高二数学几何概型(3)ppt课件

1、开始开始 1学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五学点六学点六21.1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( (面面 积或体积积或体积) )成比例成比例, ,则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为 ， 简称为简称为 . .2.2.在几何概型中，事件在几何概型中，事件A A的概率的计算公式如下：的概率的计算公式如下：P P( (A A)=)= . .3.3.均匀随机数均匀随机数 均匀随机数就是在一定范围内均匀随机数就是在一定范围内, , 产生的数产生的数, ,并且得到并且得到 这个范围内的每一个数的机会一样这个范围

2、内的每一个数的机会一样. .几何概率模型几何概率模型 几何概型几何概型 随机随机 构成事件构成事件A A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）/ /试验的全部试验的全部 结果所构成的区域长度结果所构成的区域长度( (面积或体积面积或体积) )子区域子区域A A的几何度量的几何度量 返回返回 34.4.0,10,1间随机数的产生间随机数的产生 在计算器中应用在计算器中应用 可连续产生可连续产生0,10,1范围内的均匀范围内的均匀 随机数随机数. .不同的计算器具体操作过程可能会不同不同的计算器具体操作过程可能会不同. .5.5.随机模拟法的应用随机模拟法的应用 随机模拟法可用来求随机模

3、拟法可用来求 （特别是（特别是 ） 的面积的近似值，或求的面积的近似值，或求 . .随机函数随机函数 某些特殊图形某些特殊图形 不规则图形不规则图形 某些量某些量( (如如)的近似值的近似值 返回返回 4学点一与长度有关的几何概型的求法学点一与长度有关的几何概型的求法【分析分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法本题考查与长度有关的几何概型的求法. .某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔5 5分钟有一辆车通过分钟有一辆车通过( (假设每一辆车带走假设每一辆车带走站上的所有乘客站上的所有乘客),),乘客到达汽车站的时间是任意的乘客到达汽车站的时间是任意的, ,求乘客求乘客候车时间不超过候车时间不超过

4、3 3分钟的概率分钟的概率. .【解析解析】这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题. .记记A A= =“候车时间不超候车时间不超过过3 3分钟分钟”. .以以x x表示乘客到车站的时刻表示乘客到车站的时刻, ,以以t t表示乘客到车表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻站后来到的第一辆汽车的时刻, ,作图作图3-4-3.3-4-3.据题意据题意, ,乘客必乘客必然在然在t t-5,-5,t t内来到车站内来到车站, ,故故=x x| |t t-5-5x xt t.返回返回 5若乘客候车时间不超过若乘客候车时间不超过3 3分钟分钟, ,必须必须t t-3-3x xt t, ,所以所以A A=

5、x x| |t t-3-3x xt t,据几何概率公式得据几何概率公式得P P( (A A)=)= =0.6.=0.6.【评析评析】(1)(1)把所求问题归结到把所求问题归结到x x轴上的一个区间内是解轴上的一个区间内是解题的关键题的关键, ,然后寻找事件然后寻找事件A A发生的区域发生的区域, ,从而求得从而求得A A. .(2)(2)本题也可这样理解本题也可这样理解: :乘客在时间段乘客在时间段(0,5(0,5内任意时刻内任意时刻到达到达, ,等待不超过等待不超过3 3分钟分钟, ,则到达的时间在区间则到达的时间在区间2,52,5内内. .53A图图3-4-3返回返回 6在两端相距在两端相

6、距6 m6 m的木杆上系一根绳子的木杆上系一根绳子, ,并在绳子上挂一盏灯并在绳子上挂一盏灯, ,则则灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于2 m2 m的概率是多少的概率是多少? ?解解: :灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件, ,即即整个区域的几何度量为整个区域的几何度量为=6 m.=6 m.记记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于2 m2 m”为事件为事件A A, ,则把木杆三等分则把木杆三等分, ,当绳子挂在中间一段上时当绳子挂在中间一段上时, ,事件事件A A发生发生, ,即即A A=2 m.=2 m.所以由几何概型的概率公式所以由几何概型

