九年级暑假-第4讲相似三角形的判定一-教师版

1、九年级暑假数学最新讲相似三角形的判定（一）内容分析相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容， 本讲主要讲解 相似三角形的定义、相似三角形判定定理 1和相似三角形判定定理2;重点是根 据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合.知识结构知识精讲1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成 比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.如图，DE是 ABC的中位线，那么在 ADE与 ABC 中， A A, ADE B, AED C； AD PE AE 1 由相似三角形的定义，可知这两 AB BC AC 2个三角形相似.用符号来

2、表示，记作ADE" ABC,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应 顶点；符号 呢”读作 相似于” .用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号"”后相应根据相似三角形的定义，可以得出：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两 个三角形的相似比(或相似系数).(2)如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.如图，已知直线l与 ABC的两边AB、AC所在直线分别交于点 D和点E,则 ADE

3、 s ABC .3、相似三角形判定定理 1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.如图，在 ABC与 ABQi中，如果 A A、 B Bi ,那么 ABCs ABG.常见模型如下:例题解析【例1】根据下列条件判定 ABC与DEF是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表不出来.(1) A D 70 , B 60 , E 50 ;(2) A 40 , B 80 , E 80 , F 60 .【难度】【答案】(1)相似， ABCs DFE ； (2)相似， ABCs DEF .【解析】(1)根据三角形内角和180 ,可得

4、C 50 E,又 A D 70 ,根据相似 三角形判定定理1,确立对应关系，即可判定ABCs DFE ;(2)根据三角形内角和180 ,可得 C 60 F ,又 B E 80 ,根据相似三角形判定定理1,确立对应关系，即可判 定 ABCs DEF【总结】考查相似三角形判定定理 1,部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和180进 行求解.【例2】如图，E是平行四边形 ABCD的边BA延长线上白一点，CE交AD于点F .图中有哪几对相似三角形？【难度】【答案】EAF s EBC , EAF s CDF ,EBC s CDF .【解析】由AB/CD, AD/BC ,可得：AE/CD, AF/BC

5、,根据相似三角形预备定理, 可得： EAF s EBC , EAF s CDF ,进而可彳导:EBC s CDF ,即这三个三角形两两相似.【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性.【例3】如图，1= 2= 3,那么图中相似的三角形有哪几对?根据相似三角形判定定理1,【难度】【答案】 ADE s ABC , ADE s ACD ,ABC s ACD , BCD s CDE .【解析】根据 1= 2= 3,同时有 A公共角必相等，根据相似三角形判定定理 1,可得ADE s ABC ,ADE s ACD , ABC s ACD ;同时由 1= 3 ,可得：DE/BC,进而 EDC

6、 DCB,又 23,可得： BCDs CDE .【总结】考查相似三角形判定定理 1,同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件,注意不要遗漏.【例4】如图，D、E分别是 ABC的边AB、AC上的点，且 AED B .求证：AEgAC ADgAB.【难度】【答案】略.【解析】证明：Q AED B, A A,AED s ABC ,AD AEAC AB即 AEgAC ADgAB.【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论.【例5】如图，Rt ABC在中,C 90 , CD AB 于点 D,且 AD:BD 9: 4 ,求AC :BC的值.【难度】【

7、答案】3: 2 .【解析】Q ACB 90 ,即 ACD BCD 90 , 又 CD AB,可得 ACD A 90 .A BCD .又 ADC BDC 90 , ACD s CBD ,AD DC AC . DC BD BC4k ,代入可得：DC 6k .Q AD :BD 9: 4 ,设 AD 9k k 0 ,则 BDAC: BC AD:DC 9k:6k 3:2 .【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两 相似，称作 子母三角形”，是一种常用的数学模型.【例6】如图，ABC中， BAC 90 , D是BC中点，AE AD交CB延长线于点 E,则BAE相似于

8、.【难度】【答案】 ACE .【解析】Q BAC 90 ,即 BAD CAD 90 ,又 AE AD ,即 BAD BAE 90 , CAD BAE .又D为Rt ABC斜边BC中点，1 _ _ AD BC CD .2BAE C ,由 E E ,BAEs ACE.【总结】对于相等有公共角的两角， 可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直 角三角形分成了两个等腰三角形.【例71如图， ACB CED 90 , CD AB于点D,【难度】【答案】36 . 25【解析】Q AC 3 , BC 4 , ACB=90 ,AB jA?B5T 5 .12根据面积法，可知 CD AB AC BC ,解

9、得CD AC 3 , BC 4 ,求 ED 的长.又 CD AB,ACB=90 ,可得 ADC s ACB.ADACAC，代入可得:ABQ ACB CED 90 , DE / /BC ,DE AD 9BC AB 25代入得:ED3625【总结】考查对于子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为同一三角形中边长比的思想,实际上这个这个图形中包含 5个直角三角形，全部都是两两相似.【例8】如图，AB BD, EDBD,点C在线段BD上运动，ED 1, BD 4 , AB 4,若 ABC与 CDE相似，求BC的值.【难度】【答案】3或2. 5【解析】（1） ABC s EDC时

