寿险精算习题及答案讲解学习

1、习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1 设有100个40岁的人投保了 1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。解：I表4 T死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值(1)(2)(3) =1000*(2)(4)(5) =(3)*(4)1110001.03 1970.872220001.03 21885.193330001.03 32745.434440001.03 43553.955550001.03 54313.04合计1500013468.4

2、8根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：1000 (1 1.03 1 2 1.03 2 3 1.03 3 4 1.03 4 5 1,03 5) 13468.48 (元)则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的定缴纯保费。解：II表4 2死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值(1)(2)(3) =1000*(2)(4)(5) =(3)*(4)11000* q40 =1.65016501.03 11601.9421000* 1040 =1,80918091.03 21705.1631000* 240=1.98619861.03 31817.4

3、741000*q40 =2.18121811.03 41937.7951000* 4040=2.39123911.03 52062.50合计100179124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为:212345、1000(q40 1.03科40 1.0321q40 1.0331q40 1.0341q40 1.03 ) 9124.86则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的定缴纯保费。【例4.2】某人在40岁时投保了 10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末， 利率为5% 根据93男女混合表计算：、（总）强缴纯保费;I、单位定缴纯保费；II、单位赔付现值

4、期望的方差；III单位定缴纯保费为,2 kvk 01 收0(vq4023v 1|q40v2g40)(vq4023、v P40q41v 2 P40q42)0.00165 1.05(1 000165)1.0520.001812(1 0.00165)(1 0.001812) 0.0019931.0530.00492793 （元）。II、单位赔付现值期望的方差为,A40:3 1( A40:31)22(k 1), / 1、2/ 24v k|q40(A40:31) (v q40 v1处。0v6200) (A10:31)20.00444265III 、定缴纯保费为,10000 A40,3，49.28 (元)

5、40: 3【例4.3】某人在50岁时投保了 100000元30年期定期寿险，利率为8%假设x lx 1000（1 ），计算定缴纯保费。105解：定缴纯保费为,100000291000001.080(k1)k P50q 50 kl50 k k P50l 5055 k，q5055l 50 k151k1 50 k155 k故，100000。29100000 1.08 (kk 01)55 k55155 k10000011(1/1.08)30 20468.70 (兀) 551.081(1/1.08)二、终身寿险【例4.4】某人在40岁时投保了 10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为 5%根据

6、 93男女混合表计算：I、单位定缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)定缴纯保费；解：I、单位定缴纯保费为，64 k 1 _ _ 2 _ 3 _ 65 A40v k|Q40 v q40 v 440 v 200 . v6400 0.18853 (兀)。k 0II、单位赔付现值期望的方差为，642A40 (A40)2v2(k 1) k|q40 (A40)2 0.00191979k 0III、定缴纯保费为，10000 A40 1885.29 (元)三、n年定期生存寿险【例4.5 某人在40岁时投保了 10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计

7、算：I、单位定缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)定缴纯保费；解：I、单位定缴纯保费为，A4a/ v20 20 P40 0.342332 (元)II、单位赔付现值期望的方差为，v2 20 20 P40 20q40 0.0313891III、定缴纯保费为，10000 40/ 3423.32 (元)纯保费 + 风险附加费用=100 (E(z) R) 100(0.3423317 0.0213183) 36.365 (元) 四、n年定期两全保险【例4.6】某人在40岁时投保了 10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：I、单位定缴纯保费；II

8、、单位赔付现值期望的方差；III、(总)定缴纯保费；解：I、单位定缴纯保费为，A40:20| A4o：20| A402右 0.391722 (元)II、单位赔付现值期望的方差为，Var(z) Var(z) VarG) 2E(Zi)E(Z2)0.004261III、定缴纯保费为，10000 A40:201 391722 (元) 六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在 40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、 利率6豚件下的转换基数表计算该保单强缴净保费。50000(

9、M40 M65) 70000 M 75D40解、这份保单可以分解为一份 50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期 寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，E50000(M40 M65)100000(M65 M75)30000M 75D40D40D408008.487 (元)50000(13451.43 7800.72) 70000 4432.3893942.95这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即,一、30000M 40E(z)20000(M40 M75

10、)D050000(M 65 M75)D050000(M40 M65) 70000M 75D0七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元定缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率 6%参照生命表(U,93,1000000 ):I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V、 延期10年的20年定期寿险；VI、延期10年的20年定期两全保险。解、I、终身寿险：鼠 M50 D5011729.04 51090.53 0.229574DA50DM 50/DD50 m50/D；0 225.6235/2 773.6211 -

11、(11729.04 51090.53)2 0.028642II、20年定期寿险：A50:20|(M50 M7o)/D50(11729.04- 6149.05)/51090.53 0.109218D:20I (DM50 DM 70)/DD50 (M50 M70)2/d5o _一 _ -442一(225.6235 - 60.4193)/2 773.6211 -(11729.04 - 6149.05)/51090.53)0.047634III、20年定期两全保险：A50:20| (M50 M70D70)/D50 (11729.04-6149.05 12374.69)/51090.53 0.35142

12、9 -一 、2i 2DA50:201 (DM50 DM 70 DD70)/DD50 (M 50 M 70 D70) / D50 _ _ 2(225.6235 - 60.4193 209.471)/2 773.6211 -(11729.04 -6149.05 12374.69)/51090.53)0.011583IV、延期10年终身寿险：101A50M60/D509301.66/51090.53 0.182062_ 2_2_2101DA50DM 60/DD50 M60/ D50 130.1094/2773.6211- (9301.66/51090.53)0.013763V、延期10年的20年定期

13、寿险：101AL0| (M 60 M80)/D50(9301.66- 2802.27)/51090.53 0.12721310IDA50：20I (DM60 DM80)/DD50 (M60 M80)2/D20 _ -42_(130.1094 -18.522)/2773.6211 - (9301.66 - 2802.27)/5 1090.53)0.024048VI、延期10年的20年定期两全保险：101A5。：201 (M60 M80 D80)/D50(9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53 0.211622 - 一 、2i 210 | DA50:201 (DM60

14、 DM 80 DD80)/DD50 (M 60 M 80D80) /D50_ _ _ _2(130.1094-18.522 40.7625)/2773.6211- (9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53)0.010144第三节 连续型(死亡即刻赔付)寿险定缴纯保费【例4.9 已知被保险人的寿命分布函数F(x)嗫0 x 100,假设 0.05,分别求 A40 和 DA40O解、S(x)1 F(x)100 x/-， x t100S(x t)S(xt)1, (x t)tPxS(x t)S(x)100 (x t)100 x,fx(t) tPx110040 , fx(t)

15、1004060。2 A40工 60etdt60 01 e 6060 0601e0.050.05 t00 0.31674 ,60e 2 tdt60 012 6060 0e2 60 0.052 0.05 t 60. . “CL ,0 0.1662544 ,DA40【例4.10(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。假设余命服从常数死亡率分布,0.06 ,利息力 0.03。计算，I、Ax、DAx； II、Pr(Zt0.9)0.9，求 0.9 ； III、假设有 1000.06593 ；个(x)独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为(1 R)Ax。在正态分布条件下要使保费有95%勺概率足够支付

16、死亡赔偿，计算R解、在常数死亡力下,t Px exp(ds)ut2Ax11、Pr(Zt0.9)tP xtdt(2)tdtPr(Vtt （余命）的密度函数Pr(t5In解得,0.9V0.9 ；zaggz2Pr zagg100(1zagg 100E(z)“100 Var(z)100 R E(z),100 Var(z)二、延期定额寿险0.9) R(tfx(t) tPx x0.9tdtInz100R)E(z)N(0,1)1.9610 RDAx0.9In vt|dt2AxF?(te()tdt3'(Ax)2In一InIn 0.9 e1180.9 )0.9,0.92 In-2 1n 0.9eN100

17、E(z),100Var(z),根据题意,Przagg 100 E (z),100 Var(z)100_R_E (z),100 Var(z)0.951.96DAx10 Ax1.961/1820/30.069296465【例4.11（x）投保延期10年的终身寿险,保额为1单位元，保险金在死亡时即刻给付。已知利息力为0.06,生存函数S(x) e0.04x,（x 0）。求赔付现值zt定缴净保费、方差和中位数0.05。解，fx(t)S(x t)S(x)0.04(x0.04e(0.04 xt)0.04t0.04e,强缴净保费:101Axe100.06t 0.04方差:x0.12te 0.04100.04

18、te dt0.04te dt0.04100.04 10x 0.1t 小e dtx 0.16te dt0.4e0.1t |10x 0.4e1 0.1471520.25e 0.16t |10x 0.25e 1.6 0.05047422101 DA< 10Ax (i0|Ax)0.028820484中位数0 05：当事件zt 0时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率，也称为重点概率。在本例中延期范围m 10,则，10Pf(zt 0) P(t 10)0 0.04e 4tdt 0.32968也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。由于0.32968<0.

