傅里叶变换和拉普拉斯变换_图文

1、 f (t )sin w0 t 15 16 终值定理 调制定理 f 0+ = lim+ f (t ) = lim sF (s ) t 0 t ( ) 1 F (s - jw0 ) - F (s + jw0 2 f () = lim f (t ) = lim sF (s ) t t 0 利用式(5-5和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数 f (t )U (t )的拉普拉斯变换式，如表 5-2 中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数 F (s ) 或原函数 f (t ) 表 5-2 拉普拉斯变换表 序号 1 2 3 4 5 6 f (t )U (t ) F (s ) 1 s (

2、t ) s n (t ) U (t ) sn t tn e - at 1 s 1 s2 n! s n +1 1 s+a 1 (s + a )2 7 te- at 8 t n e - at n! (s + a )n+1 9 e - jwt 1 s + jw 10 11 12 sin wt coswt e- at sin wt w s + w2 2 s s + w2 2 (s + a )2 + w 2 s+a (s + a )2 + w 2 w 13 e - at coswt 14 t sin wt (s 15 2ws 2 + w2 ) 2 t coswt (s 16 17 18 s2 -w 2

3、2 +w2 ) 2 shwt w s - w2 2 chwt d (t - nT n=0 s s - w2 1 1 - e - sT 2 19 n=0 f (t - nT F0 ( s 1 - e - sT 20 U (t - nT - U (t - nT - t T t n =0 , 1 - e- st s 1 - e - sT ( ) 七、拉普拉斯反变换 () () 从已知的像函数 F s 求与之对应的原函数 f t ，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法。 1 () 由于工程实际中系统响应的像函数 F s 通常都是复变量 s 的两个有理多项式之比，亦即是 s 的一个有理分 式，即 N (s

4、 ) bm s m + bm=1 s m-1 + L + b1 s + b0 F (s ) = D(s ) s n + an-1 s n-1 + L + a1 s + a0 式中， (5-10 a0 b a L () , a1 , , n -1 和 b1 , b 2 , , m 等均为实系数； m 和 n 均为正整数。故可将像函数 F s 展开 () 成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数 f t 。 () () 欲将 F s 展开成部分分式，首先应将式(5-10化成真分式。即当 m n 时，应先用除法将 F s 表示成一个 s N 0 (s ) N 0 (s ) N (s )

5、 N (s ) F (s ) = = Bm - n s m - n + L + B1 s + B0 + 0 D(s ) D(s ) ，这样余式 D (s ) 的多项式与一个余式 D (s ) 之和， 即 已为一真分式。对应于多项式 Q(s ) = Bm - n s m - n + L + B1 s + B0 各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲 F (s ) = 激函数本身。所以，在下面的分析中，均按 (1 分母多项式 N (s ) D(s ) 已是真分式的情况讨论。分两种情况研究： L pi L p n () 的根为 n 个单根 p1 p 2 。由于 D s = 0 D(s ) = s n

6、 + an-1 s n-1 + L + a1 s + a0 = 0 时即有 F (s ) = ， 故称 D(s ) = 0 的根 pi (i=1,2,n为 F(s的极点。 此时可将 D(s进行因式分解， 而将式(5-10 写成如下的形式，并展开成部分分式。即 F (s ) = N (s ) bm s m + bm =1s m -1 + L + b1s + b = = D(s ) (s - p1 )(s - p2 )L(s - pi )L(s - pn ) (5-11 式中， K1 K2 Ki Kn + +L+ +L+ s - p1 s - p2 s - pi s - pn 可见，只要将待定常数

7、 Ki (i=1,2,n为待定常数。 Ki 求出，则 F (s ) 的原函数 f (t ) 即可通过查表 5-2 中序号 6 的公式而求得为 n f (t ) = K 1e p1t + K 2 e p2t + L + K i e pit + L + K n e pnt = K i e pi tU (t ) i =1 待 定 常 数 K1 按 下 式 求 得 ， 即 Ki = N (s ) (s - pi ) D(s ) s = pi F (s )(s - pi ) = (5-12 现对式(5-12推导如下：给式(5-11等号两端同乘以 (s - p i ) ， ； 即有 K1 (s - pi

8、) + K 2 (s - pi ) + L + K i + L + K n (s - pi ) s - p1 s - p2 s - pn s = pi 由于此式为恒等式，故可取 p pi L p n pi 代入之，并考虑到 p1 p 2 2 ，故得： F (s )(s - pi ) s = p = 0 + 0 + L + Ki + L + 0 i K i = F (s )(s - pi ) s = p = i ，于是得 N (s ) (s - pi ) D(s ) s = pi 证毕。 *2 (Residue Method f (t ) = 根据式(5-7知， 拉普拉斯反变换式为 1 s +

9、j F (s )e st ds 2pj s - j t 0 这是一个复变函数的线积分， s = c1 s 0 的直线 AB(亦即直线 AB 必须在收敛轴以右，如图 5-4 其积分路径是 s 平面内平行于 jw 轴的 () 所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论知，可将求此线积分的问题，转化为求 F s 的全部极 点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和。这种方法称为留数法，也称围线积分法。闭合回线确定的原则 () 是：必须把 F s 的全部极点都包围在此闭合回线的内部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线 AB 与直线 AB 左侧半径 R = 的圆 C R 所组成，如图 54 所示。

10、这样，求拉普拉斯反变换的运算，就转化为求 st () 被积函数 F (s )e 在 F s 的全部极点上留数的代数和，即 f (t ) = = 1 s + j 1 1 F (s )e st ds = F (s )e st ds + F (s )e st ds 2pj s - j 2pj AB 2pj CR n 1 st ( ) F s e ds = Re s pi 2pj AB+CR i =1 式中 AB F (s )e st ds = f (t ) = s + j s - j F (s )e st ds ， CR F (s )e st ds = 0 ； pi (i = 1,2,L) 具体求法。 (1 若 为 F (s ) 的极点，亦即 D (s ) = 0 的根； Re s pi 为极点 pi 的留数。以下分两种情况介绍留数的 pi 为 D (s ) = 0 的单根即为 F (s ) 的一阶极点 ，则其留数为 Re s pi = F (s )e st (s - pi ) (2 若 s = pi (5-23 pi 为 D (s ) = 0 的 m 阶重根即为 F (s ) 的 m 阶极点 ，则其留数为 pi = 1 d m -1 m F (s )e st (s - pi ) m -1 (m - 1)! ds s = pi (5-24 将式(5-23，式(5-24分别与式(5-