10、，则应有生胆 4 .CD DE416由 BD 4,可得：BC -BD ; 55 ABCs CDE时，则应有空幽.DE CD4由BD 4,代入得：BC ,4 BC解得：BC 2 .【总结】解决三角形相似问题时,定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下,则需要进行分类讨论.5【例9】如图,ABC是等边三角形，DAE略.证明:Q ABC是等边三角形,BACACBDAEDAB CAE 60 .ACBCAE 60 ,DAB s DEA ,DABADDEE .ABAE求证 ADgAE ABgDE .即 ADgAE ABgDE .1 ,先判定再应用.【例10】正方形ABCD中，E是AD中点，BMCE

11、于点M , AB 6厘米，求BM的长.【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理【难度】【答案】12 g5cm .5【解析】Q四边形ABCD是正方形，BC CD AD AB 6cm, D 90,AD/BC.DECBCM ,又 BMC D 90 ,BMC s CDE,BM DCBC EC1. E是 AD 中点，DE -AD 3cm.2由勾股定理可得：CE J5FCd 3J5cm,代入可得：BM 任 75cm.5【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角, 根据相似三角形判定定理 1可证相似.【例11如图，在Rt ABC中,BAC 90 , AD BC

12、于点D ,点O是AC边上一点，联结BO交AD于点F , OE OB交BC边于点E .求证： ABFs COE.【难度】【答案】略.【解析】证明：Q BAC 90 ,BAD CAD 90 , ABO AOB 90 ,又 AD BC , OE OB ,C CAD 90 , AOB EOC 90 .BADC, ABO EOC .ABF s COE.【总结】考查利用 子母三角形"基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等,再利用相似三角形判定定理 1即可证明.【例12如图，在 ABC中,ACB 90 , AC BC, P 是 ABC 内一点,且 APB APC 135 .求证：CPA

13、s APB .【难度】【答案】略.【解析】证明：Q ACB 90 , AC BC , CAB 45 .即 CAP PAB 45 .Q APB 135 , CAP ACP 45 . ACPPAB.【总结】考查相似三角形的判定定理1,需要根据三角形内角和进行等角转化.Q APB APC 135 , CPA s APB .【例13如图，在梯形 ABCD中，AB / CD ,且AB 2CD ,点E、F分别是 AB、BC的中点，EF与BD相交于点M .（1）求证：EDM s FBM ;（2）若 DB 6,求 BM .【难度】【答案】（1）略；（2） BM 2.【解析】（1）证明：Q AB 2CD , E

14、是AB的中点,BE CD ,又 AB/CD ,四边形EBCD是平行四边形.BC/DE,EDM s FBM .(2)解：QBF/DE, F 为 BC 中点，DM DE BCBM 12 , MB BF BFBD 3代入可得：BM 2.【例14如图，在ABC 中，ABAC , DE / BC ,点 F 在边 AC 上,（1）求证:(2) DGgDF【难度】【答案】略.ABE.DEF s BDEDBgEF .【解析】证明：（1）Q DE / BC ,ADEABC, AEDQ AB AC ,ABCACB,ADEDF与BE相交于点ACB .BDE Q DEFEDFEFDEABE,DEBD，DEF s BD

15、E .DEB DFE ,即 DB EFDE2.Q EDGDGEs DEF ,空匹，即 DG DF DE2. DE DFDG DFDB EF .【总结】考查相似三角形判定定理1,根据题目所求进行相应比例线段的转化.【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用.D、E分别在边 AB、BC上，请找【例15如图，已知 ABC、 DEF均为等边三角形,出一个与 BDE相似的三角形，并加以证明.【难度】【答案】 BDE s CEH .【解析】Q ABC、 DEF是等边三角形，B C DEF 60 .Q DEC DEF HEC BDE B ,HEC BDE , BDEs CEH

16、. 同理可证得：BDE s AGD s FGH .【总结】考查 线三等角”模型的建立，根据外角可证相似.BD于点O ,交CD于点【例16如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, OFE ,交BC的延长线于点F . 2 求证：AO OEgOF .【难度】【答案】略.【解析】证明：Q四边形ABCD是矩形，AO BO CO , BCD 90 ,OCB OBC, OCB OCE 90 ,又OF BD,OBC F 90 ,OCE F .Q COE COF ,OCE s OFC ,OC OEOF OC -2- 2OE OF OC AO .【总结】考查相似三角形判定定理1,根据题目所给条件综合分析.

17、【例17如图， ABC中，AB AC,AD是中线，P是AD上一点，过 C作CFAB,延长BP交AC于点E ,交CF于点F .求证：BP2 PEgPF .【难度】【答案】略【解析】证明：连结 PC .Q AB AC , AD是底边中线，Q AP AP, BAP CAP.BP CP, ABP ACP.BAPQ CF / AB , ABP F , ACPQ EPC CPF , PEC s PCF ,F .PE PCPC PF22PE PF PC BP .【总结】考查相似三角形判定定理1,在有同角的情况下，再找出一个容易证明相等的角即可.【例18如图，在ABC中，ABAC 12, BC 6,点D在边AB上，点E在线段CD上,且 BEC ACB , BE的延长线与边 AC相交于点F .(1