第四章 拉普拉斯变换

1、Lanzhou University of Technology1第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅立叶变换到拉氏变换从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质周期和抽样信号的拉氏变换周期和抽样信号的拉氏变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析Lanzhou University of Technology2有几种情况不满足狄里有几种情况不满足狄里赫利条件：赫利条件： u(t)u(t) 增长信号增长信号 周期信号周期信号 若乘一衰

2、减因子若乘一衰减因子 为任意实数，则为任意实数，则 收敛，于收敛，于是满足狄里赫利条件是满足狄里赫利条件tetetf).(tetu)()(.aeetattet1cos) 0( aeatt1cos4.14.1拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换Lanzhou University of Technology3引入：衰减因子引入：衰减因子e-t( (为实常数）为实常数）)()(FtfdeFFf(t)dtetftfFtj-tj)(21)()()()(1FFdttf)(存在条件存在条件dtetft)(:使得选择合适的不满足不满足Lanzhou University of

3、 Technology4 tf(t)eFdtee)t(ftjt)()j(Fdte)t(ft )j(1de )j(F)j(Fe )t (ftjt211F)(de )j(F)t(ft )j(221设：设：s = + j（复频率）（复频率）, d=ds/jdse)s(Fj)t(fdte)t(f)s(Fstjjbstb21 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换记作：记作：)(Fbs)t (f(Bilateral LT)Lanzhou University of Technology5)()(sFtfL)()(1sFLtfF(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱

4、。)()(tfLsFbLanzhou University of Technology6 任一信号任一信号f f( (t t) )的双边拉普拉斯变换不一定存在。的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于由于f f( (t t) )的双边拉普拉斯变换是信号的双边拉普拉斯变换是信号 的傅里叶变换，因此，若的傅里叶变换，因此，若 绝对可积，即绝对可积，即 ( )tf t edt 双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域记：记：ROCregion of convergence 0e)(lim:的值范围或tttf e)(ttf e)(ttf拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域 Lanzhou Uni

5、versity of Technology7 双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且收敛双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且收敛条件较为苛刻，这就使其应用受到限制。实际中的信条件较为苛刻，这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的号都是有起始时刻的( (t tt t0 0时时f(t)=0) )，若起始时刻，若起始时刻t t0 0=0, =0, 则则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为变换的积分下限为“0-” ，该变换称为，该变换称为单边拉普拉斯单边拉普拉斯变换变换。单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线收敛域简

6、单，计算方便，线性连续系统的性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换换 。 Lanzhou University of Technology8关于积分下限的说明：关于积分下限的说明： 积分下限定义为积分下限定义为零的左极限零的左极限，目的在于分析，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的和计算时可以直接利用起始给定的0 0- -状态。状态。 0d)()(ettfsFstjjd)(j21)(essFtfstLanzhou University of Technology9拉普拉斯变换拉普拉斯变换LT与与ILT定义定义dtetfsFtfLstB)()()(

7、jjstBdsesFjsFL)(21)(1jsBtfLtfF)()()()()(tutfLtfLB0( )( )stF sf t edtdsesFjtfjjst)(21)(Lanzhou University of Technology10存在的条件存在的条件 Cttftd| )(|e对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足0e )(limtttf( 0) Lanzhou University of Technology11存在的条件存在的条件 0称收敛条件 收 敛 区j 0 0称绝对收敛轴 S平面右半平面左半平面Lanzhou University of Technology12

8、010ss)t(uets00001000sstdetdee) t ( uet )ss(sttstsLaastueasat1)(,0:则若01)(,0jstuejstj:则若Lanzhou University of Technology13202000)11(21)(2)(cos00ssjsjstueetuttjtj2020000)11(21)(2)(sin00sjsjsjtujeetuttjtj0Lanzhou University of Technology1422)11(21)(2)(ssstueetutshtt22)(sstutch)(, 00tus:则若s1 00Lanzhou Un

9、iversity of Technology15)(),()(ttntttLstde )()(01)Re(stttLstde )( )(00)e (ddtstsstttLstnnde )()(0)()(0)e (dd) 1(tstnnnsnsLanzhou University of Technology16ttsnsttttutLstnstnstnnde)e (de )()(0100ttsnstnde01)(1tutLsnn根据以上推理,可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssnsnsn0)Re(,!)(1ssntutnLnLanzhou

