2012年天津市高考数学试卷(理科)(共27页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1（3分）i是虚数单位，复数=（）A2+iB2iC2+iD2i2（3分）设R，则“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（）A1B1C3D94（3分）函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内的零点个数是（）A0B1C2D35（3分）在（2x2）5的二项展开式中，x项的系数为（）A10B10C40D406（3分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b

2、，c已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）ABCD7（3分）已知ABC为等边三角形，AB=2设点P，Q满足，R若=，则=（）ABCD8（3分）设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）二、填空题9（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校10（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m311（3分）已知集合A=xR|x+2|

3、3，集合B=xR|（xm）（x2）0，且AB=（1，n），则m=，n=12（3分）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p0，焦点为F，准线为l过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=13（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为14（3分）已知函数y=的图象与函数y=kx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是三、解答题15已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f

4、（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值16现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45°，PA=AD=2，AC=1

5、（1）证明：PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长18已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Tn=anb1+an1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+12=2an+10bn（nN*）19设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|20已知函数f（x）=xln（x+

6、a）的最小值为0，其中a0（1）求a的值；（2）若对任意的x0，+），有f（x）kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（nN*）2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（3分）（2012天津）i是虚数单位，复数=（）A2+iB2iC2+iD2i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选B2（3分）（2012天津）设R，则“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】直接把=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可【解答】

7、解：因为=0时，f（x）=cos（x+）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数时，=k，kZ，推不出=0故“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的充分而不必要条件故选：A3（3分）（2012天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（）A1B1C3D9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|1时跳出循环，输出结果【解答】解：当输入x=25时，|x|1，执行循环，x=1=4；|x|=41，执行循环，x=1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=2×1+1=3故选：C4（3分）（2012天津）函数

8、f（x）=2x+x32在区间（0，1）内的零点个数是（）A0B1C2D3【分析】根据函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=10，f（1）=10，所以f（0）f（1）0，故函数f（x）=2x+x32在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B5（3分）（2012天津）在（2x2）5的二项展开式中，x项的系数为（）A10B10C40D40【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1=，再令103r=1，得r=3即可得出x项的系数【解答】解：

9、（2x2）5的二项展开式的通项为Tr+1=令103r=1，得r=3故x项的系数为=40故选D6（3分）（2012天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）ABCD【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可【解答】解：因为在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B（0，）C所以sinB=所以sinC=sin2B=2×=，cosC=故选：A

10、7（3分）（2012天津）已知ABC为等边三角形，AB=2设点P，Q满足，R若=，则=（）ABCD【分析】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=即可求出【解答】解：，R，ABC为等边三角形，AB=2=+（1）=2×2×cos60°+×2×2×cos180°+（1）×2×2×cos180°+（1）×2×2×cos60°=24+44+222，=22+22=424+1=0（21）2=0故选A8（3分）（2012天津）设m，nR，

11、若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆相切，圆心到直线的距离d=1，整理得：m+n+1=mn，设m+n=x，则有x+

12、1，即x24x40，x24x4=0的解为：x1=2+2，x2=22，不等式变形得：（x22）（x2+2）0，解得：x2+2或x22，则m+n的取值范围为（，222+2，+）故选D二、填空题9（3分）（2012天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在

13、采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是=，某地区有小学150所，中学75所，大学25所用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18所，选取中学×75=9所故答案为：18，910（3分）（2012天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9m3【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体分别求体积再相加即可【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18下部为两个半径均为的

14、球体，体积2×（）3=9故所求体积等于18+9故答案为：18+911（3分）（2012天津）已知集合A=xR|x+2|3，集合B=xR|（xm）（x2）0，且AB=（1，n），则m=1，n=1【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及AB=（1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值【解答】解：A=xR|x+2|3=xR|5x1，又集合B=xR|（xm）（x2）0，AB=（1，n）如图由图知m=1，n=1，故答案为1，112（3分）（2012天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p0，焦点为F，准线为l过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E若|EF|=|MF|，点M的横

