二次曲线的一般理论

1、第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1 .求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程，得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上.2.试决定k的值，使得直线x y 5 0与二次曲线x23x y k0交于两不同实点；x 1 kt ,直线与二次曲线x23y2 4xyy 收于一点；y k t直线x ky 1 0与二次曲线y2 2xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点；x 1 t已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共腕虚点，求 ky

2、1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程，得2x2 2x k 5 02Q 24 k 504k 16 0k4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点.120(2) .二次曲线的矩阵为2 31/20 1/2 0-r且 v X ,Y k,1 ., x0, y01,kk,1 k2 4k 3 0,则匕 1,k2 3,11)当ki 1 时,Fi x°yo X F2 %,y。Y 1 - 0,2132).当k2 3时,F1 Xo,yo X F2 Xo,yo Y 15 0, 2k 1,3时，原直线与二次曲线交于一个实点.110.二次曲线的矩阵为 11(1 k)/20 (1 k)/21且 V X

3、,Y k,1 , X0,y01,0 ,122令 0,即k 11 2k 10,即 k2 6k 5 0,4解之，得k11,k25,1)当 k 1时， X,Y k,11 2k 0,2)当 k 5时，X,Y k,11 2k 0,当k 1,5时，直线与二次曲线有二重合实交点1/ 21 且 X :Y 1: ( 1)022(4).二次曲线的系数矩阵为2k1/21解得k 49 ,且此时24取'y。)")，令v °,即7 (1 k)( 1)2 (k 2)(3 k) 01(1, 1) 2 4( 1) k k 2 0,24k 49时，直线与二次曲线有两个共腕虚交点。24§ 5.

4、2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1 .求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.,221 x 2xy y 3x y 0;2 22 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 3 0.OO一. 11解:(1) Q X,Y X2 2XY Y2 0时，X: Y1:1,同时 I20,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的2 Q X,Y 3X2 4XY 2Y2 0时,X :Y 2 . 2i : 3或 2 ,2i :3,32且 I22 0,22曲线有两个共腕的虚渐进方向，是椭圆型的.小、，、一01 X;Y 0:1 或 1:0，且 I210,10曲线有两个渐进方向，是双曲型

5、的.2.判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线,221 x2xy2y4x6y30;-2.22 x4xy4y2x2y10;2 ,23 9x6xyy6x2y0.-11解：Q I21 0 ,故为中心曲线；1 2121111有I2120,且王24a122 Q A 241 ,a12a13a22a23曲线为无心曲线；3a11a2 a3.1，且有3,-012a22a230曲线为线心曲线.3.求下列二次曲线的中心解彳导x3,y13028280；0；0；221 5x 2xy 3y 2x 3y 6222 2x 5xy 2y 6x 3y 53 9x2 30xy 25y2 8x 15y224 4x 4xy

6、y 4x 2y 0.5x y 10解1由3x 3 y 2中心为13282x 5y 3 02由 2解得x 1,y 2,53x 2y 0221.23Q包012a22a13a23曲线没有中心.aiiai2a 22a13a232,曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+1=0.4.当a,b满足什么条件时，二次曲线2 c2x 6xy ay 3x by 4 0（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线133/213解：因为 A 3 a b/2 , I?a 9,3 a3/2 b/24（1）当I2 0即a 9, b为任意实数时，曲线有唯一中心；2当1 3,即a 9,b 9时:;次曲线没有中心；2（

7、3）当a=b=9时，二次曲线有一条中心直线。5、试证明如果二次曲线 a11x2 2al2xy a22y2 2al3x 2a23y a33 0 ,有渐近线，则它的两渐近线方程是/、/、2-/、/、/、2-（x x0,yy0）a11（xx°）2a12（xx0）（yy°）a22（yy0）0式中（x0,y0）为二次曲线的中心。证：设渐进方向为X:Y,在渐进线上任取一点（x,y）,则工 -.y y。 X 2 - Xx x0由 21 工2a12 77 皂20 '即 a11 YYNN。22a12上20a220化简，得渐进线方程为:2a11(x %)2a12(xxo)(yy0y0)

8、2a22(y yo)06 .求下列二次曲线的渐进线。1 6x22 x23 x2xy3xy2xy2y2 y3x22x3y2y0；0;0.解：(1)由.1 6x y212x y32120解得中心为0故渐进线方程为0,即 2x y 10与3x0.3x -y22x 2y解得中心为3 025,故得渐进线方程为即x 2y 1 0与x2x+53x50.(3)原方程变形为(x y)22(x y) 4 0 ,即为两条平行直线。其渐进线方程为中心直线:x+y+1=0.7 .试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是I2 I3 0成为无心曲线的充要条件是 I2 0,I3 0.证：(1)若二次曲线为线心曲线，则上酶以此时有

