二项式定理11种题型解题技巧

1、二项式定理知识点及 11种答题技巧【知识点及公式】1 .二项式定理：(a +b)n =C；an +C；anb 川| +C：an,b+| + C：bn(n，N2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 C； (r =0,1,2，,n).项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第 r +1项C；anbr叫做二项式展开式的通项。用 书=C；anbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有 (n+1)项。顺序：注意正确选择 a, b,其顺序不能更改。(a + b)n与(b + a)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减

2、到0,是降哥排列。b的指数从0逐项减到n,是升哥排列。各项的 次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C：,C：,C；, -IC；, .jC：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令 a =1,b =x, (1 x)n =C0 C：x C2x2 IH C：xW C；xn(n N )n nn 0 0 1 12 2 2r1 r rn n n令 a=1,b= x,(1-x)=Cn-Cnx+CnxTH+Cnx+j|l+(1)Cnx(n = N )5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0 = C： , Cnk

3、= C：,二项式系数和：令 a =b =1,则二项式系数的和为 C0 +C： +C： +111 +C； +|l| +C； = 2n ,变形式 C： +C： +IH +C； +III+C： = 2n -1 0奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a =1,b = 7 ,则 C0 C； +C； -C3+HI + (-1)nCn =(1-1)n =0,从而得到：C： +C； +C：+C： + =C； + C； +|11 C：,，+ m 2 = 2”奇数项的系数和与偶数项的系数和：/、n 0 n 01 n _12 nJ 2n 0 n12n(a x)= CnaxCnaxCna

4、xCnax = a。axa?xanx(x a)n = C10aoxn,C：axni - C：a2xn | ,C；anx= anxn|a2x2-a1x1- a0令x=1,贝 11ao +a1+a2 +a3 1H +an =(a + 1)n令义=-1,贝Ua0 -a1 +a2 -a3 +| +an =(a -1)n+得，a0 +a2 +a/H +% =3上3二11(奇数项的系数和)2得，为+a3 +a5用十an =甘厂一(a 一V(偶数项的系数和)2n二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数 n是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2取得最大值。如果二项式的哥指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数

5、C3, cnt同时取得最大值。系数的最大项：求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 一Ar1 A为A1, A，,8书，设第r十1项系数最大，应有 ，从而解出r来。A 1 _ Ar 2【二项式定理的十一种考题的解法】题型一：二项式定理的逆用；例：C：+C2 6+C； 62+III + C： 6n=.解：(1+6)n =C； +C： 6 + C； 62 +C； 63+lll + C：式与已知的有一些差距，c1 . c2 .a. . c3 .o2nan,11q.c2q2nqnC nCn 6Cn6C n6 _ (Cn 6Cn6C n6 )611cle= 1(C0+

6、Cn 6+C； 62 十用十C； 6n -1)=-(1+6)n-1 = -(7n-1)666练：cn 3C： 9C3 I 卜 3n,C； =.解：设 Sn =C： +3C； +9C； +IH+3n_1Cn1 ,贝U3Sn =C：3+C；32 +C333 出H +C：3n =C； +C13 + C232 +C333 +HI + C：3n -1=(1 + 3)n-1(1 3)n -1 4n -1Sn =n题型二：利用通项公式求 x的系数;例：在二项式(4/1+3/X2)n的展开式中倒数第 3项的系数为45 ,求含有X3的项的系数？解：由条件知C：n=45,即C； =45,n2 n90 = 0,解得

7、n = 9(舍去)或n = 10 ,由r 4 10 _r 2 r r 4 210 -P 2一口T+ =Ci0(x4)(x3) =Ci0X 4 3 ,由题意p十4 r =3,解得 r =6 ,43则含有X3的项是第7项T6书=C16)X3 =210X3,系数为210。2199练：求(X)展开式中X的系数？2x解：Tr + =C；(x2)9()=CgX18-r(-)rx- =Cg(-1)rx18-r,令 18_3r =9,则 r =32x22故x9的系数为C；()3 =-21o22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项?4525620 r5a 1 a解：Tr书=C10(x )

8、(=C10( ) x 2，令 20 2r ，得r=8,所以T9=C101.)=1.6练：求一项式(2x)的展开式中的常数项？2x解：Tr , =C；(2x)6(1)(2)r =(1)rC；26(l)rx6/r ,令 62r =0,得 r =3,所以2x2T4 =(-1)七；=2021 n练：若(x +一)的二项展开式中第 5项为常数项，则n =. x解：T5 =出“尸(1)4 =C：x,令 2n -12 = 0 ,得 n = 6. x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(JX-3/X)9展开式中的有理项？1127.27-解：Tr + =C；(x2)9(x3)r =(1)rC

9、；x 6 ,令w Z ,( 0 Mr M9)得 r = 3或 r = 9 ,6所以当r =3时,T4 =(-1)3C；x4 = -84x4 ,当 r=9 时，27=3, T10 =(1)3C；x3 = x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例：若（发工尸展开式中偶数项系数和为 -256,求n.3 x2解:设（犷-白）n展开式中各项系数依次设为a0, al, an )令x = -1,则有 a。+a +an =0,，令x =1,则有 a。a1 +a2 - + (1)n an = 2n, 将-得：2(a1+a3+a5+,.) = 2n,二a1+a3+a5+=2n，有题意得，2n

