空间解析几何与向量代数

1、 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算一 知识点、重点及难点 1. 知识点：（1） 向量的概念向量：既有大小，又有方向的量（又称矢量）.向量的表示：以为起点，为终点的有向线段，或.数学上只研究与起点无关的自由向量.向量的模：向量的大小.向量的模记作.单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.记作.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.负向量：与向量的模相同而方向相反的向量，即.向量相等：与大小相等，方向相同，记作.向量平行：与方向相同或相反，记作.与平行，又称与共线.（2） 向量的线性运算1. 向量的加法：平行四边形法则，三角形

2、法则运算规律：交换律 结合律 向量的减法：2.向量与数的乘法：实数与向量的乘积是一个向量，记作.其大小为 方向当时，与同向：当时，与反向；当 时，方向是任意的. 运算规律：结合律 分配律 . 表示与同方向的单位向量. 若则存在唯一的实数，使（3）空间直角坐标系：在空间取定一点（原点）和过原点三个两两垂直的数轴，构成一个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则，即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向轴时，大拇指的指向就是轴的正向.三个坐标面面、面、面将空间分成八个卦限，含有轴、轴、轴。正半轴的卦限叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在面上方，按逆时针方向确定，第五至第八卦限在面下

3、方，第一卦限之下是第五卦限，按逆时针方向确定其他卦限。这八个卦限分别用字母、表示。设点在空间直角坐标系的坐标为则向量或表示为，即既是向量的坐标，也是的坐标。(4)向量的坐标运算：设则向量向量则若则唯一（5）向量的模方向角投影）向量的模 若向量则 若则）方向角与方向余弦作，称为向量与的夹角，记作或 方向角: ,与三个坐标轴的夹角称为向量的方向角。)向量的投影 向量在轴上的投影：或记作 在轴上的投影: 2. 重点： 向量的概念，向量的线性运算，向量的模，方向角，投影。3. 难点： 向量的线性运算的坐标表示，向量的方向角，投影。二主要题型 1.与向量的概念，线性运算有关的习题。2.综合题型。三典型例

4、题解析例1 设已知两点和，计算向量的模，方向余弦和方向角。解 方向弦为方向角分别为例2 设向量的模是4，它与轴的夹角是，求在轴上的投影。解 已知，四 同步自测练习题 1.向量与轴和轴夹角相等，而与轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角各为多少？参考答案与提示1. 或第二节 数量积 向量积 混合积一 知识点、重点、及难点1. 知识点：定义：，运算结果是一个数。 性质：交换律： 结合律： 数乘律：，为实数。 坐标表示 ：，（2）向量积： 定义：；的方向垂直于与决定的平面， 的指向按右手规则，从转向来确定。 性质：负交换律 分配律 数乘律 ，为实数。等于与为邻边的平行四边形的面积，或者说以与

5、为邻边的三角形的面积的2倍。 坐标表示：， （3）混合积 定义： 结果为一个数。 性质: 等于以，,为棱的平行六面体的体积。 ，,共面2. 重点： 向量的数量积、向量积、混合积的定义与应用。3. 难点： 数量积、向量积、混合积的应用。二主要题型1.与向量代数运算（数量积、向量积、混合积）有关习题。2.综合题型。三典型例题解析 解题注意事项：区分哪些是数量，哪些是向量；区分各个运算的规律、特征；区分向量平行、垂直、共面的充要条件。 例1.（1）设，若，则=（ ），若 ，则=（ ）。（2），则=（ ）（3），则=（ ）（4）设，则（ ）解：（1）。 （2）设则由条件可得或者：由， 知而 又由知（3

6、）（4） 。例2已知，为与的夹角，求。 解：例3. ，求与的夹角。 解： 。四 同步自测练习题 1已知，求。 2求同时垂直和的单位向量。 3已知，为与的夹角，求以和为边的平行四边形的面积。 4已知 、均为单位向量，且满足关系式，求。 5已知 求（1）向量在轴，轴，轴上的投影； （2）求；（3）的方向余弦；（4）与平行的单位向量。参考答案与提示1.2 2. 3. 4. 5. (1) 1,-3,3 (2) (3) (4) 第三节 曲面及其方程一知识点、重点、及难点1.知识点： （1）曲面的方程： 一般式 显式 球面标准式 一般式 （3） 旋转曲面：以一条平面曲线（曲线）绕其平面上的一条直线（旋转轴

