山东省2013年高考数学第二轮复习专题七概率与统计文

1、-1 -专题七概率与统计1. （2012 山东高考，文 4）在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若B样本数据恰好是A样本数据每个都加 2 后所得数据, 则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是（）.A.众数 B.平均数C .中位数 D .标准差2 . （2012 陕西高考，文3）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）.t)3 . （2012 辽宁高考，文 11）在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C现作一矩形，邻边长 分别等于线段AC CB的长，则该矩形面积大

2、于20 cm2的概率为（）.4 . （2012 山东高考，文 18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3 ;蓝色卡片两张，标号分别为1,2.（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率；（2）向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4 的概率.考向分析从近三年的高考试题来看，概率统计一般是1 + 1 的模式，一大一小.几何概型是高考-个新的热点，并且它是一个重要的知识交会点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以 及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要

3、以填空题、 选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5 分左右.古典概型是考查的热点,经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力 与逻辑推理能力的考查.而对于统计方面的考查，主要是考查分层抽样、系统抽样的有关计 算或三种抽样方法的区别以及茎叶图，频率分布表，频率分步直方图的识图及运用.考查概 率与统计知识点的高考试题，既有自身概念的思想体现，如：样本估计总体的思想、假设检热点一随机抽样和用样本估计总体【例 1】（2012 四川高考，文3）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四

4、个社区驾驶员的总人 数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）.A. 46,45,56 B.46,45,53.47,45,56.45,47,53.什耐rtf刘别祈.以吟；址璋袞冬倉地以点真题试做验的思想；又有必然与或然思想、函数与方程思想和数形结合思想.热点例析-2 -A . 101 B . 808 C . 1 212 D . 2 012【例 2】（2012 山东高考，文 14）如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温（单位：C）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5

5、,26.5，样本数据的分组为20.5,21.5）, 21.5,22.5）, 22.5,23.5）, 23.5,24.5）, 24.5,25.5） , 25.5,26.5.已-3 -平均气温规律方法解答与抽样方法有关的问题的关键是深刻理解各种抽样方法的特点、 适用 范围和实施步骤，熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法，掌握分层抽样中各层人数 的计算方法.（2）与频率分布直方图、茎叶图有关的问题，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表 掌握信息是解决该类问题的关键.（3）在做茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么，正确求出数 据的众数和中位数；方差越小，数据越稳定.频率特别

6、提醒：频率分布直方图中的纵坐标为组距，而不是频率值.变式训练 1 （2012 湖南高考，文 13）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分 数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 _1_ _ _（注：方差s2=；（X1X）2+（X2X）2+ + （Xnx）2，其中X为X1,X2，Xn的平 均数）0 8 910 3 5热点二变量的相关性和统计案例【例 3】（2012 福建高考，文 18）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价X/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568（1）求回归直线方程y=bx+a,其

7、中b= 20,a=ybX；（2）预计在今后的销售中， 销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）AA规律方法 解决线性回归问题的关键是：（1）正确理解计算b,a的公式并准确的计算，若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算；（2）分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过 线性回归方程估计和预测变量的值.变式训练 2 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量（万吨）2

8、36246257276286（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bX+a；利用（1）中所求出的直线方程预测该地2013 年的粮食需求量.知样本中平均气温低于数为_ .25.5C的城市个-4 -热点三古典概型与几何概型-5 -【例 4】（2012 湖北高考，文 10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中 分别以OA OB为直径作两个半圆在扇形OA呐随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）.规律方法（1）解决古典概型问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.P（A）=n既是古典概型的定义，又是求概率的计算公式，应熟练掌握.（2）解决几何概型的关键是寻找试验的全

9、部结果构成的区域和事件发生时构成的区域，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.（3）若事件正面情况比较多、反面情况较少，则一般利用对立事件进行计算对于“至 少”、“至多”等事件的概率计算，往往用这种方法求解.变式训练 3 （1）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加 各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）.11A.3B 2 CE为边CD的中点，若在矩形ABC呐部随机取一个点Q则点Q取自ABE内部的概率等于（A.17）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.