10、University of Technology17表表 4. 常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换 Lanzhou University of Technology184.1拉普拉斯变换意义：意义： 拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的工具工具,使求解方程得到简化，且初始条件自使求解方程得到简化，且初始条件自动包含在变换式里动包含在变换式里 利用系统函数零点、极点分布分析系统的利用系统函数零点、极点分布分析系统的行为规律行为规律Lanzhou University of Technology194.2 4.2 若 则 111)Re()(

11、)(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)()()()(22112211sFasFatfatfaL),max()Re(21sLanzhou University of Technology20若 则 0)Re()()(ssFtfL0)/(1)(aasFaatfL0)Re(as0)/(1)(aasFaatfLLanzhou University of Technology210)Re()()(ssFtfL0)()()(0000tsFettuttfstL0)Re(sLanzhou University of Technology22111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(

12、ssFtfL)()()(*)(2121sFsFtftfL),max()Re(21s收敛域至少是收敛域至少是F1(s)F1(s)的收敛域与的收敛域与F1(s)F1(s)的收敛域的公共部分。的收敛域的公共部分。Lanzhou University of Technology23111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)(*)(j21)()(2121sFsFtftfL21)Re(sLanzhou University of Technology24bo0)Re()()(ssFtfL)ss(Fe )t (fbtsb0)Re(d)(d)(sssFttfLnnndssFdtft

13、)()()(dFttfs)()(0)Re(d)(d)(sssFttfLLanzhou University of Technology250)Re()()(ssFtfL0)Re()0()(d)(dsfssFttfL0ded)(dd)(dtttfttfLsttstftfststd)e)(e )(000de )()0(ttfsfst)0()(fssFLanzhou University of Technology26重复应用微分性质，求得：)0( )0()(d)(d222fsfsFsttfL)0(.)0( )0()(d)(d121nnnnnnffsfssFsttf101)0()(nrrrnnfss

14、Fs若 f(t) = 0, t0, 则有f r(0 ) = 0，r=0,1,2,.)(d)(dsFsttfnLnnLanzhou University of Technology270)Re()()(ssFtfLsfssFfLt)0()(d)(1)0 ,max()Re(0s若f 1(0)0， 则有ssFfLt)(d)(Lanzhou University of Technology28ttfLfLfL00d)(d)(d)(其中， 右边第一项sffL)0(d)(10第二项按部分分式，得tffLstttded)(d)(000000de )(1d)(ettfsfssttstssF )(Lanzhou

15、 University of Technology290)Re()()(ssFtfL)()0()(limlim0ssFftfst)()()(limlim0ssFftfst若f(t)在t=0不包含冲激及其各阶导数 则若sF(s)的收敛域包含j轴 则Lanzhou University of Technology30拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质（1 1）线性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微分)0()( fsSF积分tdf)(sfssF)0()(时移)()(00ttuttf)(0sFest频移atetf)()(asFLanzhou University of Te

16、chnology31拉氏变换的基本性质（2）尺度变换)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst终值定理)(lim)()(lim0sSFftfst卷积定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理)().(21tftf)(*)(2121sFsFjLanzhou University of Technology32 周期信号的拉氏变换周期信号的拉氏变换)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTSTnSnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和Lanzhou University of Tech

17、nology33例：正弦余弦信号的拉氏变换例：正弦余弦信号的拉氏变换2)()(tjtjeetutf2221)11()(SSjSjSSFjeetutftjtj2)()(2221)11()(SjjSjSSFtcostsinLanzhou University of Technology34例：衰减余弦的拉氏变换例：衰减余弦的拉氏变换tetftcos)(220cos)(SStLTSF22)()(SSSF频移特性Lanzhou University of Technology35矩形周期信号拉氏变换矩形周期信号拉氏变换)2()()(1Ttututf)1(11)()(21STSTSTeSeesFsF)1

18、 (1)(21STeSsF第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和Lanzhou University of Technology36求周期信号的拉氏变换求周期信号的拉氏变换)(tf12T0T2T1)(0tf0tt)2()(sinTtututT222ssesTLTT2222112TSsesseT信号加窗第一周期Lanzhou University of Technology37)(tf 单对称方波 周期对称方波 乘衰减指数)21 (12sseesssees2211)1 (1包络函数te12) 2() 1(2)(tututu)1 ()1 () 1(1) 1() 1(sseesLanzhou

19、 University of Technology38抽样信号的拉氏变换0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs0)()(nSnTsenTfsF抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换Lanzhou University of Technology394.3 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换 计算方法：2. 利用复变函数中的利用复变函数中的3. 采用采用jjde )(j21)(ssFtfst1. 查表法查表法Lanzhou University of Technology404.3.1 查表法查表法 例例 已知 ，求F(s)的原