7、）旋转一周所成的曲面。：母线为，绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为：母线为，绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为：母线为，绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为：母线为曲线，绕z轴旋转所成的曲面：其中为空间曲线参数式方程（3）柱面：平行于定直线并沿曲线C（准线）移动的直线L（母线）所成的轨迹。. ，表示以为准线，母线平行于z轴的柱面。，表示以为准线，母线平行于y轴的柱面。，表示以为准线，母线平行于x轴的柱面。 .特殊柱面：椭圆柱面；圆柱面 双曲柱面；抛物柱面 .准线为曲线C ，母线L为z轴的柱面方程求法：将上 曲线方程组中

8、消去变量z，即得所求柱面方程. . 准线为曲线C ，母线L的方向向量为的柱面方程的求法： 准线C上取一点，则过该点的母线方程： 消去方程组的即得所求柱面方程. 注：柱面上任意一点处切平面的法向量与母线的方向向量垂直。（4） 二次曲面 椭圆锥面：；圆锥面：或椭球面：；旋转椭球面：单叶双曲面：；旋转单叶双曲面：双叶双曲面：；旋转双叶双曲面：椭圆抛物面：；旋转抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：2. 重点： 曲线方程，旋转曲面，柱面方程，能用截痕法画出常见曲面及投影区域。3. 难点： 根据条件确定所求的曲面方程及投影区域，曲面方程各式间的转换。二 主要题型1. 求旋转曲面的方程。2. 求柱面方程。3. 综

9、合题型。三 典型例题解析 题型一. 求旋转曲面的方程 解题注意事项：不要带错旋转曲面的计算公式例1. 求曲线 绕x轴旋转一周所得的抛物面方程。 解 绕x轴旋转一周所得的抛物面方程为例2. 求曲线 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程 解 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程题型二. 求柱面方程 解题注意事项：不要带错柱面的计算公式。例2. 求母线平行于x轴，准线为的柱面方程。 解： 将上曲线方程中消去变量x，得所求柱面方程为四 同步自测练习题。1. 求曲线绕x轴旋转一周所得旋转椭球面方程。2. 求直线 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程。3. 求母线平行于z轴，准线为的柱面方程。参考答案与提示1. 23

10、. 第四节 空间曲线及其方程一知识点、重点、及难点1.知识点： （1）空间曲线的一般方程 （2）空间曲线的参数方程 （3）空间曲线在坐标面上的投影： 在xoy面上的投影柱面为：消去z，投影曲线方程为 在yoz面上的投影柱面为：消去x，投影曲线方程为 在xoz面上的投影柱面为：消去y，投影曲线方程为2. 重点： 曲线方程，能用截痕法画出常见曲线，曲线在坐标面上的投影。3. 难点： 根据条件确定所求的曲线方程，投影曲线方程，曲线方程各式间的转换。二主要题型1. 求曲线的方程。2. 求投影方程。3. 综合题型。三典型例题解析 题型一 求投影方程解题注意事项：不要带错投影的计算公式，区分投影曲线的投影

11、区域 曲线一般式与参数式之间相互转换。例1 求球面与锥面的交线在xoy坐标面的投影及此交线的参数方程和这两个曲面围城的区域在xoy坐标面的投影区域。 解：将两个方程联立消去变量z，可得交线在xoy坐标面的投影柱面，在与xoy面联立得投影方程：投影曲线参数方程为两个曲面围成的区域在xoy坐标面的投影区域为交线在xoy坐标面的投影方程围成的区域：例2.将曲线 的一般式转化为参数式并写出曲线在xoy坐标面的投影曲线方程。 解： 曲线在xoy坐标面的投影曲线方程：（消去z）得曲线参数方程为五 同步自测联系题。1. 求曲面与锥面交线在xoy坐标面的投影，交线的参数方程和这两个曲面围城的区域在xoy坐标面

12、的投影区域。2. 将曲线 的一般式方程转化为参数方程并写出曲线在xoy坐标面的投影曲线方程。参考答案与提示1. 投影方程；参数方程；投影区域：2. 参数方程 ；投影方程第五节 平面及其方程一、 知识点 重点及难点 1、 知识点：(1)平面的点的法式方程（向量点积德应用）平面的法向量：垂直于平面的非零向量。给定平面上一个定点M(,，)平面的法向量=（A,B,C）则平面方程为A(X-)+B(Y-)+C(Z-)=0(2)平面的一般式方程 平面法向量=（A,B,C）则平面一般方程为Ax+By+Cz=0 若D=0 平面Ax+By+Cz=0过原点 若A=0 平面Ax+By+Cz=0平行于x轴若A=D=0则