19、5，说明中位数不在重点概率上。则，r0.04e 4tdt 0.5 0.32968 0.17032 e 10 0.17032 r 17.3286772110中位数=17.33。第五章生存年金第一节离散型年金1、终身生存年金【例5.1】某人今年45岁，花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%根据93Ufc命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。解、a45N46D451610605.746106465.3215.128Da45_1rDM 45 匹、22 ()d2 DD45D452(1 i)2.2iDM45DD45(M5)2'Dd4521.052 r 92

20、2.7917, 24700.0312 .2 ()2 10.60760.0511849.2184106465.3200每年可领取金额10000/a45 10000/15.128 661.026 (元)2、定期生存年金【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000元的给付，利率6%,根据93Ufc命表计算精算现值。解、1000 a402Gl 1000N 40 N 60D4010001422016.8929- 305710.381793942.948811882.83、延期终身生存年金【例5.3 对于(30)从60岁起每年年初6000元的终身生存年金，利率

21、为 6%试用93Ufc命表6000 305710.3817QQ 10787. 38170037.7867求建缴净保费。解、6000 30E30 a60 6000 D60 N0 6000 N0 J «J J «JJ «J_ _ _ _D30 D60D304、延期定期生存年金【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金，如果被保险人到70岁依然存活，则从70岁起获得生存年金。如果年金每年 年初支付一次，每次支付 6000元，利率6%根据93U生命表计算定缴净保费。解、定缴净保费6000 (秫 v30 30P30

22、 401a30) 6000 (. 30E30 401a30)16000 (-10 v10N70、600011.06 (1 1.06 10)二°) 26606.0247 109986.2647D30170037.78670.0611205.45或者，强缴净保费6000 (a 101a60) 30 E30101 v6000 ( 一 dN0) D0 11205.45D60D30三、年付一次变额生存年金1、一般变额生存年金【例5.5】某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：被保险人60-69岁每年付给6000 元，70-79岁每年付给7000元，80岁后每年付给8000元。在预定利

23、率6僚件下，根据93U1计 算建缴净保费。解、保费 600030 E30a60：10i7000 40E308701018000 50E30 ag。仔 ,6000 D0N60 N70 7000 2° N70N808000 外 N80 N90D30D60D30D70D30 D80(6000 N60 1000 N70 1000 N80 8000 N90) D30 11455.98 (元)2、等额递增生存年金【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始每年一次，给付额第一年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。计算这笔年金的精算现值。解、可以理解为一个每年支

24、付 4500元的料期等额生存年金加上一个每年递增500元的3年期等额递增生存年金，则，精算现值 4500a50 500(Ia)50 (4500N51 500S51)/D50 75416.67 (元)五、年付多次生存年金1、年付r次终身生存年金【例5.7】在例5.3中，若年金每月支付一次，求建缴净保费。解、净保费简算法:6000 3qa302)6000(30视0 也 30E30) 6000 6012 1224D3010357.08 (元)净保费简算法:6000 301a30(r)1 / r_i iAxr (1 i) 1 i M X/DX-(7)(T)-60002177iTT-i d()r (1

25、i) 1 1 (1 i)12 (1.06112 1) 0.06 14730.19 170037.7921121 1212(1.061) (1 1.06)94035.82 (元)【例5.8】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年年末获赔10000元。如果利率6%根据93竦计算精算现值。解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成，精算现值为，10000 a303oi 6000 301a302) 10000 M 30 M 60 6000 24-60 11D60 10676.33 (元) : 11D3024D30第六章均衡净保费第一节离散型均衡净保费一、全

26、期缴纳的均衡净保费【例6.1 某人60岁购买了一份1000元的终身人寿保险，每年初缴付保费，终身缴付。已知 利率6%按93雇计算死亡年年末赔付的年缴均衡净保费。解、1000 P60 1000 M°9301.663530.4264 (元)N60305710.38172、定期寿险：吟If&，吟|*Mx Mx nNx Nxn【例6.2】某人40岁购买了 3年期1000元定期寿险,保险金在死亡年年末赔付，保险费每年初缴付保费，已知利率6%按93味分别计算2和3年内的缴均衡净保费。 解、1000 P410:31 1000M 40M 43N 40N 43100013451.4266 -1