10、为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a0,a+b+c= 600.当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值.A_ _ _ _2|222A.7t执占四八、概率统计综合问题如图，矩形ABC中，点【例 5

11、】（2012 北京高考，文C27t1D-6 -(注：s=n【(X1X) + (X2X) + (Xnx)，其中X为数据X1,X2,，Xn的平 均数）-7 -规律方法 1 抽样方法和概率问题的综合一般是从分层抽样开始，设置分层抽样中的一 些计算问题，然后就分层抽样中各个层设置一个古典概型计算问题虽然此类题目所考查的 知识横跨两部分，但是分解开来后，并不难解决.由于此类题目多与实际问题联系紧密，题干较长，信息量大，且会有图表，因此要认真 审题并要掌握解答题目所需的知识要做到：(1)分层抽样中的公式运用要准确.,VLt样本容量 各层样本容量抽样比=个体总量=各层个体总量.层 1 的数量：层 2 的数量

12、：层 3 的数量=样本 1 的容量：样本 2 的容量：样本 3 的容 量.(2)在计算古典概型概率时，基本事件的总数要计算准确.2 .频率分布与概率的综合主要有两种形式：(1) 题目中给出了样本的频率分布表，它反映了样本在各个组内的频数和频率，要求根据 频率分布表画出频率分布直方图，并根据样本在各组的频数，设置分层抽样和概率计算等.(2) 利用频率与概率的关系，频率近似于概率，给出某类个体中的一个个体被抽中的概率，从而求出样本容量及其他类个体的数量.在解决此类问题时，可将题目中所给概率作为此类个体被抽中的频率，从而求解.变式训练 4 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦

13、时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X= 70 时，Y= 460;X每增加 10,Y增加 5.已知近 20 年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,1 60.(1)完成如下的频率分布表近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率

14、.思想渗透数形结合思想 解决有关统计问题(1) 通过频率分布直方图和频数条形图研究数据分布的总体趋势;(2) 根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系. 解答时注意的问题：(2)注意频率分布直方图与频数条形图的纵坐标的区别.【典型例题】 为了解学生身高情况， 某校以 10%勺比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值;-8 -（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在 170185 cm 之间的概率；（3）从样本中身高在 180190 cm 之间的男生中任选 2 人， 求至少有 1 人身高在

15、185190 cm之间的概率.解：（1）样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%古计全校男生人数为 400.（2）由统计图知，样本中身高在 170185 cm 之间的学生有 14+ 13+ 4 + 3+ 1= 35 人，样35本容量为 70,所以样本中学生身高在170185 cm 之间的频率f=帀=0.5，故由f估计该校学生身高在 170185 cm 之间的概率P1= 0.5.（3）样本中身高在 180185 cm 之间的男生有 4 人，设其编号为，样本中 身高在185190 cm 之间的男生有 2 人，设其编号为，从上述6 人中任取 2 人的树状图为：性相关关系根据一组样本数据（Xi

16、,yi）（i= 1,2，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x 85.71，则下列结论中不正确的是（）.A.y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（x,y）C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加 0.85 kgD.若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg2 要完成下列两项调查：从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低 收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标；从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负担情况宜采用的抽样方法依次为（）.A. 简单随机抽样法，系统抽样法B. 分层抽

17、样法，简单随机抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 都用分层抽样法3. （2012 湖北高考，文 2）容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)女生故从样本中身高在 180190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为15,至少有-9 -频数234542-10 -则样本数据落在区间10,40)的频率为().A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65w xw2,4 .(原创题)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,0WyW2则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是( ).nn 2

18、n4 nA.4B.2CED45. (2012 浙江五校联考，文 11)为了分析某同学在班级中的数学学习情况，统计了该同 学在 6 次月考中的数学名次，用茎叶图表示如图所示：则该组数据的中位数为 _ .6.(2012 安徽高考，文 18)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时,则视为合格品， 否则视为不合格品， 在近期一次产品抽样检查中， 从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5 000件进行检测，结果发现有 50 件不合格品，计算这 50 件不合格品的直径长与 标准值的差(单位：mm)将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率3, 2)0.102, 1)8(1,20.50(2

19、,310(3,4合计501.00(1) 将上面表格补充完整；(2) 估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3内的概率；(3) 现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20 件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.7. (2012 湖南长沙模拟，文 18)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培 训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5 次，绘制成茎叶图如图：甲乙9 7 70 8 128 5 3 0 5(1) 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合 适？请说明理由；(2) 若在茎叶图中的甲、率.参考答案命题调研明