7、的概率公式, ,得得P P( (A A) ) . .3162A返回返回 7学点二与面积有关的几何概型的求法学点二与面积有关的几何概型的求法1.1.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 6小时小时, ,假定它们在假定它们在 一昼夜的时间段中随机地到达一昼夜的时间段中随机地到达, ,试求这两艘船中至少有试求这两艘船中至少有 一艘在停靠时必须等待的概率一艘在停靠时必须等待的概率. .【分析分析】本题考查与面积有关的几何概型的求法本题考查与面积有关的几何概型的求法. .【解析解析】设设A A=两艘船中至少有两艘船中至少有一艘停靠时等待一艘停靠时等待.建立平面直角坐标建立平

8、面直角坐标系如图系如图3-4-4,3-4-4,x x轴表示甲船到达的时间轴表示甲船到达的时间, ,y y轴表示乙船到达的时间轴表示乙船到达的时间, ,则则( (x x, ,y y) )表示表示的所有结果是以的所有结果是以2424为边长的正方形为边长的正方形. .图图3-4-4返回返回 8事件事件A A发生的条件是发生的条件是0 0 x-yx-y6 6或或0 0y-xy-x6,6,即图中阴影部分即图中阴影部分, ,则则=24=242 2, ,A A=24=242 2-18-182 2. .P P( (A A)= ,)= ,即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是即这两艘船中至少有一艘在停靠

9、时必须等待的概率是. .167241824222A167【评析评析】(1)(1)甲、乙两船都是在甲、乙两船都是在0 05454小时内的任一时刻小时内的任一时刻停靠停靠, ,故每一个结果对应两个时间故每一个结果对应两个时间; ;分别用分别用x x, ,y y轴上的数表示轴上的数表示, ,则每一个结果则每一个结果( (x x, ,y y) )就对应于图中正方形内的任一点就对应于图中正方形内的任一点. .(2)(2)找出事件找出事件A A发生的条件发生的条件, ,并把它在图中的区域找出来并把它在图中的区域找出来, ,分别计算面积即可分别计算面积即可. .(3)(3)这一类问题我们称为约会问题这一类问

10、题我们称为约会问题. .返回返回 92.2.设有一等边三角形网格设有一等边三角形网格, ,其中各个最小等边三角形的边其中各个最小等边三角形的边 长都是长都是 cm,cm,现用直径等于现用直径等于2 cm2 cm的硬币投掷到此网格的硬币投掷到此网格 上上, ,求硬币落下后与格线没有公共点的概率求硬币落下后与格线没有公共点的概率. .【分析分析】考查几何概型中与面积有关的问题考查几何概型中与面积有关的问题. .34【解析解析】记记A A=硬币落下后与格线硬币落下后与格线没有公共点没有公共点,如图如图3-4-53-4-5所示所示, ,在等边三在等边三角形内作小等边三角形角形内作小等边三角形, ,使其

11、三边与原使其三边与原等边三角形三边距离都为等边三角形三边距离都为1,1,则等边三角则等边三角形的边长为形的边长为 , ,由几何概由几何概型得概率为两三角形面积的比型得概率为两三角形面积的比, ,即由概率即由概率323234图图3-4-5返回返回 10的公式得的公式得P P( (A A)=)=.41)34(43)32(4322大三角形面积小三角形面积【评析评析】求出面积是解题关键求出面积是解题关键. .返回返回 11甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6 6时到时到7 7时之间在某处会面时之间在某处会面, ,并约定先到并约定先到者应等候另一个人一刻钟者应等候另一个人一刻钟, ,过时即可离去过时即可离

12、去, ,求两人能够会求两人能够会面的概率面的概率. .解解: :按照约定按照约定, ,两人在两人在6 6点到点到7 7点之间任何时刻到达会面点点之间任何时刻到达会面点是等可能的是等可能的, ,因此是一个几何概型因此是一个几何概型, ,设甲、乙两人到达的时间设甲、乙两人到达的时间为为x x, ,y y, ,则则| |x-yx-y|15|15是能够会面的先决条件是能够会面的先决条件. .以以x x和和y y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, ,则两则两人能够会面的充要条件是人能够会面的充要条件是| |x-yx-y|15.|15.返回返回 12在平面上建立直角

13、坐标系如图在平面上建立直角坐标系如图, ,则则( (x,yx,y) ) 的所有可能的所有可能结果是边长为结果是边长为6060的正方形的正方形, ,而可能会面的时间用图中的阴而可能会面的时间用图中的阴影部分表示影部分表示. .这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题, ,由等可能性知由等可能性知P P( (A A)=)=答答: :甲、乙两人能够会面的概率是甲、乙两人能够会面的概率是 . .167604560222ASS167返回返回 13学点三与体积有关的几何概型的求法学点三与体积有关的几何概型的求法在在1 1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子, ,

14、从中从中随机取出随机取出1010毫升毫升, ,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少率是多少? ?【分析分析】本题考查与体积有关的几何概型本题考查与体积有关的几何概型. .【解析解析】设设A A=取出取出1010毫升种子毫升种子, ,含有病种子含有病种子,则则= =1 0001 000毫升毫升, ,A A=10=10毫升毫升, ,P P( (A A)= ,)= ,即取出种子中含麦锈病的种子的概率是即取出种子中含麦锈病的种子的概率是0.01.0.01.01. 01000100A返回返回 14【评析评析】(1)(1)病种子在这病种子在这1 1升种子中的分布可以

15、看作是随升种子中的分布可以看作是随机的机的, ,有无限个结果有无限个结果, ,并且是等可能的并且是等可能的, ,是几何概型是几何概型. .取得的取得的1010毫升种子可看作构成事件的区域毫升种子可看作构成事件的区域,1,1升种子可看作是试验的所升种子可看作是试验的所有结果构成的区域有结果构成的区域. .(2)(2)要注意使用要注意使用“几何概型几何概型”的条件的条件. .返回返回 15如图如图3-4-73-4-7所示所示, ,有一杯有一杯2 2升的水升的水, ,其中含有一个细菌其中含有一个细菌, ,用一个用一个小杯从这杯水中取出小杯从这杯水中取出0.10.1升水升水, ,求小杯水中含有这个细菌

16、的求小杯水中含有这个细菌的概率概率. . 解解: :设设A A=小杯水中含有这个小杯水中含有这个细菌细菌.则则=2=2升升, ,A A=0.1=0.1升升, ,P P( (A A)=)=.05. 020121 . 0A图图3-4-7返回返回 16学点四与角度有关的几何概型的求法学点四与角度有关的几何概型的求法如图如图3-4-8,3-4-8,在等腰在等腰RtRtABCABC中中, ,过直角顶点过直角顶点C C在在ACBACB内部内部作一射线作一射线CMCM, ,与线段与线段ABAB交于点交于点M M, ,求求AMAMACAC的概率的概率. .【分析分析】考查与角度有关的几何考查与角度有关的几何概

17、型的求法概型的求法. .图图3-4-8【解析解析】在在ABAB上取上取ACAC=ACAC, ,则则ACCACC= =67.5= =67.5. .设设A A=在在ACBACB内部作一条射线内部作一条射线CMCM, ,与线段与线段ABAB交于点交于点M,AMM,AMACAC,则则=90=90, ,A A=67.5=67.5. .P P( (A A)=)=245180.43905 .67A返回返回 17【评析评析】(1)(1)射线射线CMCM随机地落在随机地落在ACBACB内部内部, ,故故ACBACB为所为所有试验结果构成的区域有试验结果构成的区域, ,当射线当射线CMCM落在落在ACCACC内部

18、时内部时AMAMACAC, ,故故ACCACC为构成事件的区域为构成事件的区域. .(2)(2)事件区域是角域事件区域是角域, ,可用角度刻画可用角度刻画. .返回返回 18若题目改为若题目改为: :在等腰在等腰RtRtABCABC中中, ,在斜边在斜边ABAB上取一点上取一点M M, ,求求AMAMACAC的概率的概率, ,答案一样吗答案一样吗? ?解解: :在在ABAB上截取上截取ACAC=ACAC, ,ACAC= =设设A A=在斜边在斜边ABAB上取一点上取一点M,AMM,AMACAC,则则= =ABAB, ,A A= = ,P P( (A A)=)=故不一样故不一样. .22ABAB

