圆中的最值问题

1、圆中的最值问题【考题展示】题 1 (2012 年武汉中考) 在坐标系中，点A 的坐标为(3，0) ，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2设tan BOC=m，则m的取值范围是_题 2 (2013 年武汉元调 ) 如图，在边长为1 的等边 OAB中，以边AB 为直径作 D，以 O为圆心 OA长为半径作 O，C 为半圆弧 AB 上的一个动点 （不与 A、B 两点重合），射线 AC交 O于点 E，BC=a ，AC=b ，求 a b 的最大值 . （有修改）题 3 (2013 年武汉四调 ) 如图， BAC=60，半径长为 1 的圆 O与 BAC的两边相切， P 为圆 O上

2、一动点，以 P 为圆心，PA长为半径的圆 P 交射线 AB、AC于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE长度的最大值为 _题 4(2013 年武汉五模 ) 在 ABC 中，A 120 ，BC6 若 ABC 的内切圆半径为r ，则 r 的最大值为_（有修改）题 5 (2013 年武汉中考 ) 如图， E， F 是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE=DF连接 CF交 BD于点 G，连接 BE交 AG于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值是 _ 题1图题2图题3图题 4 图题 5 图【典题讲练】类型1（相关题：题5）1.1如图，边长为a 的等边ABC的顶点A， B 分

3、别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_1.2 在直角坐标系中， ABC满足， C=90， AC=8，BC=6，点 A，B 分别在 x 轴、 y 轴上，当 A 点从原点开始在正 x 轴上运动时， 点 B 随着在正 y 轴上运动 （下图），求原点 O到点 C的距离 OC的最大值， 并确定此时图形应满足什么条件1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC， C=90， AC=BC=2，点上，当点A 从原点开始在x 轴的正半轴上运动时，点C 在 y 轴正半轴上运动A、 C分别在x 轴、 y轴（ 1）当 A 在原点时，求点 B 的坐标；（ 2）当 OA=OC

4、时，求原点 O到点 B 的距离 OB；（ 3）在运动的过程中，求原点O到点 B 的距离 OB的最大值，并说明理由1.4 边长为 2 的等边 ABC的顶点 A 在 x 轴的正半轴上移动， 顶点 B 在射线 OD上移动， AOD=45，则顶点 C 到原点 O的最大距离为 _1.5如图， O的直径为4，C为 O上一个定点， ABC=30，动点 P 从 A 点出发沿半圆弧AB 向 B 点运动（点P 与点 C 在直径 AB的异侧 ) ，当 P 点到达 B 点时运动停止，在运动过程中，过点长线于 D 点（ 1）在点 P 的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_；C 作CP的垂线CD交PB 的延（ 2）在点

5、 P 的运动过程中，线段AD长度的最大值为_DCAOBP1.6如图，定长弦CD在以 AB为直径的 O上滑动（点C、D 与点 A、B 不重合），M是 CD的中点，过点C 作 CP AB于点 P，若 CD=3， AB=8，则 PM长度的最大值是 _1.7如图，在Rt ABC中， ACB=90， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2， M为 BD的中点，在 D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_ADMCB类型 2（相关题：题4）2.1如图，已知AB是 O的弦， C是 O上的一个动点，连接AC、 BC， C=60， O的半径为2，则 ABC面积的最大值是_2.2如图，已知

6、直线MN经过 O上的点 A，点 B 在 MN上，连 OB交 O于 C 点，且点 C 是 OB的中点， AC= OB，若点 P 是 O上的一个动点，当AB=时， APC的面积的最大值为_2.3如图，半圆O的半径为1，ACAB，BD AB，且 AC=1，BD=3，P 是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_2.4已知 Rt ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_2.5如图，若Rt ABC的斜边 AB=2，内切圆的半径为r ，则 r 的最大值为 _ 2.6 如图，在 ABC中， AB=10， AC=8， BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB， CA分别相交于

7、点 E， F，则线段 EF 长度的最小值是 _2.7 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 经过点 A（ 4，0）、B（ 0，4），O的半径为 1（O为坐标原点） ，点 P 在直线 AB上，过点 P 作 O的一条切线 PQ， Q为切点，则切线长 PQ的最小值为 _2.8如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（3， 2）， A 的半径为1， P 为 x 轴上一动点，PQ切 A 于点 Q，则当 PQ最小时， P点的坐标为 _类型 3（相关题：题3）3.1如图， ABC中， BAC=60，别交 AB， AC于 E， F，连接 EFABC=45， AB=2， D是线段BC上的一个动点，以AD

8、为直径画O分（ 1）探究线段 EF 长度为最小值时，点 D的位置，请画出图形；（ 2）求出该最小值3.2 如图，在 ABC中，已知 AB=5， BC=8， AC=7，动点 P、 Q分别在边 AB、 AC上，使 APQ的外接圆与 BC相切，则线段 PQ的最小值等于 _类型 4（相关题 :题 2）4.1如图，点C在以 AB为直径的 O上， CD AB于 P，设 AP=a， PB=b（ 1）求弦 CD的长；（ 2）如果 a+b=10，求 ab 的最大值，并求出此时a，b 的值 ( 参考 2.4 、 2.5 ）224.2如图，半径为 2 的 O有两条互相垂直的弦AB和 CD，其交点 E 到圆心 O的距

