高考数学 关于函数与导数复习的理解与把握素材

1、关于函数与导数复习的理解与把握 从近两年的浙江高考试题谈起函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容，它具有工具性、方法性和思想性的特点。在浙江高考试题中，函数与导数（不含三角函数）占较大的比重，分值一般在2025分。近两年，我们浙江在对重点内容的考查，其命题设计的追求目标有这么一种倾向：“出活题，创新意，重知识，显能力”，函数作为重点内容之一，当然也不例外，但考查的最多的是它的工具性和思想性。而导数作为函数内容的延续，在考查导数的概念及其几何意义的同时，着重考查了函数的应用，其命题形式也在标新立异之列，且以压轴题的形式出现。从近几年的试题内容来看，对函数的考

2、查，主要特点有：力重问题情境的创新，力重表述形式的新颖，力重知识点的交汇，力重能力的立意等，形式还是小题与大题并存，考查的难度高、中、低档同在。对导数的考查，则常以函数为载体，以导数为工具，以函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向。再从同年份的文、理科试卷来分析，都是采用部分共同题、部分背景相似但要求不同的“姐妹题”，以及部分试题背景和要求完全不同的试题。把抽象思维和运算能力要求相对较高的试题放在理科卷，文科卷则将这些试题具体化，并简化运算过程。一、 近两年浙江高考考试说明变化（略）1.1 理科数学2010年考试说明与2009

3、年考试说明“考试内容部分”变化比较2009理科考试说明2010理科考试说明二、函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。了解简单的分段函数，并能简单应用。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。6会运用函数图像理解和研究函数的性质。（二）指数函数3理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4

4、 知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题。3知道对数函数是一类重要的函数模型。4了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了

5、解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。十七、导数及其应用（一）导数的概念及其几何意义1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义（二）导数的运算1能根据导数定义，求函数的导数。（三）导数在研究函数中的应用1了解（四）生活中的优化问题。会利用导数解决某些实际问题。二、函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）（一）函数1了解函数、映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。（删除了前半句）2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。 （删除了后半句）3了解简单的分段函数，并能简单应用。（删除了前半句）4理解函数的单调性，会讨

6、论和证明函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性。（删除了“简单的”）6会运用函数图像理解和讨论函数的性质（“研究”改为了“讨论”）（二）指数函数3理解指数函数的概念，会解决与指数函数性质有关的问题。4.删除（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用（“知道”改为了“会用”）2理解对数函数的概念；能解决与对数函数性质有关的问题。（“会求”改为了“能解决”）3.删除4.删除（五）函数与方程了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点。（1、2均删除并重新表述）（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数

7、函数以及幂函数的增长特征。（删除了后半句）2.删除十七、导数及其应用（一）未变（二）导数的运算1.删除（四）删除1.2 文科数学2010年考试说明与2009年考试说明“考试内容部分”变化比较附录（2010年考试说明与2009年考试说明“考试内容部分”变化比较）2009理科考试说明（文科数学）2010理科考试说明（文科数学）一、集合二、函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）（一）函数1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些

8、简单的数学问题。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。6会运用函数图像理解和研究函数的性质。（二）指数函数3理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2 理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题。3知道对数函数是一类重要的函数模型；4了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（五）函数

9、与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。十六、导数及其应用（二）导数的运算1.能根据导数定义，求函数的导数。（三）导数在研究函数中的应用（四）生活中的优化问题。会利用导数解决某些实际问题。一、集合（无变化）二、函数概念与基本初等函数（指数函数

10、、对数函数、幂函数）（一）函数1了解函数、映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域（删除了前半句）2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.（删除了后半句）3了解简单的分段函数，并能简单应用。（“简单的数学问题”变为“简单应用”）4.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性。（删除了“简单的”）5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值。（删除了“一些简单的”）6会运用函数图像理解和讨论函数的性质。（“研究”改为了“讨论”）（二）指数函数3理解指数函数的概念，会解决与指数函数性质有关的问题。4.删除（三）对数函数1理解对数的概

11、念及其运算性质，会用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。（“知道”改为了“会用”）2 理解对数函数的概念；能解决与对数函数性质有关的问题。（“会求”改为了“能解决”）3.删除 4.删除（五）函数与方程了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点。（1、2均删除并重新表述）（六）函数模型及其应用1. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征。（“增长”改为了“变化”，删除了后半句）2.删除十六、导数及其应用（二）导数的运算1.删除（三）导数的应用（删除了“在研究函数中”）（四）删除会利用导数解决某些实际问题。放到“导数的应用”要求中。二、 近两年