15、坐标是3，则p=2【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值【解答】解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p，化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（，0），准线l的方程为x=则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得MEF为等边三角形设点M的坐标为（3，m ），则点E（，m）把点M的坐

16、标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即 p=再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2=，即 p2+6p=9+3p，解得p=2，或p=6 （舍去），故答案为 213（3分）（2012天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD求解【解答】解：由相交弦定理得到AFFB=EFFC，即3×1=×FC，FC=2，在ABD中

17、AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD，即x4x=（）2，x=故答案为：14（3分）（2012天津）已知函数y=的图象与函数y=kx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）（1，4）【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围【解答】解：y=函数y=kx2的图象恒过点（0，2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）（1，4）故答案为：（0，1）（1，4）三、解答题15（2012天津）已

18、知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，从而可求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数f（x

19、）的最小正周期T=（2）函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f（）=1，f（）=，f（）=1，函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为116（2012天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E【分析】依题意，

20、这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），P（Ai）=

21、（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3A4，P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（=0）=P（A2）=P（=2）=P（A1）+P（A3）=，P（=4）=P（A0）+P（A4）=的分布列是 0 2 4 P数学期望E=17（2012天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45°，PA=AD=2，AC=1（1）证明：PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满

22、足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出=0，证出PCAD（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解（3）设E（0，0，h），其中h0，2，利用cos=cos30°=，得出关于h的方程求解即可解法二：（1）通过证明AD平面PAC得出PCAD（2）作AHPC于点H，连接DH，AHD为二面角APCD的平面角在RTDAH中求解（3）因为ADC45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角在EBF中，因为

23、EFBE，从而EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（，0），P（0，0，2）（1）证明：易得=（0，1，2），=（2，0，0），于是=0，所以PCAD（2）解：=（0，1，2），=（2，1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos=，sin=所以二面角APCD的正弦值为（3）设E（0，0，h），其中h0，2，由此得=（ ，h）由=（2，1，0），故cos=所以=c

24、os30°=，解得h=，即AE=解法二：（1）证明：由PA平面ABCD，可得PAAD，又由ADAC，PAAC=A，故AD平面PAC，又PC平面PAC，所以PCAD（2）解：如图，作AHPC于点H，连接DH，由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，从而AHD为二面角APCD的平面角在RTPAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，ADAH，在RTDAH中，DH=，因此sinAHD=所以二面角APCD的正弦值为（3）解：如图，因为ADC45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所

25、成的角由于BFCD，故AFB=ADC，在RTDAC中，CD=，sinADC=，故sinAFB=在AFB中，由，AB=，sinFAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF22ABAFcosFAB，得出AF=，设AE=h，在RTEAF中，EF=，在RTBAE中，BE=，在EBF中，因为EFBE，从而EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=18（2012天津）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Tn=anb1+

26、an1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+12=2an+10bn（nN*）【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4b4=10，得方程组，解得，故an=3n1，bn=2n，nN*（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an1+23an2+2na1； ；2Tn=22an+23an1+2na2+2n+1a1； ；由得，Tn=2

27、（3n1）+3×22+3×23+3×2n+2n+2=+2n+26n+2=10×2n6n10；而2an+10bn12=2（3n1）+10×2n12=10×2n6n10；故Tn+12=2an+10bn（nN*）方法二：数学归纳法，当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，2a1+10b1=16，故等式成立，假设当n=k时等式成立，即Tk+12=2ak+10bk，则当n=k+1时有，Tk+1=ak+1b1+akb2+ak1b3+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak1b2+a1bk）=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q（2a

28、k+10bk12）=2ak+14（ak+13）+10bk+124=2ak+1+10bk+112即Tk+1+12=2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立对任意的nN*，Tn+12=2an+10bn成立19（2012天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|【分析】（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围【解答】（1）解：设P（x0，y0），椭圆的左右顶点分别为A，B，A（a，0），B（a，0），直线AP与BP的斜率之积为，代入并整理得y00，a2=2b2椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx