1 , c=4 ,所求抛物线的解析式为y=- -

23、2；(3)只需AF+CE最短，抛物线 y=- 2的对称轴为 x=1 ,将点A向上平移至Ai (- 2, 1),则AF=AiE,作Ai关于对称轴x=1的对称点A2 ( 4, 1),连接 A2C, A2c与对称轴交于点E, E为所求，可求得A2c的解析式为y=- ，当x=1时，y= 7 .点 E的坐标为(1, 一 )，点F的坐标为(1, ) .一【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中，作对称和平移的顺序可互换变式训练2-1几何模型：条件：如图 1, A, B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线 l上确定一点 P,使PA+PB的值最小.方法：作点 A关于直线l的对称点 A',连

24、接A' B交l于点P,即为所求.(不必证明) 模型应用：(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A( 0, - 1)和B( 2, - 1), P为x轴上一动点，则当 PA+PB的值最小是点 P的横坐标是，此时 PA+PB= .(2)如图3,正方形 ABCD的边长为4, E为AB的中点，P是AC上一动点，连接 BD ,由 正方形对称性可知， B与D关于直线 AC对称.连接 ED交AC于P,则PB+PE的最小 值是(3)如图 4,在菱形 ABCD中，AB=10 , / DAB=60 ° , P是对角线 AC上一动点，E, F分别 是线段 ABBC上的动点，PE+PF的最小值是和

25、则(4)如图5,在菱形 ABCD中，AB=6, / B=60 ，点 G是边CD边的中点， E. F分别是 点 AG, AD上的两个动点，则 EF+ED的最小值是 .变式训练2-2y2/如图，矩形 ABCD中，AD=15 , AB=10 , E为AB边上一点，且DE=2AE ,连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点，连接 EP、PQ和QF;则四边形EPQF周长的最小值是.变式训练2-3如图，已知直线 l / l , l、l之间的距离为8,点P到直线l的12121距离为6 ,点Q到直线l 2的距离为4, PQ=4，田赢线l i上有一动点A,直线l 2上有一动点 B,满足

26、 AB，l 2,且 PA+AB+BQ 最小，此时0PA+BQ=.变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形 OABC的边OA在y轴的正半轴上， OC在x轴的正半轴上， OA=AB=2 , OC=3 ,过点B作BD ± BC ,交OA于点D .将/ DBC绕点B按顺 时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、 x轴的正半轴于点 E和F.（1）求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q （点Q在点P的上方），且PQ=1 ,要使四边形BCPQ的周长 最小，求出P、Q两点的坐标.中考真题

27、1.要在街道旁建奶站，向居民区 距离之和最短？小聪以街道为3） , B点坐标为（6, 5）,A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A、B两点到奶站距离之和的最小值是A、B到它的A点坐标为 （0,则2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4, 5）,D是OB的中点，E是OC上的一点，当ADE的周长最小时，点 E的坐标是（）A. ( 0, 4)B. ( 0,旦)C. ( 0, 2)D. ( 0, 103.如图，在矩形 ABCD中，AB=5, AD=3 ,动点P满足 SA pab=1 s矩形ABCD，则点 P到A、B两点距离之和 PA+PB的最小值为(A

28、.B.C. 54.已知抛物线y=N"x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0, 2)的距离与到x5.如图,因y=4 X2+1上一个动点,轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为则 PMF周长的最小值是(C . 5A. 3B.4都在双曲线点 A ( a, 3) , B (b, 1)y=上，点C, D,分别是D. 6x轴，y轴上的动点,则四期竹ABCD周长的最小小QA.B.6.如图， 在 RtA ABC 中，/ C=90, AC=3 ,C.BC边上的动点，则 AE+DE12D、E分别是AB、BC=4 ,的最定值为024C.A.B.5D.D, E分别是边 BC, AC上的动点,B

29、AC=90 , AB=3 ,AC=6 ，点7.如图，RtA ABC 中，贝U DA+DE的最/4值为8.如图，等腰 ABC垂直平分线，若点的底边D在BC=20 ,面积为EG上运动，则A120，点F在边BC上，且 BF-3FC , EG是腰AC的CDF周长的最小值为9.如图，菱形 ABCD是的边长为6, / ABC=120,M BC边的一个三等分点，P是对角线 AC)上的动点，当 PB+PM的值最小时，PM的长是(CA,肛2D.卜4B. "7如图，在 RtA ABC 中,/ ACB=90 ° , AC=6 , BC=8 , AD 平分/ CAB 交 BC 于 D 点，E, F

30、 10.分别是AD, AC上的动点，则 CE+EF的最小值为(4015检如的最小值是()D. 213.如图，已知抛物线 y= x2+bx+c与直线y=0胆12.如图， ABC中,AC=BC=2 , AB=1 ,将它沿 AB翻折得到的形状是一吟P、 E、F分别为线段 AB、AD、DB上的任意点，则 PE+PF的最小值是x+3连接 AC、BC ,已知 A ( 0,3), C (- 3, 0)(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB - MD|的值最大，弁求出这个最大 值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接A. 6ABD,贝U四边形 ADBCHI交于A, B两点，交

31、x轴于C、D两点,PA,过点P作PQ± PA交y轴B.于点Q,问：是否存在点P,使得以相似？若存在，请求出所有符合条件的点A, P, Q为顶点的三角形与 ABCP的坐标；若不存在，请说10C. 23J45A.B.C.D. 6二X11.如图， 在平面直角坐标系中，反比例函数y=( x>0)的图象与边长是 6的正方形 OABC的两边AB, BC分别相交于 M, N两点. OMN的面积为10.若动点 P在x轴上，则PM+PN明理由.14 .如图，在四边形 ABCD 中，/ B=Z C=90 ° , AB> CD, AD=AB+CD .(1)用尺规作/ ADC的平分线

32、DE,交BC于点E,连接AE (保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，证明：AE ± DE;若CD=2 , AB=4，点M, N分别是 AE , AB上的动点，求BM+MN的最小值.15 .如图，抛物线 y=ax2+bx+c ( a中 0)经过点 A (- 1, 0) , B ( 3, 0) , C ( 0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC, N为抛物线上的点且在第四象限，当Sanbc=Sa abc时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点 C作直线l / x轴，动点 P ( m, 3)在直线l上，动点Q ( m,0)在x轴上，

33、连接 PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM+PQ+QN 的和最小，弁求出 PM+PQ+QN 和的最小值.216 .如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点 C,过A, C两点的二次函数y=ax +4x+c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC,点N是线段BC上的动点，作 ND ± x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y=ax 2+4x+c图象的顶点，点 M ( 4, m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F, E,使四边形 HEFM的周长最小，求出点 F, E的坐标.r,ff J17.如图1 ,已知抛物

34、线y= ( x- -2) ( x+a) ( a> 0)与x轴从左至右交于 A, B两点，与y轴交于点 C.(1)若抛物线过点 T ( 1,-与)，求抛物线的解析式；4(2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.(3)如图2,在(1)的条件下，点 P的坐标为(-1, 1),点Q (6, t )是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点， 且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形 PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标., IIVI18 .如图，对称轴为直线 x=2的抛物线经过 A (- 1, 0) , C ( 0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已知 M ( 0, 1) , E (a, 0) , F (a+1, 0) , P是第一象限内抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，弁求此时点P的坐标；(3)若 PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF周长最小？请说 明理由.19 .探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系