坐标法解空间几何题常用模型

1、.如何用坐标法解空间几何题专题（中保高中2017 届 1， 2 班）徐学松2017.5模型思考空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多，在解决综合问题时，运用多个定义、定理和性质形成的综合题时，遇到多种多样的题型，每一种题型的解法又有多种.学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率.有没有一种比较统一的方法，能够使得解题过程比较一致，变化不多的模型呢？使得学生解题流程固定，方法比较简单 ，从而使学生解题思路流畅，正确率提高呢 .坐标法作为一种工具，在解决立体几何问题中有着无比的优越性运用坐标法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了，模式固定 ，流程明

2、了 .模型例析例 1. （线线平行 ）已知 A(1， 0， 0)， B(0， 1， 0)， C(0， 0， 2)，求满足 DB AC， DC AB的点 D的坐标解模与识模 :这道题是一道线与线平行的问题.可设点 D 坐标为 (x， y， z)，则 DB = ( x， 1 y， z)， AC = ( 1， 0， 2) ， DC = ( x， y， 2 z)，AB = ( 1，1，0)DBAC， DCAB， DB AC ， DC AB xz ,12x1,1 y0,y1 , ，即此时点 D 的坐标为 (1， 1，2)即xy ,z2 .1 12 z 0.从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下

3、,得到各点的坐标后,就能得到.专业 .专注.有关向量的坐标,根据向量的平行 ,利用公式建立方程组.这里的公式是若 ax1, y1, z1 ,b x2 , y2 , z2,且 x2 , y2 , z2 均不为零 , a/ bx1y1z1.进而达到求解的目的 .x2y2z2例 2 （线线垂直 ）在正方体 ABCD A1B CD中，M 是棱 DD1的中点 ， O 为正方形 ABCD111的中心 ，求证： OA1 AM 解模与识模:直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直.设直线a,b的方向向量分别是ax1 , y1 , z1 , bx2 , y2 , z2 ,a ba bx1 x2y1 y2

4、z1 z20 .要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系.常见几何体的建系方法：1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面 ”（即 xOy 平面 ），一条为 x 轴，一条为y 轴；2.找与 “水平面 ”垂直的直线确定为z 轴.通常做法 ：（ 1）直接找到与 “水平面 ”垂直的直线为z 轴；zzzOOOxxxy（ 1）yy（ 3）（ 2）（2 ）找与 “水平面 ”垂直的平面 ，垂面内与 “水平面 ”交线的垂线即为z 轴；（3 ）过两垂线的交点直接作出“水平面 ”的垂线 ；（4 ）过两垂线的交点构造 “水平面 ”的两个两个垂面 ，两垂面的交线为z 轴 .z.专业 .专注.在建系的过程中 ，一

5、般的借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等 .如图建立右手直角坐标系.设正方体的棱长为1 个单z位，则 A(1 ，0，0)，A 1(1，0，1)，D 1C1B1A1M(0 ，0， 1 )，O( 1 ， 1， 0)M2221， 1 ，1)，DC=DA1DOyOA1= (2AO2xB1AM = DM DA=( 1，0， )，2OA · =1×( 1) ( 1 )×0 1× 1 = 0 ，OA AM，1AM2212AM OA1例 3( 线面垂直 ) 如图，已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是矩形 ，M 、 N 分别是 CD、 SC的中点 ， SA

6、 底面 ABCD， SA= AD=1 ， AB= 2求证：MN 平面.专业 .专注.ABN解模与识模 :第（ I）问是证明直线与平面垂直问题,又直线与平面垂直的判定定理可知,只需要证明这条直线与平面内两条相交直线垂直就可以了,转化为证明这条直线的方向向量垂直于平面内两条直线的方向向量.以 A 点为原点 ， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AD 为 z 轴的空间直角坐标系 ，如图所示 . 则依题意可知相关各点的坐标分别是： A（ 0， 0， 0）， B（2 ，0，0）， C（2 ，1，0）， D（0， 1，0）， S（0，0， 1）M (2 ,1,0), N (2,1,1).2222MN

7、(0, 1 , 1), AB(2 ,0,0), AN( 2,1,1).22222MNAB0, MNAN0.MNAB,MN AN.MN 平面 ABN .例 4（线面平行 、面面垂直 、二面角 ）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正方S形，其他四个侧面都是等边三角形， AC 与 BD 的交点为 O ， E 为侧棱 SC上一点 .（） 当 E 为侧棱 SC的中点时 ，求证： SA平面 BDE ；E（） 求证 ：平面 BDE平面 SAC；DC（） 当二面角 EBDC 的大小为45 时，OA试判断点 E 在 SC 上的位置 ，并说明理由 .B解模与识模 :本题第 （） 问是解决线面平行问

