与数论相关的数列题的解题策略 - 图文-

1、 中 等 数 学 元素之 和不 为完全平方数 ， ， 一 ； 一 设取 出一些数 ， 其 中形 如 的 数有 个， 其中 ， ， ， ， 一 ， ， ， ， ， 且 显然， ， ， ， ， 一 证明： 两个数 列只有公共项 提示 考虑两个数列被 整除 的余数 ： ， ， ， ， ， ， ： ， ， ， ， ， ， 可用归纳法 给以证 明 这些数 的和为 一 一 。 一 ， 其中， ， ， ， 为非负整数 ， 此 即 一 （ 一 ） （ ） ， 从而 ， 两个数列除 以外 ， 无其他公共项 证 明： 数列 一 ， ， 中含 有无穷多个两 两互素 的整数 提示 互素 显然 ， 一 、 一 、 一两

2、 两 其中， 日为整数 由 于 十 ， 于是 ， 因此 ， 不为完全平方数 假设 存 在 正 整 数 ， 。 ， ， ， 使 得 一 ， 一 ， ， 一 两两互素 下面构造第 项 “一 将集合 中的元素从小 到大记 为 令 ， ， ， ， 为 一 ， 一 ， ， 一 所有 整数 的素 因子 显然， 兰 （ ） ， ） （ ） （ ） 兰 （ ） 接下来证 明 ： 当 取充分大 的素数 时 ， 存 在常数 ， 使得 （ ） 设 （ 一 ） （ 一 ） ， 其中 ， ， ， ， 一 ， 且 则 （ ） （ ） 令 （ 一 ） 则 （ 一 ， “一 ） （ ） 否则 ， 存 在素数 （ 一 ， &#

3、168;一 ） ， 得 （ 一 ） 一 ， ， ， 但 一 兰 三一 （ ） ， 矛盾 已知 ， （ ） 显然 ， 可 取 充 分 大 ， 使得 （ 这 等 价 于 （ ） ， 而 证 明： 对于任 意的正整数 ， 必存 在一个 ， 满足 厂 ； 一 （ ） 。 一 一 ！ 二 （ 卫二 ） （ 卫二 三 ） （ ： 一 一 ） 提示 若 ， 则结论显然成 立 当 时 ， 设 三 （ ） （ ） 则 三 （ ） 当 充分大时 ， 上式必 大于 ） 令 。即可 故所取 的 以及数 列 满足要求 由抽 屉 原 理 ， 知必存 在 ， 使得 （ ， ） （ ， ） ： ， ， ： 练 习 题 数列

4、、 定义如下 ： 年第 期 令 则 ， 即 三 （ ） 因为 三口 三 （ ） ， 所以， 因此 ， 一 与 一 互 素 由（ ） 的结 论 ， 知必 存 在 无 穷 多 个互 不 相等 的素数 ， 使 得这 些 素数 至少 可 以整 除数 三 量 （ ） 故 （ ） ， 一 兰 （ ） ， 一 列 中的一项 ， 且 与口 除去 以外 没有 其他任何公 因数 三 一 （ ） ， 一 三 一 （ ） ， 于是 ， 必存在无穷 多个 互不相等 的素数 ， 使得这些 素 数 均不 能整 除数 列 中 的任 何一项 设 （ ） 为 正整数 的递增 数列 ， 使得 其中， ， 使得 一 取 一 ， 则

5、： 一 口 一 （ ） 设数列 满足 ， 一 一 一 （ ） （ ） 对所有 ， ； （ ） 证明： 存 在无 穷多个 素 数 ， 使 得其 中 每一个 素数为数列 中至少一项 的因数 ； （ ） 是 否 存 在无 穷 多 个 素数 ， 使 得 这些 素数 均不能整除数列 中的任何一项 ？ 提示 （ ） 由 （ ） 若 为素数 ， 则 为 素数 证明： 对所有 提示 设 则 ， 因为数列是递增 的 ， 所以， 。 口 口 一 一 只需证 明 ： 对所有 的 ， 一 ， 且 则任 意 一个 素数 只要 能 整 除 数列 中的一项 ， 就能整 除该 数列 中的所有项 故对所 有 的 ， 口 又 一 （ 一 一 ） ， 显然 ， 一 与 一 一 定 义数 列 ： ， 对 ， 互素 而由 一 ， 知数列 是递增的 一 ， 为偶数 ， 因此 ， 若素数 （ 一 一 ） ， 则 口 ， 十 一 ， 且对 于任意的 （ ， ） ， 均有 十 ， 为 奇 数； ， 为奇数 ， ¨ ， 为 偶 数 证 明： 数列 能取 遍 每个 正整 数且 恰 一 但对 于数 列 中的每一 项 ， 只需取 素数 ， 使得 （ 一 一 ） 于是， 必可 找 到无 穷 多个 互不相等 的素数组 成数列 满足题 目 要 求 次 提示 仿例 ， 考 虑用二进制来表示数 令 （ 一 ） 用数 学归纳法证 明