10、=256 = 28,，n = 9。练：若（卢+的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。而次.* c0 c2 44八 2r八1 332rln 1cn 1斛：，Cn +Cn +Cn+Cn +，=C0+ C0+ + C+，= 2 ,二 2 =1024 ,解得 n =11所以中间两个项分别为n=6, n=7, 丁54=C；（产（5A）5 = 462，x工，T6书=462，x、题型六：最大系数，最大项；一一，.1 一 .n一例：已知（一+2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解：；C：+C； =2C；,. n2 21

11、n+98 = 0，解出n=7或n=14,当n = 7时，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5 二 T4 的系数=C；（1）423 = 35, T5 的系数=C；（1）324 =70，当 n=1452221 77时，展开式中二项式系数最大的项是T8,，丁8的系数=014（-） 2 =3432。练：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数 2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n =Tn书，也就是第n+1项。一12x 1 n_练：在（胃）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23 x解：只有第5项的二项式最大，则 口+1=

12、5,即n =8,所以展开式中常数项为第七项等于2C*）2 =72例：写出在(a-b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数 7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4 = -C；a4b3的系数最小，T5 =c4a3b4系数最大。1 n例:解:若展开式刖二项的二项式系数和等于79,求(一+2x)的展开式中系数最大的项？211由 CO +C： +C； =79，解出 n=12，假设 Tr外项最大，(一+2x) =() (1 + 4x)22Ar 1 , AC；24r _C11214r,-J r+=412，化简得到 9.4Er E10.4

13、,又 YOgr E12 , J. r =10,Ar 1 - Ar 2C；2 4r 我/ 4r 1展开式中系数最大的项为T11，有T11 =(1)12C112c410x10 =16896x12练:在(1+2x)10的展开式中系数最大的项是多少?解:假设T一项最大，：Tf = C；o2xrAr 1 - ArAr 1 ; Ar 2C；0 2r _C；0,2C；02r _*2练：求式子(x解：(x：-2)3x?6,设第r +1项为常数项，则-2(11 - r) . r一解得 ,化简得到6.3k n =0,因此(1 + 2乂)3(1-乂)4的展开式中 x2的系数等于 C30 2 C42 (-1)2 +C

14、3 21 c4 (-1)1 +C22 ,C0 .(-1)0 = -6 .练:求(1十&)6(1+2)10展开式中白常数项., x解:(1 3x)6(1 41m n产)10展开式的通项为C6mx三C；x=C6n C1； x x4m与n12m=0m = 3- m = 6其中 m=0,1,2, I6, n =0,1,2，,10，当且仅当 4m=3即或 或n = 0, J n = 4, n = 8,时得展开式中的常数项为C； C1-C； C14 C； C；0 =4246.O 1c练：已知(1 +x +x )(x + )的展开式中没有吊数项，n w N且2 W n M8,则n =. x解：这十工厂展开式

15、的通项为C：，xnx，=C：，xn”r,通项分别与前面的三项相乘可得 xCn0口。；力工。父如出；展开式中不含常数项,2n8二 n #4r且n #4r +1且n # 4r +2,即 n # 4,8且n #3,7且n 丰 2,6, n = 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x-拒)2006的二项展开式中，含对勺奇次幕的项之和为S,当x = &时,S =解： &(x-/2) 2006=a0 +a1x1 +a2x2 +%x3 + | + a2006x2006 (一x 历2006 =a0 ax1 +a?x2 -a3x3 +Ill + a26x206 -得2(a1x +a3x3 +ax

16、5 十|+a2005x25) = (x-拒) 2006 -(x+&)2006二(x -扬2006展开式的奇次曷项之和为S(x)=1(x-V2 ) 2006 -(x +6)200623 2006当x = .2时，S(、2)=工卜2 -2 ) 2006 -(,.22 ) 2006 = - = -2 300822题型十：赋值法；1 n例：设一项式(33x十)的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为 s,若xp +s =272 ,则n等于多少？12斛：右(3次 + )=a0+a1x+a2x + anx，有 P = a0 + a+ an, S = C：+Cn=2 , x令 x=MHP=4n,又

17、 p+s= 272，即 4n +2n =272= (2n+17)(2n 16) = 0解得2n =12n =17(舍去)，, n=4.练：若 3x -二的展开式中各项系数之和为64 ,则展开式的常数项为多少？x解：令x=1,则,36-二)的展开式中各项系数之和为2n =64,所以n = 6,则展开式的常数x项为 C；(3 .x)3 ( -L)3 = -540 .20091232009Si a2a2009 ,例：右(12x)=a0+a1x +a?x +a3x +川+22009x(x= R),贝U +/ +的值为222翩.人、,1 1彳曰 ca1a2a2009a1a2a2009 c斛. x =2,可信 a0y222009 = 0,一 万2T-22009= -a0在令x =0可得a。=1，因而a1 - -aj-黑I - -1.222练：若(x2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2 +a1x1+a0,贝+a2+a3 +a4+a5 =.解