53.课标全国卷数列试题的求和“情结”之错位相减法

1、 杨培明(手机号码数学丛书,给您一个智慧的人生！课标高考全国卷数学试题揭秘.预测 第7讲:课标全国卷数列试题的求和“情结”之错位相减法 233 第7讲:课标全国卷数列试题的求和“情结”之错位相减法特色惊爆 课标全国卷中数列试题的求和“情结”的一个例证是着意于考查利用错位相减法求和;错位相减法是数列求和的唯一“成熟”的方法:具有确定的对象:(an+b)qn或(an2+bn+c)qn等;具有固定的程序:由Sn=a1+a2+anqSn=a1q+a2q+anq-:(1-q)Sn=,由此求(an+b)qn的前n项和,或继续重复该程序求(an2+bn+c)qn的前n项和.情结渊源

2、1.(2010年课标高考试题理科第17题)设数列an满足:a1=2,an+1-an=322n-1.()求数列an的通项公式; ()令bn=nan,求bn的前n项和Sn.解析:()由a1=2,an+1-an=322n-1an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=2+3(2+23+22n-3)=2+3=22n-1;()由bn=nan=n22n-1Sn=12+223+325+n22n-122Sn=123+225+327+n22n+1;由-式得:-3Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1Sn=(3n-1)22n+1+2.2.(2014年课标高考试题文科第17题)已知an是

3、递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.()求an的通项公式; ()求数列的前n项和.解析:()由x2-5x+6=0x=2,3a2=2,a4=3公差d=an的通项公式an=n+1;()由an=n+1=(n+2)()n+1数列的前n项和Sn=3()2+4()3+5()4+(n+2)()n+1Sn=3()3+4()4+5()5+(n+2)()n+2;由-式得:Sn=-1+()2+()3+()4+()n+1-(n+2)()n+2Sn=2-.命题规律 如果an=(an+b)qn(q1),则an的前n项和Sn=(An+B)qn-B;这是错位相减法“成熟”的第三个标志;命制此类试题有两个方

4、面:包装其中的等差数列an+b或等比数列aqn;隐含通项an=(an+b)qn的数列.原创预测 234 第7讲:课标全国卷数列试题的求和“情结”之错位相减法 1.包装方式:原创示例:己知递增等差数列an满足:a1=1,该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成等比数列bn的前三项.()分别求数列an、bn的通项公式;()设Tn=+(nN*),若a-2<Tn+<a恒成立,求a的取值范围.解析:()设数列an、bn的公差与公比分别为d(d>0)、qa1=1,a2=1+d,a3=1+2db1=2,b2=2+d,b3=4+2d2(4+2d)=(2+d)2d=2an=2n-1,bn=2n

5、;()Tn=+Tn=1()+3()2+5()3+(2n-1)()n,×得:Tn=1()2+3()3+5()4+(2n-1)()n+1,-:Tn=()2+2()3+()4+()n-(2n-1)()n+1=-2()n-(2n-1)()n+1Tn=3-Tn+=3-2,3).a-2<Tn+<aa3,4).原创预测:1.在等差数列an中,a1=1,前n项和Sn满足条件:数列的前n项和Mn=.()求数列an的通项公式; ()记bn=an(p>0),求数列bn的前n项和Tn.2.数列an的前n项和为Sn,己知a1=,Sn=1-an,n=1,2,.()写出Sn与Sn-1的递推关系式

6、(n2),并求Sn关于n的表达式;()设fn(x)=xn+1,bn=n(p)(pR),求数列bn的前n项和Tn.3.己知各项为正数的数列an的前n项和Sn=anan+1(nN*),且a1=1.()求数列ak的通项公式; ()令bn=an+1()n,Tn=b1+b2+bn,试比较Tn与的大小,并予以证明.4.设C1,C2,Cn,是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知rn为递增数列.()证明:rn为等比数列; ()设r1=1,求数列的前n项和.5.如果数列an,bn对任意的正整数n都满足:

7、a1b1+a2b2+a3b3+anbn=(An+B)qn-B(q1,A0).()求证:如果数列an是公差不为零的等差数列,则数列bn是等比数列;()如果bn=2n,且数列an对任意的正整数n都满足:a1b1+a2b2+a3b3+anbn=2n+1(2n-1)+2,数列an的前n项和为Sn,求证:数列的前n项和Tn<. 2.隐含形式:原创示例:己知数列an的前n项和Sn满足nan+1=(n+2)Sn,且a1=1.()求数列an的通项an; ()令bn=4(n-1)an,求数列bn的前n项和Tn.解析:()nan+1=(n+2)SnSn=an+1an=Sn-Sn-1=an+1-an=2数列是

8、以为首项,公比为2的等比数列=×2n-1an=(n+1)×2n-2; 第7讲:课标全国卷数列试题的求和“情结”之错位相减法 235 ()bn=4(n-1)an=(n2-1)×2n=n2×2n-2n,数列2n的前n项和=2n+1-2,设xn=n2×2n,Xn=x1+x2+x3+xnXn=12×21+22×22+32×23+k2×2k+ n2×2n2Xn=12×22+22×23+32×24+k2×2k+1+ n2×2n+1, -得:-Xn=1