20、函数f(t)。解解 F(s)可以表示为 441)(2ssssF22)2(1441)(ssssssFLanzhou University of Technology41 由附录五查得编号为13的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号13的变换对为 )()()(110201tebtabbasbsbat与本例中F(s)的表示式对比，则b1=1, b0=1，=2，代入变换对得 )()1 ()()(21tetsFFtftLanzhou University of Technology424.3.2 4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法 若若F F( (s s) )为为s s的有理分式，则可表示为的有

21、理分式，则可表示为 01110111)()()(asasasbsbsbsbsAsBsFnnnmmmm式中，式中，a ai i(i(i=0, 1, 2, =0, 1, 2, , n-1), n-1)、b bi i( (i i=0, 1, 2, =0, 1, 2, , , m m) )均为实数。若均为实数。若m mn n, , 则则 为假分式。若为假分式。若m mn n，则则 为真分式。为真分式。 )()(sAsB)()(sAsBLanzhou University of Technology43式中，式中，c ci i( (i i=0, 1, 2, =0, 1, 2, , , n n-1)-1)

22、为实数。为实数。N N( (s s) )为有理多项式，为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到其逆变换为冲激函数及其一阶到m m- -n n阶导数之和。阶导数之和。 为有为有理真分式，可展开为部分分式后理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如求逆变换。例如， )()(sAsD 若若F F( (s s) )为假分式，可用多项式除法将为假分式，可用多项式除法将F(s)F(s)分解为有理多项式分解为有理多项式与有理真分式之和，与有理真分式之和， 即即 nmnnmnscsccsNsAsDsNsAsDscsccsF110110)()()()()()()(Lanzhou University of T

23、echnology442211)21 ()2)(1(43)21 (2361072)(223sssssssssssssF则 )()2(2)()()(21teettsFLtftt）（Lanzhou University of Technology45 若若 为有理真分式，为有理真分式， 可直接展开为部分可直接展开为部分分式后求逆变换。要把分式后求逆变换。要把F F( (s s) )展开为部分分式，必须先展开为部分分式，必须先求出求出A A( (s s)=0)=0的根。因为的根。因为A A( (s s) )为为s s的的n n次多项式，所以次多项式，所以A A( (s s)=0)=0有有n n个根个

24、根s si i( (i i=1, 2, =1, 2, , , n n) )。s si i可能为单根，也可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。可能为重根；可能为实根，也可能为复根。s si i又称为又称为F F( (s s) )的极点的极点。F F( (s s) )展开为部分分式的具体形式取决于展开为部分分式的具体形式取决于s si i的上述性质。的上述性质。 )()()(sAsBsFLanzhou University of Technology46 1.1. F F( (s s) )仅有单极点仅有单极点 若A(s)=0仅有n个单根si(i=1, 2, , n)，则根据因式分解方

25、法分解，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为 niiinssKsssssssBsAsBsF121)()()()()()(式中，各部分分式项的系数Ki为 :issiisFssK)()(Lanzhou University of Technology472. 2. F F( (s s) )有重极点有重极点 若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或复数，则nrjjjnrjjirrnrrssKsFssKssKssKssKsssssssBsF111112112111111)()(.)()()()()()()(式中： 1)()()!(1

26、)()(111111ssririririiisFssdsdirKssKsFLanzhou University of Technology48先求F1(s)的逆变换，因为 iistti1)()!1(11由复频移性质，可得 iitsssttei)(1)()!1(1111)()()!1(11111sFtetiKritsiiF(s)的单边拉普拉斯逆变换为 )()()!1()()(111111teKtetiKsFLtftsnrjjritsiijLanzhou University of Technology493. 3. F F( (s s) )有复极点有复极点如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，

27、则F(s)可展开为 jsKjsKjsKjsKjsjssBsF*1121)()()(式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 则有 jseKjseKsFjj11)(Lanzhou University of Technology50由复频移和线性性质得F(s)的原函数为 )()cos(2)()()(1)()(1)(1)(11tteKeeeKteeKeeKsFLtfttjtjttjjtjj 对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入上式中，就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。 Lanzhou Univ

28、ersity of Technology51 如果F(s)有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例， 其F(s)可展开为 )()()()()()()()()()()()()()()()(12121121211212*112*1211212212221121222jseKjseKjseKjseKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsjssBsFjjjjLanzhou University of Technology52式中： 212112*122211*112112121111jjjjeKKKeKKKeKKeKK根