13、平面By+Cz=0过x轴 若B=0 平面Ax+By+Cz=0平行于y轴若B=D=0则平面By+Cz=0过y轴 若C=0 平面Ax+By+Cz=0平行于z轴若C=D=0则平面Ax+By=0过z轴 若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0则平面Cz=0为xoy面若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0则平面Cz=0为xoy面若A=C=0平面By+D=0平行于xoz平面 若A=C=D=0则平面By=0为xoz面即平面方程Ax+By+Cz=0中缺少某个坐标，则平面就平行于该坐标轴，平面方程缺少某两个坐标，则平面就平行于这两个坐标确定的平面，平面方程中缺少常数

14、项，则该平面过坐标原点。（3）平面得截距式方程 平面在三个坐标轴上的截距分别是a,b,c则平面方程为（4）平面的三点式方程（向量混合积的应用） 平面上三点为则平面方程为(5)平面得位置关系 设两个平面方程为 法线向量=（） 法线向量 = （）则两平面的夹角：两平面法线向量的夹角（通常指锐角）= = = 两平面平行两平面垂直A1A2+B1B2+C1C2=0两平面相交不成立两平面重合（6）点到平面的距离公式点M()到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d= 2 重点平面与方程的我确定3难点：如何确定平面的方程使求解平面方程更简单二 主要题型1求平面方程2确定平面之间的位置关系3求点到平面间的距

15、离4综合题型三 典型例题分析题型一 求平面方曾（关键找一定点姬法线向量）解题思路（1）利用条件找到所求平面的法向量及其定点，使用点法式 （2）设出平面的一班式，利用已知条件确定一般式中的待定常数（3）根据条件设出平面的特殊式，确定其中的待定常数（4）若条件中出现平面通过已知的一直线，则可考虑使用平面式方程例一过已知两点（1，2，-1）（-5，2，7）的一个平面，使（1）与平面2x+y-z=0垂直（2）与x轴平行(1)解法1 令 （1，2，-1）（-5，2，7），则待求平面的法向量垂直于 同时也垂直于（2，1，-1）取=（-6，0，8）（2，1，-1）=-2（4，-5，3）用点法式可得平面方程为

16、4（x-1）-5(y-2)+3(z+1)=0即4x-5y+3z+9=0解法2设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0由题意知系数满足 从而得平面方程为4x-5y+3z-9=0(2)法1由题意知平面的法向量同时垂直于（-6，0，8），（1，0，0）取=（-6，0，8）（1，0，0）=-8（0，1，0）有点法式得平面方程为 y-2=0法2设所求平面方程为By+Cz+D=0则从而得平面方程为y-2=0例2求过两平面x+y+5z=1与2x+3y-z+2=0得交线及点（3，2，1）的平面方程和和这两个平面平分面方程解 （1）设过两平面交线的平面为 (x+y+5z-1)+ (2x+3y-z+2)=0 将（

17、3，2，1）带入得9=13从而得平面方程为5x+14y-74z+31=0 （2）设过两平面交线的平面为 (x+y+5z-1)+ (2x+3y-z+2)=0由题意知（+2，+3，5-）与（1，1，5）（2，3，-1）的夹角相等从而（或者所求平面上任意一点到已知两平面的距离相等）从而得平面方程为（x+y-+5z-1=0）（2x+3y-z+2）=0题型2确定平面之间的位置关系 解题注意事项：要记清平面之间位置关系的特点例3当取何值时两平面x+ay+3z=1与2x-4y+6z=5平行垂直相交 相交但不垂直并确定此时两平面的夹角 解 平行 a=2 垂直相交1.2+（-4）a+3.6=0 a=5 相交但不

18、垂直a -2且a 5 = 题型3 求点到平面的距离 解题注意事项：要记清点到平面的距离公式例4求点（1，2，-1）到平面x-3y-z=15的距离解d= 四 同步自测练习题 1 求平行于平面4x-y-+z+5=0且与三个坐标面构成的四面体的体积为9的平面 2在过平面2x+y-3z+2=0与5x+5y-4z+3=0得交线的平面集中，求两个相互垂直的平面，其中一个平面过点（4，-3，1）3求两个平面19x-4y+8z+21=0 与19x-4y+8z+42=0的距离参考答案与提示1. 4x-y+z+6=0或4x-y+z-6=02过点（4，-3，1）的平面3x+4y-z+1=0与它垂直的平面x-2y-5

19、z+3=03.1第六节空间直线及其方程一知识点 重点及难点 知识点：（1） 空间直线的点向式（对称式标准式）方程（向量平行的应用）直线L的方向向量与直线L平行的非零向量，的方向余弦称为直线L的方向余弦设直线L上定点为M（）直线L的方向向量=(m,n,p)则直线方成为（2） 空间直线的参数与方程直线上定点M（）直线L的方向向量=(m,n,p)则直线的参数方成（3） 空间直线的一般方程 直线L可以看做平面1与2的交线即直线L的方程为 = =为1与2的法线向量则直线L与，都垂直为L的方向向量，则=（4） 空间直线的两点式方程直线上的两个点 则直线的两点式方程为（5） 两直线昂之间的位置关系直线L1其