8、题. 设四棱锥 SABCD 的底面边长为2，建立如图直角坐标系.则 O(0,0,0)， S(0, 0,2)， A2,0,0，B0,2,0 ，C2,0,0， D0,2,0.所以 AC22, 0, 0 ，BD0, 22,0.因为 CE1 ，由已知可求得ECO45.专业 .专注.2222所以E2,0,， BE2,2,.2222设平面 BDE 法向量为 n( x, y, z) ，zn BD0,y0,S则即2 x2 z 0n BE 022yE22令z，得 n= 1,0,1.1DCAS2,0,2.AOxByAS2020.所以 nAS.n ·所以 SA平面 BDE .这一问完整地体会了坐标法的整个

9、过程.第一步 ,建立恰当的空间直角坐标系; 第二步求出相关点的坐标: 第三步 ,写出向量的坐标;第四步 ,选择适当的公式进行论证、计算 ; 第五步 ,转化为几何结论 .第四步中着重计算了面BDE 法向量 ,n ·AS =0推出 SA平面 BDE .求法向量的步骤 ：第一步 ,找平面内的任意两个不共线向量,设 a， b 为平面内的任意两个向量 ;第二步 ,设 n= （ x, y,1 ）为的法向量 ，则由方程组a n0b n,求得法向量 n0（） 证明 ：由（） 中坐标易知 SO 面ABCD ， ACBD .设 CEa （ 0a2 ），由已知可求得ECO45 .所以 E(22 a, 0,

10、2 a) ， BE(22 a,2,2 a) .2222设平面 BDE 法向量为 n( x, y, z) ，n BD0,y0,则即22n BE0(22 yaz0.a) x22令 z1，得 n( a , 0, 1).2a.专业 .专注.易知 BD0,22, 0是平面 SAC的法向量 .因为 n BD(a, 0,1) (0, 22, 0) 0，2a所以n BD，所以平面BDE平面SAC.本题的解决可以总结出利用向量法证明面与面垂直的过程中的第四部核心是证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的一条直线,同时也可以证明两个平面的法向量的数量积为零去证明两个平面互相垂直.（） 设二面角l中 ,平面、的法向

11、量是 a( x1 , y1 , z1 ) , b(x2 , y2 , z2 ) ，则 cos a, ba bx1 x2y1 y2z1 z2，设二面角l的大小| a | b |x1 2y1 2z12x2 2y2 2z2 2为，则 coscosa, b或 cos- cos a,b .设 CEa （ 0a 2），由（）可知，平面 BDE 法向量为 n( a,0,1).2a因为 SO底面 ABCD ，所以 OS(0, 0,2) 是平面 ABCD 的一个法向量 .由已知二面角 EBDC 的大小为 45 .所以 cos OS, ncos 452，2所以22a2，解得 a 1 .() 21 22a所以点 E

12、 是 SC的中点 .例5（线线成角）如图，在三棱锥 DABC 中,ADC ,ACB 均为等腰直角三角形ADCD2 ，ADCACB90 ,M 为线段AB 的中点 ，侧面 ADC底面 ABC . 求异面直线BD 与 CM 所成.专业 .专注. . .角的余弦值 ；解模与识模 : 如果两异面直线AB 与 CD 的方向向量分别是AB、 CD ，直线 AB 与 CD的夹角为| ABCD |，就有 cos|AB|CD |取 AC 的中点为 O ，连结 DO ,OM .建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示 .则 A(1,0,0) ， C( 1,0,0) ， D (0,0,1) ， B( 1,2,0) ， M

13、 (0,1,0).BD (1, 2,1),CM(1,1,0) ，cos BD, CMBDCM1203| BD |CM |626所以异面直线 BD 与 CM 所成角的余弦值为3 .6例 6（线面成角 ）如图 ，正三棱柱 ABCA1 B1C1 的底面边长为a ，侧棱长为2a .（ 1）建立适当的坐标系 ，并写出 A、 B、 A1、 C1 的坐标 ；（ 2）求 AC1 与侧面 ABB 1A1 所成的角 .解模与识模 :建立如图的坐标系 ，来确定所求点的坐标 .取 A1 B1 中点 M ，因为三棱柱 ABCA1 B1C1 是直三棱柱 ,则 CM 是平面 ABB1A1 的一个法向量 , 求 AC1与侧面