12、浙江高考试题考点探析与解题感悟21 理科试题【考题1】 （09理10）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是A若，则 ( C )B若，且，则C若，则D若，且，则【解析】且，若，则， （1） （2）（1）（2），可得即。 另外，同理可得【考点探究与感悟】这是一道抽象函数问题。考题的命制是一道即时定义题，需要考生根据条件即时定义的一条性质来判断选项新构造的函数命题是否也具有这样的性质（性质封闭），这需要学生充分理解题设条件的基础上，才能很好的对选项去作出正确的判断。这样的考题，不仅仅对考生的数学理解能力提出了较高的要求，同时也需要考生具备一定的数学基础知识和综合应用

13、知识的能力，是一道既考察基础知识又考察能力的好题。此题在无形之中也考察出了学生的数学素养。【考题2】（10理9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 ( A )（A） （B） （C） （D）【解析】将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案【考点探究与感悟】本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题. 此题以三角函数为背景来考查函数的零点，其要求层次比较高的。关于函数的零点：09年考试说明“能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数”，10年考试说明为“能判断函数在某个区间上是否存在零点”。其要求发生改变，但从今年

14、的试题上来看，难度却增大，其难点在于函数背景解析式是一个三角函数，这是其一；图像平移的单位与没有直接关系，这是其二；从选项的角度来看，两端点函数值异号只出现一项，这是其三；最要命的是，采用特殊点检验还不能一举拿下，这是其四。不过好在A选项区间两端点函数值同号且正确答案是A，为一知半解的同学带来了好运。这题给我的感悟是，我们一定要关注考试说明中对有关内容要求的变化。【考题3】（10理10）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 ( )（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【解析】当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=

15、1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，【考点探究与感悟】本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题。此题背景新颖，它以函数为载体设计了一个函数集合与一个点集，主要考察了学生对集合中元素的理解和把握。绍兴市教研员王小红老师教导我们，对集合的理解，要从集合中的元素理解开始，并把集合当做一种语言来学习，这就是对集合概念的准确理解和把握。通过对上述两试题内容与特征的分析，给我的感觉是：在平常的课堂教学中，我们是不是应该要有意去趣培养学生一种良好的读题、审题的习惯。平时的教学中，对题意的理解我们通常是包办，

16、等老师把题目读好了，题意也就介绍清楚了。我们以后是不是可以这么教，只给题目不出声，适时让学生读题和解释题意。如果题目比较难，我们可以先问学生几个问题，适当问题铺垫，以便有效地利用课堂那有限的时间资源。讲解问题，以讲清讲透、学生理解掌握为主线，而不是以多为主线，多而不会等于没讲嘛。【考题4】20090423 （09理22）已知函数，其中 （I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围； （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（I）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得，令有，记则在上单调递减，在上

17、单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；（II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A，B=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意【考点探究】此题主要考查了利用导数研究一元三次函数的单调性及其应用，同时推理论证能力、分类讨论、等价转化等综合解题能力和创新意识也得到了充分体现。【考题5】(10理(22)已知是给定的实常数，设函数，是的一个极大值点 (

18、)求的取值范围；()设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由【考点探究】本题主要函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识也得到了充分体现。【解题感悟】对于近两年的压轴试题，从试题的背景函数来看，09年其构建方式是一个含参数的一元二次函数与一个含参数的一元三次函数相加而成。10年则是将一个含参数的一元三次函数和以为底的指数函数（减少了求导的复杂性，体现出人文关怀）相乘得到。以这样的构建方式得到的函数，对考生来说既亲切又富有新意，属于推陈出新之

19、创举。关于函数的构造，最常见的也无非是加减乘除和复合的方式。此题，似乎也在隐约的告诉我们，在平时的课堂教学中，要有意通过以上的构建方式来构造类似的函数，以便让学生在原有知识的基础上搭建新的函数载体，并用类似于熟知函数的研究方法来研究新函数的的相关性质。事实表明，这样的教学载体可以更好的激发学生学习数学的兴趣和积极性，从而有效地来完成自己的教学目标和任务。22 文科试题【考题6】（09文8）若函数=+(aR),则下列结论正确的是 ( C )AaR,在上是增函数 BR,在上是减函数C是偶函数 D是奇函数【解析】对于时有是一个偶函数【考点探究与感悟】本题主要考查分式函数的奇偶性及单调性，考查利用已有