19、22.22A返回返回 19学点五用随机数模拟法估算几何概率学点五用随机数模拟法估算几何概率取一根长度为取一根长度为3 m3 m的绳子的绳子, ,拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断, ,用随机用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m1 m的概率有多大的概率有多大? ?【分析分析】在任意位置剪断绳子在任意位置剪断绳子, ,则剪断位置到一端点的则剪断位置到一端点的距离取遍距离取遍0,30,3内的任意实数内的任意实数, ,并且每一个实数被取到的可并且每一个实数被取到的可能性相等能性相等, ,因此在任意位置剪断绳子的所有结果因此在任意位置剪断绳子的所有结果( (即基

20、本事件即基本事件) )对应对应0,30,3上的均匀随机数上的均匀随机数, ,其中其中1,21,2上的均匀随机数上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在就表示剪断位置与端点的距离在1,21,2内内, ,也就是剪得两段也就是剪得两段的长都不小于的长都不小于1 m,1 m,这样取得的这样取得的1,21,2内的随机数个数与内的随机数个数与0,30,3内的随机数个数之比就是事件内的随机数个数之比就是事件A A发生的频率发生的频率. .返回返回 20【解析解析】记事件记事件A A=剪得两段的长都不小于剪得两段的长都不小于1 m.1 m.(1)(1)利用计算器或计算机产生一组利用计算器或计算机产生一组0

21、0到到1 1区间的均匀随机区间的均匀随机数数a a1 1=RAND.=RAND.(2)(2)经过伸缩变换经过伸缩变换, ,a=aa=a1 1* *3.3.(3)(3)统计出试验总次数统计出试验总次数N N和和1,21,2内的随机数个数内的随机数个数N N1 1. .(4)(4)计算频率计算频率f fn n( (A A)=)=N N1 1/ /N N即为概率即为概率P P( (A A) )的近似值的近似值. .【评析评析】用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围. .返回

22、返回 21甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6 6小时和小时和4 4小时小时, ,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率间的概率. .解解: :记事件记事件A A“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间间”. .(1)(1)利用计算器或计算机产生两组利用计算器或计算机产生两组0 0到到1 1区间的均匀随区间的均匀随机数机数, ,x x1 1=RAND,=RAND,y y1 1=RAND.=RAND.返回返回 22(2)(2)经过伸缩变换经过伸缩变换,

23、,x=xx=x1 1* *24,24,y=yy=y1 1* *2424得到两组得到两组0,240,24上的均匀随机数上的均匀随机数. .(3)(3)统计出试验总次数统计出试验总次数N N和满足条件和满足条件-4-4x-yx-y66的点的点( (x,yx,y) )的个数的个数N N1 1. .(4)(4)计算频率计算频率f fn n( (A A)=)=, ,即为概率即为概率P P( (A A) )的近似值的近似值. .NN1返回返回 23学点六用随机数模拟法近似计算不规则图形的面积学点六用随机数模拟法近似计算不规则图形的面积利用随机模拟的方法近似计算图形利用随机模拟的方法近似计算图形( (如图如

24、图3-4-93-4-9所示所示) )中阴中阴影部分的面积影部分的面积: :y=xy=x2 2+1+1与与y y=6=6所围成区域的面积所围成区域的面积. .【分析分析】在坐标系中画出矩在坐标系中画出矩形形( (x x= = , ,x x=-=- , ,y y=1=1和和y y=6=6所围所围成的部分成的部分),),用随机模拟的方法可用随机模拟的方法可以得到阴影部分的面积的近似值以得到阴影部分的面积的近似值. .55图图3-4-93-4-9返回返回 24【解析解析】(1)(1)利用计算器或计算机产生两组利用计算器或计算机产生两组0 0至至1 1之间的之间的均匀随机数均匀随机数, ,a a1 1=