20、上定点方向向量方程直线L2其上定点方向向量 方程则两直线L1与L2的夹角：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）= = = 两直线L1与L2平行：L1 L2 两直线L1与L2垂直：L1 L2 两直线L1与L2重合：两直线L1与L2共面：即两直线L1与L2异面：即两直线L1与L2相交：L1与L2共面且不平行(6)直线与平面之间的位置关系直线L：，L上的定点（）方向向量=(m,n,p) 平面：Ax+By+Cz+D=0法向量=（A,B,C）直线L与平面的夹角：直线L和它在平面上的投影直线的夹角（通常指锐角）= = = 直线L 与平面平行（不在平面上）：Am+Bn+Cp=0 直线L 在平面上： Am+B

21、n+Cp=0 直线L 与平面垂直：直线L 与平面相交：Am+Bn+Cp 0(7)过空间直线的平面集方程过直线L： 的平面集方程为（）+（）=0 其中， 不全为零（8）点到空间直线的距离公式点（）到直线L: 的距离公式 为直线L 上的点=(m,n,p)为L的方向向量d=2重点： 直线方程的确定及直线与平面的关系3难点： 利用直线与平面关系确定所求解的问题二，主要题型 1求直线方程 2直线各方程之间的转化 3确定直线之间的位置关系 4确定直线与平面之间的位置关系 5求交点，投影问题 6求点到直线之间的距离 7综合题型三，典型例题解析题型1 求直线方程（关键找一定点及方向向量）解题思路：1，若求过一

22、定点且与一直线平行的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知直线的方向向量 2，若求过一定点且与一平面垂直的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知平面的法线向量 3，若求过定点且与两直线垂直的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知两直线的方向向量的向量积 4，若求过定点且与已知直线垂直，与一平面平行的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知直线的方向向量与已知平面的法线向量的向量积 5，也可设出所求直线的方向向量=(m,n,p)利用所求直线与已知直线平面关系来确定方向向量中的参数例1 求过点（-1，2，3）平行于平面2x+3y+4z+7=0且垂直于直线的直线方程解 法1取=(2,3,4) (3,4

23、,5)=(-1,2,1)所求直线为法2取=(m,n,p) 则 (2,3,4) (3,4,5)故所求直线为例2 求过点（2，-1，3）平行于平面3x-2y+z+5=0 且与直线 相交的直线方程解 法1设=(m,n,p) 则 (3,-2,1)即3m-2n+p=0所求直线与已知直线相交即共面，因此 -4m-9n-p=0 m=-11n,p=35n所求直线为法2设=(m,n,p) 则 (3,-2,1)即3m-2n+p=0所求直线与已知直线相交，故满足所求直线的参数方程 满足已知直线方程即m= n= p=所求直线为题型2直线各方程之间的转化解题注意事项：记清直线各式之间关系例3将直线的一般方程 转化为对称

24、式和参数式方程解=(2,-4,1) (1,3,5)=(-3,1,10)在直线上任取一点，令y=0 则x=-5,z=11所求对称式方程为参数式方程为题型3确定直线之间的位置关系解题注意事项1记清直线之间位置关系的公式例4确定空间三直线之间的位置关系，三直线位置关系如下L1 L2 L3 LI: 方向向量 =（-2，-5，3） 定点为=（-3，-4，0）L2: 方向向量 =（3，3，7） 定点为=（0，-1，2）L3: 方向向量 =（1，1，3） 定点为=（0，-1，1）L1与L2： = L1与L2异面垂直L1与L3：且 L1与L2异面且 L1与L2共面相交题型4 确定直线与平面之间的位置关系解题注

25、意事项1记清直线与平面之间位置关系的公式2复杂问题要巧妙使用过交线的平面集方程可使问题简化确定直线与平面x+y+z=3的位置关系解且有2+（-2）+3=3所以直线在平面上例6求过直线 且平行于直线 的平面方程去所求平面法线向量且平面过点（1，2，3） 故所求平面为x-3y+z+2=0例7 求过直线 且与球面 相切的平面方程解过已知直线的平面集为即与已知平面相切，即球心（0，0，0）到该平面的距离为2，故有或所求平面为z=2或132x+176y-21z-442=0题型5 求交点，投影问题 解题注意事项1交点问题要巧妙使用直线参数式方程可使问题简化2投影问题要建立过已知直线的平面集方程，从中找到垂足投影平面的那个平面，两平面方程联立 即得投影直线方程例8确定使两