20、晰考向 真题试做乙预赛成绩中各任取 1 次成绩分别记为a和b,求满足ab的概1 . D 解析:每个变量增加 2,n平均数也增加 2,但(xn-x)2 3不变，故选 D.2 2X2x+ +Xnx，可知B样本数据由s=2X1x+-11 -12 cm8 cmL乜r1 CiC28 2因此所求概率为 12 ,即 3,故选 C.4.解：(1)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为A, B, C,标号为 1,2 的两张蓝色卡片分别记为D, E,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A,B) , (A,C) , (A,D), (A,(B, C), (B, D), (B, E) , (C, D), (C

21、, E) , (D, E),共 10 种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于(A E), (B,D),共 3 种.E),D),4 的结果为:(A,4 的概率为*.10(2)记F为标号为 0 的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A,C),(A,D),(A,E),(A,F), (B,C),(B,D), (B,E),(B,F) , (C,D) , (C所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于(A,(C,F), (D,E) , (D,F) , (E,F)，共 15 种.由于每一张卡片被取到的

22、机会均等， 因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4 的结果为:D) , (A E), (B, D), (A, F) , (B,F) , (C, F) , (D, F) , (E,F),共 8 种.8 4 的概率为 15.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于精要例析聚焦热点热点例析【例1】B 解析：四个社区抽取的总人数为 12+ 21 + 25+ 43= 101 ,由分层抽样可知,B),E),(A,9612N ” e=而,解得【例 2】0.12 = 0.22.N= 808.故选 B.9 解析：由于组距为 1,则样本中平均气温低于22

23、.5C的城市频率为0.10 +平均气温低于 22.5C的城市个数为 11,11所以样本容量为 0-22 = 50.而平均气温高于 25.5C的城市频率为0.18 ,所以，样本中平均气温不低于25.5C的城市个数为 50X0.18 = 9.8+ 9+ 10 + 13 + 15【变式训练 1】6.8 解析：Tx= 11,5X11 J L.I J 山*|；匸+ 巧25=6.8.1【例 3】解：(1)由于x=-(X1+X2+X3+X4+X5+X6)= 8.5 , 6 1y= 6(yi+y2+y3+屮+小+y6)= 80,所以a=yb x= 80 + 20X8.5 = 250，从而回归直线方程为y= 2

24、0 x+ 250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L=x( 20 x+ 250) 4( 20 x+ 250)-12 -13 -2=-20 x+ 330 x 1 000=-20ix-33+ 361.25 ,I 4丿 当且仅当x= 8.25 时，L取得最大值.故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润.【变式训练 2】解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来 求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份2006-4-2024需求量257:-21-1101929对预处理后的数据，容易算得x= 0,y= 3.2 ,A-4 X-21+-2 X-1+2X19+4X292

25、60b=-.2+ -2+ 22+ 42= 70 =6.5，a=y-b x= 3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为AAAy-257=b(x- 2 006) +a= 6.5(x-2 006) + 3.2 ,A即y= 6.5(x-2 006) + 260.2.利用直线方程，可预测2013 年的粮食需求量为：6. 5X(2 013 - 2 006) + 260.2 = 6.5X7+ 260.2 = 305.7(万吨)306(万吨). 【例 4】C 解析：于直角扇形拱形的面积,n -2 R22=1-n.乙 2 ;甲 3,乙 3”，共 3 个.31因此P(A) = 9 = 3.(2)C 解析：由题

26、意知，可设事件A为“点Q取自ABE内”，形ABC呐所有点，事件AABE内的所有点，又因为E是CD的中点，所以1 1SABE=S矩形ABCD=ADKAB所以P(A)=勺【例 5】解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量400设OA= OB=2R,连接AB如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等1212-J2S阴影=4n(2R) X(2R= (n 2)R,S扇=冗R2,故所求的概率是【变式训练 3】(1)A 则基本事件为“甲 1，乙 甲 3，乙 1;甲 3,乙 2;记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，则事件解析：1;甲 1,乙 2;甲 1，乙 3;甲 2,乙 甲 3,乙3”，共 9 个.，甲参加甲 2,1；1组记为“甲1”， 乙2;甲 2，乙 3;A包含甲 1,乙 1 ;甲 2,构成试验的全2400