25、RAND,=RAND,b b1 1=RAND;=RAND;(2)(2)进行平移和伸缩变换进行平移和伸缩变换, ,a a=(=(a a1 1-0.5)-0.5)* *2,2,b b=5=5* *b b1 1+1;+1;(3)(3)数出落在阴影内的样本点数数出落在阴影内的样本点数N N1 1, ,总试验次数为总试验次数为N N, ,用几用几何概型公式计算阴影部分的面积为何概型公式计算阴影部分的面积为S S= = . .多做几次试验多做几次试验, ,得到的面积会更精确得到的面积会更精确. .NN136.22【评析评析】要记住公式要记住公式 . .其中其中N N为总的试验为总的试验次数次数, ,N N

26、1 1为落在不规则图形内的试验次数为落在不规则图形内的试验次数. .NNSS1规则图形不规则图形返回返回 25利用随机方法计算如图利用随机方法计算如图3-4-103-4-10中阴影部分中阴影部分( (曲线曲线y y=2=2x x与与x x轴轴, ,x x= =1 1围成的部分围成的部分) )的面积的面积. .解解:(1):(1)利用计算机产生两组利用计算机产生两组0,10,1上的均匀随机数上的均匀随机数, ,a a1 1=RAND,=RAND,b b1 1=RAND.=RAND.(2)(2)进行平移和伸缩变换进行平移和伸缩变换, ,a a=(=(a a1 1- -0.5)0.5)* *2,2,

27、b b= =b b1 1* *2,2,得到一组得到一组-1,1-1,1上的上的均匀随机数和一组均匀随机数和一组0,20,2上的均匀随上的均匀随机数机数. .图图3-4-103-4-10返回返回 26(3)(3)统计试验总数统计试验总数N N和落在阴影内的点数和落在阴影内的点数N N1 1( (满足条件满足条件b b22a a的点的点( (a,ba,b) )数数).).(4)(4)计算频率计算频率 , ,即为点落在阴影部分的概率的近似值即为点落在阴影部分的概率的近似值. .(5)(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P P= .= . . . ,

28、,即为阴影部分面积的近似值即为阴影部分面积的近似值. .NN14S41SNNNNS14返回返回 27(1)(1)几何概型的两个特点几何概型的两个特点: :一是无限性一是无限性, ,即在一次试验即在一次试验中中, ,基本事件的个数可以是无限的基本事件的个数可以是无限的; ;二是等可能性二是等可能性, ,即每一即每一基本事件发生的可能性是均等的基本事件发生的可能性是均等的. .因此因此, ,用几何概型求解的用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的概率问题和古典概型的思路是相同的, ,同属于同属于“比例解比例解法法”. .即随机事件即随机事件A A的概率可以用的概率可以用“事件事件A A包含

29、的基本事件包含的基本事件所占的图形面积所占的图形面积( (体积、长度体积、长度) )”与与“试验的基本事件空间试验的基本事件空间所占总面积所占总面积( (总体积、长度总体积、长度) )”之比来表示之比来表示. .(2)(2)基本事件的基本事件的“等可能性等可能性”的判断很容易被忽略的判断很容易被忽略, ,从从而导致各种错误而导致各种错误. .1.1.如何理解几何概型如何理解几何概型? ?返回返回 282.2.随机数是如何产生的随机数是如何产生的? ?如何理解随机模拟试验如何理解随机模拟试验? ?(1)(1)随机数的产生随机数的产生利用计算器或计算机产生利用计算器或计算机产生0,10,1上的均匀

30、随机数上的均匀随机数x x1 1=RAND,=RAND,然后利用伸缩和平移变换然后利用伸缩和平移变换, ,x=xx=x1 1* *( (b-ab-a)+)+a a, ,就可以就可以得到得到a,ba,b内的均匀随机数内的均匀随机数, ,试验的结果是试验的结果是a,ba,b上的任上的任何一个实数何一个实数, ,并且任何一个实数都是等可能出现的并且任何一个实数都是等可能出现的. .(2)(2)随机模拟试验随机模拟试验用频率估计概率时用频率估计概率时, ,需做大量的重复试验需做大量的重复试验, ,费时费力费时费力, ,并并且有些试验具有破坏性且有些试验具有破坏性, ,有些试验无法进行有些试验无法进行, ,因而随机模拟因而随机模拟试验就成为一种重要的方法试验就成为一种重要的方法, ,它可以在短时间内多次重复它可以在