29、据复频移和线性性质，求得F(s)的原函数为 )()cos(2)()cos(2)()()()(212111)()(12)()(1112211ttteKtteKteeeetKteeeeKsFLtftttjjtjjtjjtjjLanzhou University of Technology534.4 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 微分方程描述系统的微分方程描述系统的s域分析域分析 电路的电路的s域模型域模型 Lanzhou University of Technology54一、一、微分方程描述系统的微分方程描述系统的s域分析域分析 时域微分方程时域微分方程时域响应时域响应y(t

30、)s域响应域响应Y(s)单边拉氏变单边拉氏变换换拉氏反变换拉氏反变换解微分方程解微分方程解代数方程解代数方程 s域代数方程域代数方程Lanzhou University of Technology55一、一、微分方程描述系统的微分方程描述系统的s域分析域分析 1. 1.连续信号的复频域分解连续信号的复频域分解 根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号f f( (t t) )的的单边拉普拉斯变换为单边拉普拉斯变换为F F( (s s) )， 则信号则信号f f( (t t) )可以表示为可以表示为 dsesFjtfjjst)(21)(0tLanzhou Unive

31、rsity of Technology562.2.基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应 若线性时不变连续系统若线性时不变连续系统(LTI)(LTI)的输入为的输入为f(t), 零状态响应零状态响应为为yf(t)，冲激响应，冲激响应为为h(t)，由连续系统的时域分析可知，由连续系统的时域分析可知: : )()()(thtftyf若系统的输入为基本信号，即若系统的输入为基本信号，即 则则dehedehthetyssttsstf)()()()()(若若h(t)为因果函数，则有为因果函数，则有)()()(0sHedehetystsstfste( )stf teLanzhou Univ

32、ersity of Technology57式中：式中：)()()()(00thLdtethdehsHsts即，即，H H（s s）是冲激响应）是冲激响应h h( (t t) )的单边拉普拉斯变换，称的单边拉普拉斯变换，称为线性连续系统的为线性连续系统的系统函数系统函数， 称为系统的称为系统的特征函特征函数数。steLanzhou University of Technology583.3.一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 对于对于-j-j到到+j+j区间上的任一区间上的任一s s，信号，信号e estst产生的零产生的零状态响应为状态响应为H H( (s s)e)

33、estst。e estst与其响应的对应关系表示为与其响应的对应关系表示为 ststesHe)(根据线性系统的齐次性，对于根据线性系统的齐次性，对于-j-j到到+j+j区间上的任一区间上的任一s s， 为一复数，因此，信号为一复数，因此，信号产产生的零状态响应生的零状态响应可以表示为可以表示为 dssFj)(21stedssFj)(21ststesdsHsFjedssFj)()(21)(21Lanzhou University of Technology59根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号f f( (t t) )可以分解为可以分解为-j-j到到+

34、j+j区间上不同区间上不同s s的指数信号的指数信号 和和( (积分积分) )，因此，因此，系统对系统对f f( (t t) )的零状态响应等于这些指数信号产的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。生的零状态响应之和。 对应关系为对应关系为 stedssFj)(21jjstjjstdsesHsFjdsesFjtf)()(21)(21)(即即f f( (t t) )产生的零状态响应产生的零状态响应Y Yf f( (t t) )dsesHsFjtyjjstf)()(21)(Lanzhou University of Technology60因为因为 是因果信号，所以是因果信号，所以y y

35、f f( (t t) )也是因果信号。也是因果信号。 另一方面，由于另一方面，由于y yf f( (t t)=)=h h( (t t) )* *f f( (t t) )，根据时域卷积性，根据时域卷积性质，则质，则y yf f( (t t) )的单的单边拉普拉斯变换为边拉普拉斯变换为 )()()()(sFsHtyLsYff0( )1( )2jstffjytYs e dsj 00tt( )( )( )fYsH sF s( ), ( )f t h tLanzhou University of Technology61前面讨论表明，系统的零状态响应可按以下步骤求解：前面讨论表明，系统的零状态响应可按以

36、下步骤求解：(1) (1) 求系统输入求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换的单边拉普拉斯变换F(s);(2) (2) 求系统函数求系统函数H(s);(3) (3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) (4) 求求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换的单边拉普拉斯逆变换yf(t)； Lanzhou University of Technology62系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解设二阶连续系统的微分方程为设二阶连续系统的微分方程为 )()( )()()( )(01201tfbtfbtfbtyatyaty式中，a0