20、条件推断命题真假的能力。本题将函数的性质问题与全称命题命题、存在性命题有机地结合在一起，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇命题，成为本题的一个亮点。判断一个命题是错误的命题，常常采用举反例。对于这类问题来说，举反例是一种非常简捷的方法，要认真把握。从本题中的背景函数来看，它是一个具体的二次函数与一个含参数的反比例函数相加而成，又一次见证常见函数加减乘除的构建方式。其次，此函数解析式函数一个字母，如果不加思索，利用导数来研究其单调性的话，那就涉及了参数的分类讨论问题了。所以我们在平时的教学中应该强化数学思想和方法在解题中的指导作用。命题者应该考虑到这一点，否则题号不会是8。也就是说，此题还

21、有考查分类讨论的思想方法之意。再者，从解题思维上来看，它考查了数学的推理与论证，从中我们也看到了演绎法（一般问题特殊化）的影子。对于高考小题的解答，我们只需给出答案不须给出过程，许多看似很难的问题，有时只要我们方法得当，大可不必小题大做，可以采用特殊的方法解决，对于选择题，我们可以采用排除法，特殊化法，图像法，特征分析法等等。对于一些有用且常用的解题方法或技巧，我们没有必要等到二轮或三轮复习的时候在介绍，给超前的要超前。【考题7】（10文9）已知是函数的一个零点.若，则 （ B ）（A）f()0，f()0 （B）f()0，f()0（C）f()0，f()0 （D）f()0，f()0【解析】不难得

22、到此函数在区间上是单调递增的，从而得到答案。【考点探究】此题考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题。【考题8】（10文16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 20 【考点探究】此题以实际问题为背景考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题。【考题9】(09文21)已知函数（I）若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（）若函数在区间上不单调，

23、求的取值范围。【答案】 （I），或 （）【考题10】 （10文21）（本题满分15分）已知函数)。（I）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程。（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求【答案】（I） （）存在实数x4满足题意，且x4.【考点探究与感悟】09和10年文科的导数试题主要考查了导数的几何意义。考题的命制，大条件都给出含参数的一元三次函数，第（I）问都旨在利用导数的几何意义解决问题，考查的角度一正一逆。09第（II）问设问突破常规，以函数不单调（命题的否定）形式给出考查了导数在研究函数性质中的应用；而10年则与理科 ( 22) 题

24、均是与函数极值、等差数列有关，但文科偏重于对常量与定序处理等基础知识的考核，理科偏重于对变量与无序处理才能的考核，突出其思维层次的高要求。利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程等，这类问题解决的关键是抓住切点，就可以通过切点解决其相关的问题。对于利用导数处理函数的单调性问题，关键是抓住导数值符号和函数单调性之间的关系就可以轻松解决，但在09年的试题中，我们可以利用极值性原理进行解决，即函数在区间上不单调等价于函数在区间内含有极值点。这两年文科的导数题，它以常见的一元三次函数函数为背景，其难点在于解析式中设制了参数。09年问题（1）的解决过程中体现了方程

25、思想；问题的设置10年较为别致，较为有新意，但作为倒数第二题，其难度不是很大，关键在于问题的等价转换。与理科试题相比，文科的难度比理科要低，但从试题的背景材料来看，可以这么说，它们之间的区别在在于函数解析式之间的差异，文科就局限于含参型的一元三次函数，考察的知识点还是立足于导数的几何意义及其三大应用为主。所以对导数的备考，我们还是要以三次函数为背景的导数试题为主，注重通性通法的训练。三、 关于2011年高考函数与导数在后阶段复习的定位通过上述对近两年浙江高考的函数类考题的特点及其主要考点的探析，我们可以得出2011年的浙江高考对函数内容的考察仍然会是重视基础、突出能力、力求创新。我们知道第一轮

26、复习是打基础的阶段，后两轮复习是专项复习和培养学生各方面能力的阶段，可以说，目前我们已经对函数与导数的内容进行了第一轮复习，所以下面的一些想法主要是针对后两轮复习而言的。31 重视基础，教学中要加深对函数概念和性质内容的理解如定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等对于这部分知识，直接题型是选择与填空，考查的难度多为中低档试题。但从近两年的试题来看，这主要体现出对函数知识的综合考查，常常涉及数形结合、特殊与一般（特殊化与一般化）、存在性与全称性问题等思想与方法从近两年的试题来看，直接考查函数概念和性质的题目似乎很少，有时根本看不到，这是不是说，高考对函数的考查谈化了吗？非也。对于有些试题