9、I2 I30,a12a22a23反之,若I2I30,则包23a12ai2a22a12a23a13a22ai3a12a22a13，有 a11a12 , a12a22 , I 3a12a22a23a13a23a330,从而由的盟或盟，都有a11a12a23a22a23a12a22a23a13a23即曲线为线心曲线。（2）若曲线为无心曲线,曳至盟，从而I20,I3a12a22a230否则由（1）知曲线为线心曲线反之，若I20,I3 0,则必有 耻 跑 盟,即曲线为无心曲线。a12a22a238、求以点（0, 1）为中心，且通过点（2, 3）, （4, 2）与（-1 , -3）的二次曲线 方程。解：设

10、所求的二次曲线方程为ax2 bxy cy2 dx ey f 0,因为（0, 1）是其中心，点（2, 3）, （4, 2）, （-1 , -3）在曲线上，它们关于（0, 1） 的对称点（-2, -1）, （-4, 0）, （1, 5）也在曲线上，从而4a 6b 9c 2d 3e f0,4a2bc2d e f0, 16a 8b 4c 4d 2e f 0,16a-4b f 0, a-3ab 9c d 3e f 0, a 5b 25c d 5e f 0, 由上六式解得 b 1, d1,f4,ac e 0.,所求方程为xy x 4 0.§ 5.3 二次曲线的切线1 .求以下曲线在所给点或经过所

11、给点的切线方程.曲线3x24xy 5y27x8y 3 0在点 21;曲线x2xy y2 x4y3 0,经过点-2,-1;曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0,经过点0,2 .解 QF 2,10,即点2,1在二次曲线上，且R 2,19,F2 2,15,所求切线方程为9x25 y 10,即9x 10y 28 0.2 Q F 2, 14,即点 2, 1不在二次曲线上，且弓 2, 12,F22, 10,2rr所求切线方程为X 2 y 1 y 1°,即y 1的x y 3 °.,c、 -L3(3) Q F 0,29,且 Fi 0,2 ,F2 0,23,22所求切线方程为-x 3 y

12、 22x2 x y 2 y 2 29 0,2即x 0.2,求以下曲线的切线方程，并求出且点的坐标.(1)曲线x2 4xy 3y2 5x 6y 3 0的切线平行于直线x 4y 0。 22(2)曲线x xy y3的切线平行于x轴.解：(1)设切点为(x。，y。)，则切线为：(xx0)F1(x0,y。)(y丫0什2函，丫0)0,这切线与直线x 4y 0平行，从而F1(x0, y0): F2(x0,y0) 1:4,5即 4(x0 2y0 -) (2x0 3y0) 0 ,所以 2x0 5y0 7 0 (1)2又因为(,丫0)在二次曲线上，故有 2 4x0y0 3y02 5x. 6y0 3 0 ( 2)由

13、(1) (2)得 % 1或x04 0所以曲线的方程是x 4y-8 0或x 4y-5 0。% 1 Y0 3(2) 设切点为(x0,y0),因为切线的方向数X:Y为1:0或0:1,1 n当X: Y 1:0时，由方程组x0 2y0 0解得切点为2 20x0X0V0 V。 3,1, 2 或1,2 ,平行于ox轴的切线方程为v=2与y=-2.3.求下列二次曲线的奇异点。1 3x2 2y2 6x 4y 1 0;22 2xy y 2x 1 0;2 23 x 2xy y 2x 2y 1 0.“q 3x 30x=-1 口解：1由解得 ，且F 1,10,2 v 20V=1奇异点为(-1,1),y 10x 1 口2

14、由7 解得，且F 1,10,x y 0 y 1奇异点为（-1,1）.x y 1 03由x y 1 0得x y 1 0,且此直线在二次曲线上，x y 1 0故x-y-1=0上的所有点都是二次曲线的奇异点.4.试求经过原点且切直线 4x+3y+2=0于点（1,-2 ）,切直线x-y-1=0于点（0, -1 ） 的二次曲线方程.解 v二次曲线过原点22: 可设其方程为 a”2a12xy a22y2a样 2a23y 0,以其上一点小，加为切点的切线方程为：anMa12y0&3 x2x0a22y0a23ya13x0a23 y00故以（1,-2）为切点的切线方程为加2al2a13 x 弘 2a22 a23 y / 2a23 0以点（0,- 1）为切点的切线方程为a12a13xa22a?3 ya?30,此两直线方程分别与4x+3y+2=0和x-y-1=0同解，从而有a112a12a13422a22a234a12a13a22a2311解得 a231,a222,3n3a23 ,112,a12ai3a23,t;a132,故所求二次曲线方程为:6x2 3xy2y 2x