图像变换(二)

1、第十二讲 图像变换(二)【目录】一、正交变换11、一维函数的正交性12、二维函数的正交性3二、空间周期5三、傅立叶变换应用61、图像频谱显示62、特殊函数的傅立叶变换102、图像滤波153、图像特征识别18【正文】一、正交变换1、一维函数的正交性【定义】如果有N个函数：构成一个函数集，这些函数在区间内满足下列特性：则此函数集称为正交函数集。当时，则称函数集为归一化正交函数集。任一函数在区间内都可以用正交函数集各分量的线性组合近似：。为获得最佳的近似，即求得系数，可用均方误差最小的条件求出。【推导】要使最小，对于每一个系数，应满足，即：整理一下，有：若函数集是归一化的，则有：【意义】对于的正交函

2、数集，当下述两点成立时，称为完备的正交函数集：(1) 不存在这样的函数，且：显然，如果能使上式成立，说明与函数集中的每一个成员都是正交的，因为就应该属于此函数集。如果函数集不含，则函数集就不完备；(2) 如果函数在区间上可用正交函数集近似表示成：均方误差：则当时，必需：，函数集才完备。此时意味着：【说明】(1) 任一函数，若能量有限,即，总可以用有限项级数来逼近。(2) 因为奇函数的累加仍为奇函数，偶函数的累加仍为偶函数，所以一个函数集要表示任何函数，则函数集中必需有奇函数和偶函数。【举例】下面考察三角函数的正交性。三角函数的表达式为：，其函数集为：由于有：所以三角级数的函数集为正交函数集。2

3、、二维函数的正交性【定义】若M阶实数矩阵满足，则称为正交矩阵；若M阶复数矩阵满足，则称为酉矩阵。【性质】正交归一若为酉矩阵或正交阵，则在矩阵中各行或各列向量的模为1，任意不同行或列向量之间正交。矩阵可表示成：其中：，当为酉矩阵时，根据定义有：故得：同样：可得：这个性质说明酉阵是一个正交归一矩阵。【性质】若为酉阵，则和也是酉阵。因为，酉阵有：，所以：【性质】若是酉阵，则其行列式的模为1由于为一个复数方阵，所以也是复数，可令：则：【性质】若是酉阵，是向量，作变换，则有。即：【结论】前面已经推导二维函数的变换可表示为：要使变换可逆，则必需：若为酉阵，则（如傅立叶变换）；若为正交阵，则（如余弦变换）。

4、这样的变换称为正交变换。二、空间周期【推导】考察傅立叶逆变换：可以转化为：上式表明，图像可以看成由一组正弦函数和余弦函数加权求和得到的。加权因子为。而其中每一个正弦或余弦代表了一个频率分量。取其中一项来分析，对于不同的、值，这个余弦函数表现不同的起伏，考察函数的最大值位置，即：，得 xyN/v0N/u0d这些组成了一组直线：显然，有：称为空间周期。称为空间频率。【结论】显然，原函数变换为后，中的每一个数值代表了图像的一个频率分量的大小。频率越大，、的值越大，在原点移到中心的频谱图像中，中心附近代表低频，外围代表高频。图像比较平缓，表示频率比较低，图像变换快，表示频率比较高。三、傅立叶变换应用1

5、、图像频谱显示许多图像的傅立叶频谱随着频率u、v的增大而迅速减小。使得显示和观察图像的频谱遇到困难。当以图像的形式来进行显示时，高频分量变得越来越不清楚。所以通常利用以下显示函数来显示频谱图像： 或者 。【例】频谱对数运算CLFx=linspace(-10,10,1024);y1=abs(sinc(x);y2=log(1+y1);y3=20*y1;y4=log(1+y3);subplot(221),plot(x,y1);axis tight,title('abs(Fu)')subplot(222),plot(x,y2);axis tight,title('log1+ab

6、s(Fu)')subplot(223),plot(x,y3);axis tight,title('20abs(Fu)')subplot(224),plot(x,y4);axis tight,title('log1+20abs(Fu)') 【例】频谱图像显示CLFI=imread('demo.jpg');imshow(I,); CLFI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I);imshow(abs(I1),),colormap(jet(256),colorbar CLFI=imread(

7、'demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I);imshow(log(1+10*abs(I1),)colormap(jet(256),colorbar 【例】频谱三维显示CLFf=zeros(256,256);f(123:133,123:133)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(jet(256),colorbar CLFf=zeros(256,256);f(123:133,123:133)=1;F=fftshift(fft2(f);surf(log(1+abs(F);axis tight;sh

8、ading interp;colormap(jet); 2、特殊函数的傅立叶变换【例】点函数CLFf=zeros(256,256);f(128,128)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(jet(256),colorbar 【例】全1函数CLFf=ones(256,256);F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(jet(256),colorbar 【例】三角函数t=linspace(-10*pi,10*pi,512);x=(sin(t)'y=ones(1,51

9、2);f=x*y;surf(f);axis tight;shading interp;colormap(jet); t=linspace(-50*pi,50*pi,512);x=(sin(t)'y=ones(1,512);f=x*y;F=fftshift(fft2(f);surf(log(1+abs(F);axis tight;shading interp;colormap(jet); CLFf=zeros(512,512);f(128,123 133)=1;F=fftshift(fft2(f);surf(log(1+abs(F);axis tight;shading interp;c

10、olormap(jet); 【例】网格函数CLFf=zeros(512,512);f(1:16:512,:)=1;f(:,1:16:512)=1;imshow(f,)colormap(gray(256),colorbar CLFf=zeros(512,512);f(1:16:512,:)=1;f(:,1:16:512)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(gray(256),colorbar CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,1:32:512)=1;imshow(f,)colormap(gray(25

11、6),colorbar CLFf=zeros(512,512);f(1:16:512,1:16:512)=1;F=fftshift(fft2(f);imshow(log(1+abs(F),)colormap(gray(256),colorbar 2、图像滤波【例】图像滤波CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,:)=1;f(:,1:32:512)=1;colormap(gray(256)imshow(f,) CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,:)=1;f(:,1:32:512)=1;colormap(gray(256)F=fft2(f);F(2

12、:512,:)=0;f=ifft2(F);imshow(abs(f),) CLFf=zeros(512,512);f(1:32:512,:)=1;f(:,1:32:512)=1;colormap(gray(256)F=fft2(f);F(:,2:512)=0;f=ifft2(F);imshow(abs(f),) 【例】图像滤波CLFI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I);subplot(121),imshow(I,);mask=zeros(512);x=50;mask(256-x:256+x,256-x:256+x)=1;I1=I1.*

13、mask;I1=fftshift(I1);I2=ifft2(I1);subplot(122),imshow(abs(I2),); 3、图像特征识别I=imread('text.tif'); % 读图像a=I(59:71,81:91); % 取字符asubplot(221),imshow(I,); % 显示图像subplot(222),imshow(a,); % 显示aFi=fft2(I); % 求图像的傅立叶变换a=rot90(a,2); % a旋转180度Fa=fft2(a,256,256); % 求a的傅立叶变换C=abs(ifft2(Fi.*Fa); % 卷积运算C=C/max(C(:); % 对C归一化subplot(223),imshow(C,); % 显示卷积图像subplot(224),imshow(C>0.8,);% 显示识别的字符 ClfI=imre