14、 ABB1A1 所成的角转化为求 AC1与 CM 的夹角的余角 .于是求直线 l 与平面所成的| PMn |，（ P、Ml，n 为 的法向量 ）角： | sin | n |PM |.专业 .专注.（1）以A 为坐标原点 ， AB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，以过原点且垂直于平面的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图3.则 A （0， 0 ，0 ）、 B（ 0， a， 0）、 A1 （ 0， 0 ，2a ）、 C1（3 , a , 2a ）22（ 2 ）取 A 1B1 的中点 M ，则 M （0 ， a ，2a ）2连 AM 、MC1，得 MC13 a,0,0 ， | MC1 |3 a

15、，因为22AC13 , a , 2a，22AC13a ;设 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.于是有330a2aaa0sin2221cos AC1 , MC 1= .3 a3a22所以 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为30°.例 7（异面直线距离 、线面之间的距离 ）已知 ：正方体 ABCD A1 B1 C1 D1 中， P 为 AB 中点，Q 为 BC 中点， AA 1=a,O 为正方形ABCD 的中心 .z（1）求 PQ 与 C1O 间的距离 ；D1C1（2）求 BC 到面 A1D1P 的距离A1B1.专业 .专注.DOCyAQBPx.解模与识模 ：P 和 O 分别

16、是异面直线PQ 与 C1 O 上两点 ,设与异面直线PQ与C1O的方向向量都垂直的向量n1 叫做异面直线 PQ 与 C1 O 的法向量 ,那么 , OP在异面直线 PQ 与 C1 O 的法向量 n1 上的投影就是异面直线PQ 与 C1O的距离 .即就是 dOPn 1.由此可以推出 ,要求平行于平面n1A1D1 P 的直线BC 到平面A1 D 1P 的距离 ,即就是求BP 在平面 A 1 D1 P 的法向量 n2 上的投影BPn 2d.n 2a异面直线PQ 与 C1 O 的法向量 n1(1,1,0) ， OP =( 2 ,0,0)，异面直线 PQ 与 C1O 的距OPn 12 a离 d1D1 P

17、 的距离等于 BC 到面 A1 D1P 的距离 ,n 14点 B到平面 A面 A1D1P的 一 个 法 向 量 n2=(0,2,1) ， BP =(0,a,0) BC 到 面 A1D1P的 距 离2BPn 25 a .dn 25模型归纳 :坐标法确实是处理立体几何问题的重要方法作为坐标法的主要技巧，是将相关向量表示为坐标的形式，把问题转化为代数的运算，这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比，显然是更高的思维方式，它抓住了空间的主要特征和其内在规律，使 “纷繁复杂的现象变得井然有序”利用坐标法的解题流程是：（ 1 ）建立恰当的空间直角坐（ 2 ）求出相关点的坐标（ 3）写出向量的坐标

18、.专业 .专注.标系.说明 ：步骤 （ 1）：常见几何体的建系方法：借助正方体 、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等 .1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面 ”（即 Oy平面）， 一条为 x 轴，一条为 y 轴； 2.找与 “水x平面 ”垂直的直线确定为z 轴 .通常做法 （ 1）直接找到与 “水平面 ”垂直的直线为z 轴；（ 2 ）找与 “水平面 ”垂直的平面 ，垂面内与 “水平面 ”交线的垂线即为z 轴 .（ 3）过两垂线的交点直接作出 “水平面 ”的垂线 ，（ 4 ）过两垂线的交点构造“水平面 ”的两个两个垂面，两垂面的交线为 z 轴 .步骤 （ 2）：和结论相关的点就是直接的相关点

19、，在求解过程中需要求坐标的点也可以认为是相关点.步骤 （ 3）：得到相关点以后，由相关点坐标就得到了有关的向量的坐标.步骤 （ 4）空间的线线 、线面 、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的平行与垂直问.专业 .专注.题来 .解决 （1 ）设 a， b 分别为直线a，b 的一个方向向量，那么 ababa·b=0 ；（ 2） 若 ax1 , y1 , z1, bx2 , y2 , z2, 且 x2 , y2 , z2均 不 为零 , a/ bx1y1z1x2y2z2（3 ）设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 b ，那么 lab ；（ 4）设 a，b 分别为平面，的一个法向量