27、，虽不是直接考查函数知识，但我们可以利用或转化为函数的问题，间接的去解决数学问题，突出了函数的工具性，如10年文科第9题，也可以将问题转化为函数零点两侧的符号问题，若用单调性思考，就比较简单。针对这样特点，我们在复习中应该：3.1.1 要重视对函数概念、性质的准确理解与掌握，做到融会贯通，应用自如。举个例，就函数单调性的理解与把握而言，首先需要知道其研究的内容和方法。其研究内容是当自变量增大时，函数值的变化趋势，它研究的是函数的局部性质；其研究方法有二个，即形与数两个角度，对增函数而言，从形的角度来看，从左向右看，图像是上升的；从数的角度来看，当自变量增大时函数值也增大。其次，需要从数学的角度

28、，用数学的语言来描述函数的单调性，并指出需要注意的事项和需要强调的是自变量取值的任意性及定义的可逆性。知识是具有相关性的，对某一方面知识的正确把握和理解，有助于我我们更好的去理解和解决其他的函数类问题。如09年理科第10题，从题设来看，其意之理解难度其实不是很大，只要我们平时教学中充分注意概念的理解和把握的教学，让学生具有一定的数学基础，对题意的理解是不成问题的，但它的题号却是10，说明学生对这一方面的能力比较弱，需要我们加强训练。10年理科第10题也是如此。这似乎在告诉我们：标新立异的试题将是今后高考的命题趋势，对学生阅读分析能力的考查也将是今后考查的难点；对数学内容的理解和把握要准确到位，

29、这就需要我们认真研读教材和教学参考书，认真研读学科指导意见、考纲与考试说明和解读。3.1.2 要重视函数思想方法的领会运用，使之能正确看待问题，解决问题。3.1.3 要重视函数图像的功能，充分利用数形结合的思想指导解题从上述的分析过程，我们不难发现，浙江高考对函数图像的考察主要体现在三个方面，即识图、画图和用图三个方面。如09年理科8，文科10考查了三角函数的识图能力，10年理科9题考查了函数的用图能力。3.1.4 要注重通性通法，扎扎实实地训练，认认真真的解答。浙江的高考历来是注重通性通法，淡化特殊技巧。就函数内容而言，在文科方面表现较为突出，如09年第8， 9，21题，10年第9,16题和

30、21题的第一问均可归结为常规试题，可以用常规方法解决。3.1.5 要重视导数概念和公式的教学，加强导数的应用训练对导数的考查，其重点固然是导数的概念、几何意义及其在函数中的应用，且这两年都是以压轴题的形式进行考查。一般情况下，第一问侧重考察导数的概念和几何意义，第二问侧重考察导数在函数中的应用。其中第二问则是体现高考选拔功能的题材，所以往往具有一定的新意，显现创新之举，体现能力立意，表现“新而不难，难而不怪”的特点。如09年第22题，试卷的压轴题，采用开放式的形式进行设问，旨在考查学生的探究能力。从题设条件来看，函数载体是学生的熟知的一元三次函数与二次函数，其难点是两个函数含有参数k ，但这对

31、学生来说，也不是大问题，因为对学生来说已经见多不难了。再从设问的角度来分析，第一问反其道而为之，让学生有些不知所措，虽然容易想到可采用逆向思考。而第二问，命题者设计了一个分段函数与四个层次的探究：第一个层次探究是“是否存在k?” ；第二个层次的探究是“是否存在使得成立”，第三个层次的探究是“如果存在，就求出k的值。” 这三个层次都鼓励学生大胆猜想，用于探究。第四个层次的探究是“若存在或不存在，请说明理由”，这要求学生在感性的认识上回到了理性的探索。这样的探索符合认识世界的认知过程，激发了考生的创新思维。函数与不等式的综合运用，通过各种知识的交叉渗透，检测了考生掌握双基的深度与广度。本题的还有一大难点是问题的转化，学生没能将问题“对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？”转化到两集合之间的包含关系。这一层面对学生的数学思维能力和转化能力也提出了较高层次的要求。而2010年高考则延用了09年开放性试题的