9、5;21+3×22+5×23+(2n-1)×2n-n2×2n+1-2Xn=1×22+3×23+5×24+(2n-1)×2n+1-n2×2n+2,-得:Xn=2+2(22+23+2n)-n22n+1-(2n-1)×2n+1+n2×2n+2=(n2-2n+3)×2n+1-6Tn=Xn-(2n+1-2)=(n2-2n+4)×2n+1-4.原创预测:6.在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.()设bn=,证明:数列bn是等差数列; ()求数列an的前n项和Sn.7

10、.设数列an的前n项和为Sn,己知a1=1,Sn+1=4an+2.()设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;()求数列an的通项公式.8.设数列an满足:a1=a,an+1=can+1-c,nN*,其中a,c为实数,且c0.()求数列an的通项公式; ()设a=,c=,bn=n(1-an),nN*,求数列bn的前n项和Sn.9.设等差数列an的前n项和为Sn.且S4=4S2,a2n=2an+1.()求数列an的通项公式; ()若数列bn满足+=1-,nN+,求bn的前n项和Tn.10.己知数列xn满足:x1=1,x2=,xn=xn-1-xn-2(n=3,4,).()求数列xn的通项

11、公式; ()求数列xn的前n项和Sn.原创解析:1.解:()由Mn=当n2时,=Mn-Mn-1=-=Sn=(S1=a1=1也适合该式)an=n;()当p=1时,bn=an=nTn=;当p1时,bn=an=npnTn=n-pn+.2.解:()a1=S1=,Sn=1-anSn=1-(Sn-Sn-1)(2n+1)2Sn=(2n-1)2Sn-1+8n,令xn=(2n+1)2Snx1=8,xn-1=(2n-1)2Sn-1xn-xn-1=8nxn=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+(xn-xn-1)= 4n(n+1)(2n+1)2Sn=4n(n+1)Sn=;()由fn(x)=xn+1fn(x)=xn+

12、1n(x)=nxnbn=n(p)=npnTn=p+2p2+3p3+npn;(i)当p=0时,Tn=0;(ii)当p=1时,Tn=1+2+3+n=n(n+1);(iii)当p0,1时,Tn=.3.解:()在Sn=anan+1中,令n=1得:a2=2,由Sn=anan+1an=Sn-Sn-1=anan+1-an-1anan+1-an-1=2.当n为奇数时,an=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(an-an-2)=1+×2=n;当n为偶数时,an=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+(an-an-2)=2+×2=n;综上an=n;()bn=an+1()n=(n+1)()n

13、Tn=3-(n+3)()nTn-=(2n-2n-1)Tn与的大小2n与2n+1的大小.当n=1,2时,2n<2n+1Tn<令f(x)=2x-2x-1(x3)(x)=2xln2-223ln2-2=2(ln16-lne)>0f(n)f(3)=1当n3时,2n>2n+1Tn>. 236 第7讲:课标全国卷数列试题的求和“情结”之错位相减法 4.解:()直线l:y=的倾斜角=,设圆Cn的圆心为Cn,直线l与圆Cn相切于点Pn,过点Cn作CnHCn+1Pn+1于H点,则:|CnCn+1|=rn+rn+1,|Cn+1H|=rn+1-rn,CnHlHCnCn+1=sinHCnC

14、n+1=rn+1=3rnrn是以r1为首项,公比q=3的等比数列;()r1=1,由()得:rn=3n-1=n()n-1的前n项和Sn=-(n+)()n.5.解:()在a1b1+a2b2+a3b3+anbn=(An+B)qn-B中,令n=1得:a1b1=(A+B)q-B;由可得:a1b1+a2b2+a3b3+anbn+an+1bn+1=(An+A+B)qn+1-B,-得:an+1bn+1=(Aqn+Aq+Bq-An-B)qnanbn=A(q-1)n+2Aq+Bq+A-Bqn-1anbn+1=A(q-1)n+2Aq+Bq+A-Bqn,-得:(an+1-an)bn+1=-A(q+1)qn,由an是等

15、差数列an+1-an=d(公差是常数),所以bn+1=(q+1)qn数列bn是等比数列;()由()知数列an是等差数列,在a1b1+a2b2+a3b3+anbn=2n+1(2n-1)+2中,令n=1得:a1b1=6a1=3;令n=得,a1b1+a2b2=26a2=5an=2n+1Sn=n(n+2)=Tn=+=(1+-)<.6.解:()由bn=b1=1,bn+1=;又由an+1=2an+2n=+1bn=bn-1+1bn是等差数列;()由bn=nan=n×2n-1Sn=(n-1)×2n+1.7.解:()在Sn+1=4an+2中,令n=1得:S2=4a1+2a2=5b1=3

16、;又因an+2=Sn+2-Sn+1=(4an+1+2)-(4an+2)an+2-2an+1=2(an+1-2an)bn+1=2bn数列bn是以b1=3为首项,公比为2的等比数列;()由()知bn=3×2n-1an+1-2an=3×2n-1-=数列是以为首项,公差为的等差数列=+(n-1)=n-an=(3n-1)2n-2.8.解:()由an+1=can+1-can+1-1=c(an-1)(i)当a1时,数列an-1是以a1-1=a-1为首项,公比为c的等比数列an-1=(a-1)cn-1an=1+(a-1)cn-1;(ii)当a=1时,an=1,且an=1满足an=1+(a-1)cn-1,所以,数列an的通项公式an=1+(a-1)cn-1;()由(I)知bn=n(1-a)cn-1=n()nSn=-(n+2)()n+2.9.解:()由a2n=2a