9、离为1，则 AB +CD=_4.3如图， O的半径为2，点 P 是 O内一点，且OP=，过 P 作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为_4.4如图，以O为圆心， 1 为半径的圆内有一定点A，过 A 引互相垂直的弦PQ， RS求 PQ+RS取值范围4.5如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的一个动点， 以 AC、BC为边作等边 ACD和等边 BCE， O外接于 CDE，则 O半径的最小值为.EDOACB4.6在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心， 2 为半径画 O，P 是 O上一动点，且P 在第一象限内，过点 P 作 O的切线与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点

10、B，线段 AB 长度的最小值是.类型 5（相关题：题1）5.1如图，已知A、 B 两点的坐标分别为(-2 ，0) 、 (0 ， 1) ， C的圆心坐标为 (0 ，-1) ，半径为1， D是 C 上的一个动点，射线AD与 y 轴交于点E，则 ABE面积的最大值是_5.2如图， Rt ABC中， C=90， A=30， AB=4，以 AC上的一点O为圆心OA为半径作 O，若 O 与边BC始终有交点（包括B、C 两点），则线段AO的取值范围是.AOCB5.3如图，在Rt ABC中， C=90， AC=6，BC=8， D 为 AB 边上一点，过点D 作 CD的垂线交直线BC于点 E，则线段 CE长度的

11、最小值是.ADCOE B5.4在坐标系中，点A 的坐标为（ 3，0），点 B 是 y 轴右侧一点，且AB=2，点 C 上直线 y=x+1 上一动点，且CB AB于点 B，则 tanACBm ，则 m 的取值范围是.ByPOAx5.5 如图， A 点的坐标为（-2 ， 1），以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B，P(a， b) 为 A 上的一个动点，请分别探索： ba 的最大值；b a 的最小值； ba 的最大值； ba 的最大值；yyyPPPAAABOxBOxBOx【拓展延伸】： b2a 的范围； b2a 的范围；类型 66.1 如图， CD是 O的直径，点 A 是半圆上的三等分点， B

12、是弧 AD的中点， P 点为直线 CD上的一个动点，当CD=4时，求：（ 1） AP+BP的最小值（ 2） AP BP的最大值6.2 如图，已知圆 O的面积为 3， AB为直径，弧 AC的度数为 80，弧 BD的度数为 20，点 P 为直径 AB 上任一点，则 PC+PD的最小值为 _6.3 如图， AB、CD是半径为 5 的 O的两条弦， AB=8， CD=6， MN是直径， AB MN于点 E， CD MN于点 F， P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC的最小值为 _6.4 如图， AB 是 O的直径，弦 BC=2cm， F 是弦 BC的中点， ABC=60若动点 E 以 2cm/s

13、 的速度从 A 点出发沿着 A B 方向运动，设运动时间为 t （ s），连接 EF、CE，当 t 为 _ 秒时， CE+EF最小，其最小值是_6.5四边形 ABCD内接于圆，已知ADC=90， CD=4，AC=8， AB=BC设 O是 AC的中点（ 1）设 P 是 AB上的动点，求 OP+PC的最小值；（ 2）设 Q， R 分别是 AB， AD上的动点，求 CQR的周长的最小值补充练习 （与例题类型不完全对应）1. 如图，已知直线 l 与 O相离， OA l 长线交直线 l 于点 C，若在 O上存在点围为 _于点 A， OA=5， OA与 O相交于点 P， AB 与 O相切于点 B， BP的

14、延Q，使 QAC是以 AC为底边的等腰三角形，则 O的半径 r 的取值范2已知：如图，RtABC中， B=90o ， A=30o ， BC=6cm，点 O从 A 点出发，沿AB 以每秒3 cm的速度向B 点方向运动，当点O运动了 t 秒 (t 0) 时，以 O点为圆心的圆与边AC相切于点 D，与边 AB相交于 E、 F两点，过E 作 EG DE交射线 BC于 G.（ 1）若点 G在线段 BC上，则 t 的取值范围是 _ （ 2）若点 G在线段 BC的延长线上，则 t 的取值范围是 _CCGDBEOFABA3如图， M， N的半径分别为2cm，4cm，圆心距 MN=10cmP 为 M上的任意一点

15、，Q为 N 上的任意一点，直线 PQ与连心线 l 所夹的锐角度数为，当 P、 Q在两圆上任意运动时，tan的最大值为 _ QPMNl4如图，在矩形 ABCD中， AB=3，BC=4， O 为矩形 ABCD的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为 D上的一个动点，连接 AP、 OP，则 AOP面积的最大值为 _PADOBC5如图，在 Rt ABC中， C=90， AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB相切 的动圆与 CA、 CB分别相交于点 P、Q，则线段 PQ长度的最小值是 _CPQADB6如图， 在等腰 Rt ABC中， C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点， 点 E在 AB边上运动 （点 E 不与点 A 重合），过 A、D、E 三点作 O，O交 AC于另一点 F，在此运动变化的过程中， 线段 EF长度的最小值为 _AFEOBDC7如图， A、 B两点的坐标分别为(2 ， 0) 、(0 ， 2) ， C 的圆心的坐标为(-1 ， 0) ，半径为一个动点，线段DA与 y 轴交于点E，则 ABE面积的最小值是_1，若D是C上的8如图，等腰 Rt ABC中， ACB=90， AC=BC=4， C 的半径为 1，点 P 在斜边 AB上， PQ切 O于点 Q，则切线长 PQ长度的最小值为 _APQCB9在直角坐标系中，点A 的坐标为（3， 0