27、2997.28861422016.89 29 -1156275.06 661.709A1 -1A40:3|M 40 M 431000 2 P40sl 1 10004043：1a4O：2|N40N42100013451.4266-12997.28861422016.8929 -1239594.75262.4895【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金，从60岁起每年年初获6000元生存年金，利率6%如果保费在30和10年内均衡缴付，根据93味分别计算年均衡净保费。解、张某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金，如果 30内均衡缴付，则有,301a30P(301a30)6000a30:30|

28、6000 N60N30 N606000 305710.38172743767.51 18-305710.3817752.3459如果10内均衡缴付，则有,301a3010 P ( 301a30 )6000a30:1 0|6000 N60N30N406000 305710.38172743767.51 18-1422016.89291387.7522【例6.4】某人在45岁时购买寿险，契约规定若在第一年内死亡，给付保险金8000元，以后多存活一年后死亡，保险金减少 500元，保险金额减少到零时，合同终止。若保险金额在死亡年末付，保费5年内缴清。利率为4%根据03Ml计算年缴净保费。解、该人购买的

29、是定期16年递减寿险，每年递减额为 500元。均衡方程式为,5P1a455 500 (DA)45:16|，5P1500 (DA)45:16|50016M45R46R62a45:5|N45N5050016* 47940.6403-1333419.0383 629432.29383041784.5773-2281977.229541.第二节连续型均衡净保费【例6.5 设生存函数l x0),0.05,试求40岁的人投保终身寿险的连续型均衡净保费。解、tPxlxtlx100 x100 xfx(t)tPx100 x当 x 40 时，fx(t)60则有，A60fx(t)dt16060e0tdt 0.316

30、7所以，P40A40a400.02321A40第四节一年多次缴的均衡净保费【例6.6（25）投保35年期的定期寿险,保险金额为10000元，保费在每月月初缴纳，保险金在死亡年末付给，利率4%根据93味计算I、全期缴纳月保费；II、10年限期缴纳的月保费。解、I、年缴12次的年净保费:P(12)(A；5函)A25:35|(12)a 25:35|10000 N25 N60M 25 M 6012 12 12(D25D60)1000054683.2936 39801.6626 21.6511一8138148.1240 1134383.2491 (367688.9906 83431.7875)月保费为，

31、P(12)(a25雷)/12 1.8042100000元【例6.7】对于(40)的20年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付外，还退还过去已缴净保费的累积。假设利率5%保险赔付在死亡年末，保险费每年初缴付 一次、20年付清，根据93层计算以下几种情况的年缴均衡净保费。I、退换保费部分不计利息；II、退换保费部分按3%十复利；解、设年缴均衡净保费为 P,则，I、不计利息；已缴净保费的累积虽然不计息,但给付以保险人在保险期内死亡为条件，这就构成定期递增的寿险,其收支平衡式为,11.pa40:20|100000 A40:20IP (IA)40:20| ?解得,1100000A40：20|1

32、00000(M40 M60)a40:20|(IA)40:20|(N40 N60)(R40R602 0746.29M60)1，如100000 A40而如果不退还还过去已缴净保费，P 吧a _a40:20|100000 (M 40 M 60) QQO OC 386.65(N40 N60)II、按3%十复利：如果退还保费以利息率j计息，退还保费部分的给付是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值，即,bk i Ps1 ,其现值变量为，Wk 1V PskH|j，(0 k n)精算现彳1为，E(W)1k 1V siH|j0k0x,令 Sk1k 1V0s-i|j k|qx 0.706664922收支平衡式为，

33、pa -40:20|100000 A40:- p s,解得,i100000 0.0493905409.296512.773834-0.706665p 100000 A4。西a40:20I S第二章责任准备金第一节离散型责任准备金一、将来法全期缴费责任准备金【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险，保费在 5年内均衡缴付。当利 率为6%根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。解、每人年缴净保费为，1 CM A、M40 M45 CM 13451.43 12667.171000 P40.51 1000 -1000 竺 45 1000 1.87606240 1a40.51N40 N451422016.88 1003984.101