37、、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f(0-)均为零。设初始时刻t0=0, y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s)，对式两端取单边拉普拉斯变换， 根据时域微分性质，得Lanzhou University of Technology63)()()()()0()()0( )0()(0122012sFbssFbsFsbsYayssYaysysYs)()()0( )0()()()(01221012sFbsbsbyyassYasas分别令)0( )0()()()()(10122012yyassMbsbsbsBasassALanzhou University of Tec

38、hnology64)()()()()()(sFsAsBsAsMsY 对上式取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即 )()()()()()()()()()()()()(111sFsAsBLtysAsMLtysFsAsBsAsMLtyfxLanzhou University of Technology65由于Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为0120122)()()(asasbsbsbsAsBsH设n阶连续系统的微分方程为mjjiniiitfbtya0)(0)()()(n阶系统的微分方程为01110111)()()(

39、asasasbsbsbsbsAsBsHnnnmmmmLanzhou University of Technology66例例 已知线性系统的微分方程为 )()( 3)(6)( 5)(tftftytyty求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。 2)0( , 1)0(),()(yytetftLanzhou University of Technology67f(t)的单边拉氏变换为 11)()(steLsFt解解 : 根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得 ：)()(3)(6)0()( 5)0( )0()(2sFssFsYyssYysysY

40、sLanzhou University of Technology68求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得： )()45()(45)(810)(323232teeetyeetyeeetytttfttxttt00ttLanzhou University of Technology69二、二、电路的电路的s域模型域模型 系统元件的s域模型 KCL KVL的s域模型 RLC系统（电路）的复频域模型Lanzhou University of Technology70二、二、电路的电路的s域模型域模型时域tiCtttiLttRitd)(1)(d)(d)()()(CCLLRR)()(RR

41、sRIsV)0()()(LLLLissLIsVsvSIsCsVcCC)0()(1)(Lanzhou University of Technology71 R、L、C串联形式的s域模型Lanzhou University of Technology72 L、C并联形式的s域模型Lanzhou University of Technology73RLCRLC系统的复频域分析系统的复频域分析KCLKCL、KVLKVL的复频域形式的复频域形式 KCL和KVL的时域形式分别为 0)(0)(tuti 设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，对上式

42、取单边拉普拉斯变换，根据线性性质， 得到 0)(0)(sUsILanzhou University of Technology74 例例 图 (a)所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。 解解 (1) 求完全响应iL(t)： VtuRRRuARRtuisCsL1)()0(1)()0(1212211Lanzhou University of Technology75例 图 (b)R2R1IL(s)LsC1uC(

43、0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d)R2R1ILf(s)sLsC1I1f(s)Us2(s)Lanzhou University of Technology76则S域的网孔方程为 )0()0()(1)(1)0()()(1)(12212211LCCSLisusIsLRsCsIsCsusUsIsCsIsCR式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程， 解网孔方程得 stuLsUss/4)()(22(b)R2R1IL(

44、s)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d)R2R1ILf(s)sLsC1I1f(s)Us2(s)Lanzhou University of Technology77 1) 1()2()22(42)()(22222sssssssssIsIL求IL(s)的单边拉氏逆变换，得 )(43cos22)()(1AtesILtitLL0tLanzhou University of Technology78 (2) 求零输

45、入响应iLx(t)：设零输入响应iLx(t)的单边拉氏变换为ILx(s)，网孔电流的象函数分别为I1x(s)和I2x(s)，如图 (c)所示。列网孔方程，得 )0()0(1)(1)0()(1)(121211LCxCxxLisusLRsCsIsCsusIsCsIsCR(b)R2R1IL(s)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d)R2R1ILf(s)sLsC1I1f(s)Us2(s)Lanzhou Univer

46、sity of Technology79把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程， 1) 1(2)()(22sssIsIxLx)(43cos2)()(1AtesILtitLxLx0tLanzhou University of Technology80 (3) 求零状态响应iLf(t)： 对图 (b)所示电路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到开关S在位置2时零状态响应的S域电路模型，如图 (d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s)，可应用网孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。此外，也可以根据S域电路模型求出系统

47、函数H(s)，然后通过H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s)，则有 sLRsCsCsLRRsZ22111)()(b)R2R1IL(s)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d)R2R1ILf(s)sLsC1I1f(s)Us2(s)Lanzhou University of Technology81于是得 )()()(21sZsUsIsf)()(11)(11)(2212sZsUsLRsCsCsIsLRsCsCsIsfLf把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为 221